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高等数学定积分习题及答案
第五章定积分习题及答案
（简单层次）
3adx222321（;2（;3（;sinxcosxdxxa,xdx,,,12200x1，x
141xdxdxdx（;5（;6（;43,,,1,15,4xx，11,x,14
2e,0dxdx7（;8（;9（;1，cos2xdx,,,210,2x，2x，2x1，lnx
325,xsinx442dx10（;11（;12（;xsinxdx4cosxdx42,,,,,,5,,x，2x，12
41lnxx3dx13（;14（;15（;xarctgxdxdx,,,,210sinxx4
,e2x2216（;17（，，;18（，，;ecosxdxxsinxdxsinlnxdx,,,010
,,sinsinxxx342dx19（;20（;21（;cosx,cosxdxdx,,2,,00,1，sinx1，cosx4
1,2，,1，x1，x22xlndxdx22（;23（;24（;lnsinxdx4,,,0,,01,x1，x
，,dx，，,,025（dx。
2,0，，，，1，x1，x
（B层次）
yxdytyedt，costdt,01（求由所决定的隐函数对x的导数。
,00dx
x2,t，，xIx,tedt2（当为何值时，函数有极值,,0
cosxd23（。
cos，，,tdt,sinxdx
，1,,1xx,2,，，fxdx4（设，求。
fx，，,1,20x,x,1,2,
1
x2arctgtdt，，,05（。
lim2,，,xx，1
1,xsin,0,,xx,,6（设，求。
，，，，,x,ftdt,，，fx2,,0,0,其它,
1,,当x,0时,2,1，xf，，x,7（设，求。
，，fx,1dx,,01,,当x,0时x,1，e,
128（。
，，limn，2n，？
，n2n,,n
knnelim9（求。
k2n,,k,1nn，ne
1，，，，fxfx10（设是连续函数，且，，，，，求。
fx,x，2ftdt,02ln2dt,,11（若，求。
x,xt6e1,
11,2,x2212（证明:
。
2e,edx,2,1,2
x，,x,a,,x22,13（已知，求常数。
lim,4xedxa,,,ax,，,x，a,,
2,1，x,x,03,，，fx,，，14（设，求fx,2dx。
,,x1,e,x,0,
22,，，fx15（设有一个原函数为，求，，。
1，sinxxf2xdx,0
3，，，，，，fx,ax，b,lnx,,1,3fx,0fxdx16（设，在上，求出常数a，使最b,1
小。
12,x,,,，，，，fxfxdx17（已知，求。
，，fx,e,0
212，，，，，，fx,x,xfxdx，2fxdx，，fx（设，求。
18,,00,2,,,，，，，fcosxcosxfcosxsinxdx,19（。
0
2
x222,,，，，，，，20（设时，Fx,x,tftdt的导数与是等价无穷小，试求xx,0,0
,，，。
f0
（C层次）
1（设，，是任意的二次多项式，，，是某个二次多项式，已知fxgx
b1，，11,,，，gxdx，求。
，，,，，，，，，fxdxf04ff1,,,,,,a062,,，，
，，,,，，2（设函数fx在闭区间a,b上具有连续的二阶导数，则在a,b内存在，,b1a，b,,3,,，，，，，，，，fxdx,b,af，b,af,使得。
,,a224,,
,,，，,,，，，，fxa,bfx,0fx,03（在上二次可微，且，。
试证
bfbfa，，，，，bafafxdxba。
，，，，，，，，,,,,,a2
，，,,，，,,，，，，fxa,bfxa,bfa,fb,04（设函数在上连续，在上存在且可积，，
b1,试证（）。
，，，，fx,fxdxa,x,b,a2
11，，，，，，fx,,0,1fxdx,0xfxdx,15（设在上连续，，，求证存在一点，x,,00
，使。
，，fx,40,x,1
xFx，，22,，，，，，，，，Fx,tf，，x,tdtfxf0,0f0,16（设可微，，，，求。
lim,40x,0x
，，,,，，，，fxa,bfa,fb,07（设在上连续可微，若，则
b4,fxdxmaxfx，，,，，。
2,aa,x,b，，ba,
bfxkfx，，，，，,，，,,fxA,B8（设在上连续，，求证limdxA,a,b,B,a,0kk，，，，,fb,fa。
x，，，，fx,,,，,，，，，，，Fx,x,3tftdt9（设为奇函数，在内连续且单调增加，，,0
，，，，,，FxFx0,，,证明:
（1）为奇函数;
（2）在上单调减少。
3
1，，，，10（设fx可微且积分的结果与无关，试求fx。
,，，，，fx，xfxtdtx,0
,11（若，，在,,连续，，，，，，，证明:
fx0,,f0,2f,,1
,,。
,，，，，fx，fxsinxdx,3,0
x12（求曲线在点（0,0）处的切线方程。
，，，，y,t,1t,2dt,0
，a，，13（设fx为连续函数，对任意实数有，求证，，sinxfxdx,0a,,a,
，，，，f2,,x,fx。
2x,ydy214（设方程，，，求。
2x,tgx,y,sectdt2,0dx
，，,,（设fx在a,b上连续，求证:
15
x1（）,,，，，，，，，，ft，h,ftdt,fx,falima,x,b,，a,0hh2x，，1，x，，，，ftdt,x，，fxf216（当时，连续，且满足，求。
x,0,0
，，,,fx0,117（设在连续且递减，证明
1,，，,,0,1，，，，,fxdx,fxdx，其中。
,00
x,,，，，，，，fxf0,0fa,118（设，，，，，，连续，Fx,ftf2a,tdt，，，试证:
0
，，，，F2a,2Fa,1。
x，，，，gx,,a,ba,b，，，，19（设是上的连续函数，fx,gtdt，试证在内方程,afb，，至少有一个根。
，，gx,,0b,a
xx1，，，，，，,,，，fxa,bfx,0Fx,ftdt，dt20（设在连续，且，又，证明:
,ab，，ft
，，，，，，Fx,2Fx,0a,b
（1）
（2）在内有且仅有一个根。
2aa，，fx,,0,2a，，，，，，,,fxdx,fx，f2a,xdx21（设在上连续，则。
,00
，，fx22（设是以为周期的连续函数，证明:
2,,，，，，，，，，sinx，xfxdx,2x，,fxdx。
,00
4
23（设，，在,,上正值，连续，则在,，内至少存在一点，使fxa,ba,b,,bb1。
，，，，，，fxdx,fxdx,fxdx,,,,aa2
1x1fu，1，，，，，，24（证明lnfx，tdt,lndu，lnfudu。
,,000，，fu
bb，，25（设fx在,,a,b上连续且严格单调增加，则。
，，，，，，a，bfxdx,2xfxdx,,aa
bM2,，，,,，，，，26（设fx在a,b上可导，且fx,M，fa,0，则。
fxdxba，，，，,,,a2
,，，，，，，27（设fx处处二阶可导，且fx,0，又ut为任一连续函数，则aa11,,，，，，，，futdtfutdt,，，，a,0。
,,,00aa,,
bab，,,,,fxdxbaf，，，，,,，，,,，，28（设fx在a,b上二阶可导，且fx,0，则。
,,a2,,
b，，，，，，fx,,a,bfx,0fxdx,0,,a,b29（设在上连续，且，，证明在上必有,a
，，fx,0。
，，,,,,,,fxa,b,,,,a,b30（在上连续，且对任何区间有不等式,1，,M，，,,a,bfx,0（，为正常数），试证在上。
，，fxdx,M,,,,,,
第五章定积分
（A）
321（sinxcosxdx,0
,211342解:
原式,,cosxdx,,cosx,,0440
a222xa,xdx2（,0
解:
令，则x,asintdx,acostdt
当时，当x,a时t,x,0t,02
222原式,asint,acost,acostdt,0
5
,44aa222，，,sin2tdt,1,cos4tdt,,0048
442,,aa14,,,sin4ta8284160
3dx3（,122x1，x
2解:
令，则x,tg,dx,sec,d,
,3当，时分别为，x,1,43
2,sec3原式,d,,,2sectg,,4
2,3，，,sin,dsin,,,4
2,2,33
1xdx4（,,15,4x
51125,4x,u解:
令，则x,,u，dx,,udu442
当，1时，u,3,1x,,1
11125原式，，,,udu,,386
4dx5（,1x，1
x,t解:
令，dx,2tdt
当时，;当时，x,1t,1x,4t,2
2222tdtdt，，,,2dt,原式,,,,,1111，t1，t，，
2222ln122ln,,，，,t,，t,，1131dx6（3,1,x,14
6
2解:
令1,x,u，则，x,1,udx,,2udu
13当时x,,1u,,042
10,2uu,1，12原式,du,2du,1,2ln21,,0u,1u,12
2edx7（,1x1，lnx
22ee11，，,dlnx,d1，lnx解:
原式,,111，lnx1，lnx
2e,21，lnx,23,21
0dx8（,2,2x，2x，2
0dx0,,arctgx，1，，解:
原式,2,2,2，，1，x，1
,,11，，,arctg,arctg,,，,442,9（1，cos2xdx,0
,2,2cosxdx,2cosxdx解:
原式,,00
,2，，,2cosxdx，2,cosxdx,,,02
，,，2,2sinx,sinx,22,,,02，，
410（xsinxdx,,,
4解:
?
为奇函数xsinx
4xsinxdx,0?
,,
4211（4cosxdx,,,2
,24222解:
原式，，,4,2cosxdx,22cosxdx,,00
7
,2222，，，，,21，cos2xdx,21，2cos2x，cos2xdx,,00
,,222，，,2x，2cos2xdx，1，cos4xdx,,000
,1,22,，2sin2x，，cos4xd4x,,0024
2313sin4,,，x,,2420
325xsinxdx12（42,,5x，2x，1
32xsinx解:
?
为奇函数42x，2x，1
325xsinxdx,0?
42,,5x，2x，1
x313（dx,,2sinx4
3解:
原式,,xdctgx,,4
,33,,xctgx，ctgxdx,,,44
,,133,,,,,，lnsinx,,,49,,4
,1332,,,,,，ln,ln,,4922,,
,1313,,,,,，ln,,4922,,
4lnxdx14（,1x
4,2lnxdx解:
原式,1
8
44，，,,2xlnxxdlnx,,,11，，
41，，,,24ln2xdx,,,1x，，
1,42,8ln2,2xdx,1
8ln2,4
115（xarctgxdx,0
112解:
原式arctgxdx,,02
211，，1x2xarctgxdx,,,,,20021x，，，
1111dx,,,dx，,,2008221，x
1111,,,x，arctgx82200
1,,,42
x2216（ecosxdx,0
x22解:
原式,edsinx,0
,xx2222,esinx,sinx,2edx,00
2x,2,e，2edcosx,0
,2x2x,22,e，2ecosx,2cosx,2edx,00
2x,2,e,2,4ecosxdx,0
1x,22，，ecosxdx,e,2故,05
2，，xsinxdx17（,0
9
,1cos2x,22解:
原式xsinxdxxdx，，,,,,002
,1122,xdx,xcos2xdx,,0022
,1132,x,xdsin2x,0640
3,,1,2，，,,xsin2x,sin2x,2xdx,0,,0，，64
3,1,,,xdcos2x,064
33,1,,,,，，cos2cos2,,xx,xdx,,,0,,0，，6464
e18（，，sinlnxdx,1
e1e解:
原式，，，，,xx,xx,dxsinlncosln,11x
e，，,esin1,coslnxdx,1
e1e，，，，，，,e,xx，xx,dxsin1coslnsinln,,1,1x，，
e，，,esin1,ecos1，1,sinlnxdx,1
ee故，，，，sinln,sin1,cos1，1xdx,12
3219（cosx,cosxdx,,,4
22解:
原式，，,cosx1,cosxdx,,,4
02，，,cosx,sinxdx，cosxsinxdx,,,,04
033222，，，，22，，，，,cosx，,cosx,,,,33,，，，，,04
442,,33
10
sinx4dx20（,01，sinx
，，sinx1,sinx4dx解:
原式,2,0x1,sin
sinx,,24tgxdx,,,,2,0cosx,,
,dcosx244，，,,,secx,1dx2,,00cosx
,41,4，，,,tgx,x,2，,20cosx40
sinxx21（dx2,01，cosx
解:
令，则x,,t2
,,,,,sin,,tt,,,,,,22,,,,2,,原式dt,,,,,221cos，,t,,2,,
cost,,costt22,,,dt,,221，sin1，sintt2
2,cost,22，，sin,dt,arctgt,,,,20041sin，t11，x2xlndx22（,01,x
12,,1xx，2,,解:
原式lnd,,,,01x2,,,
11222，，，，x1，xx1,x1,x,1，x,12,ln,,,dx2,021,x21，x，，1,x0
121x2,ln3，lndx2,08x,1
11
111dx22,ln3，dx，2,,008x,1
1
2111x,1,ln3，，ln822x，10
13,,ln328
2，,1，xdx23（4,,,1，x
1，122，,，,，1xx解:
原式,,dx2dx4,,001，1x2，x2x
，,11,,2dx,,,,2,0x,,1,,x2,，,,x,,
，,1x,2x,,2,arctg
22
，0
224（lnsinxdx,0
,xx,,令x,2t24，，,ln2sin,cosdx2ln2，lnsint，lncostdt解:
原式,,,,0022,,
,，，,44,ln2，2lnsintdt，lncostdt,,,,002，，
,,t,,u，，,242ln22lnsintdtlnsinudu，，,,,,,024，，
,2,ln2，2lnsintdt,02
,2lnsinxdx,,ln2故,02
，,dx，，,,025（,2,0，，，，1，x1，x
12
11解:
令，则x,dxdt,,2tt
1,dt,20，,tdtt原式,,2,2,,,0，,，，，，1，t1，t1，t1，t,2,tt
，,，,，,dxdxxdx?
2,，2,2,2,,,,000，，，，，，，，，，，，1，x1，x1，x1，x1，x1，x
，,1,，,,dx,arctgx,2,0021，x
，,dx,故,2,,04，，，，1x1x，，
（B）
yxdyty1（求由edt，costdt,0所决定的隐函数对的导数。
x,,00dx
解:
将两边对求导得x
dyye，cosx,0dx
dycosx,,?
ydxe
x2,t，，2（当为何值时，函数Ix,tedt有极值,x,0
2,x,,，，Ix,0解:
，令得，，Ix,xex,0
，，Ix,0当时，x,0
，，Ix,0当时，x,0
，，Ix?
当时，函数有极小值。
x,0
cosxd23（。
，，cos,tdt,sinxdx
acostd22，，,，解:
原式，，，，cos,tdtcos,tdt,,,,sinxa，，dx
sinxcosxd22，，,,，，，，，cos,tdtcos,tdt,,,,aa，，dx
,22，，，，，，，，,,,cossinxsinx，coscosxcosx
13
22，，,,cos，，，，,sincosx，cos,cosx,sinx
22,,cos,，，，，sinxcosx,sinxcos,,,sinx
2，，,sinx,cosxcos，，,sinx
，1,,1xx,2,4（设，求，，。
fxdx,fx，，,1,20,,1xx,2,
21212解:
fxdxx1dxxdx，，，，,，，,,,0012
12118,,23,x，x，x,,,263,,10
x2arctgtdt，，,05（。
lim2,，,xx，1
x2,2arctgtdt，，型,arctgx，，0,解:
limlim12,，,,，,xx,12x，12，，x，12x2
12xarctgx，，1，222xarctgx，，，1x,lim,limx,，,x,，,xx
2,12，，,，arctgx,lim12x,，,4x
1,xsin,0,,xx,,，，，，6（设，求,x,ftdt。
，，fx2,,0,0,其它,
xx，，，，,x,ftdt,0dt,0解:
当时，x,0,,00
x11cos,xsin当时，，，,x,tdt,0,x,,,022
,xxx1当时，x,,，，，，，，，，,x,ftdt,ftdt，ftdt,sintdt，0dt,1,,,,,00,0,2
0,当,0时,
1,,,，，，，x,1,cosx,当0,x,时故。
2,
1,x,当,时,,
14
1,,当x,0时,2,1，xf，，x,7（设，求。
，，fx,1dx,,01,,当x,0时x,1，e,
1,,当x,1时,,xf，，x,1,解:
1,,当x1时,x,1,1，e,
212dx1f，，x,1dx,，dxx,1,,,001，，1，x,11，e
x,1x,1121，e,edx，，,dx,1，x,1,,01x1，e
1x,1,1,ln，，1，e，ln20
，，,ln1，e
128（。
，，limn，2n，？
，n2n,,n
,12n1,,,lim，，？
，解:
原式,,n,,nnnn,,
n112ilim,,,xdx,,,,,0n3nn,1i
knnelim9（求。
k2n,,k,1nn，ne
knn1elim解:
原式,,k2n,,nk,1n，1e
x11e,x,dx,arctge,arctge,x,20041，e
1，，，，fxfx，，，，fx,x，2ftdt10（设是连续函数，且，求。
01，，，，ftdt,Afx,x，2A解:
令，则，,0
15
111从而，，，，fxdx,x，2Adx,，2A,,002
11即，A,,A,，2A22
?
，，fx,x,1
2ln2dt,11（若,，求。
x,xt6e1,
2u2tt,ln，，1，u解:
令，则，,dtdue,1,u21，u
u,3当时，t,2ln2
x当时，t,xu,e,1
2ln23dt2udu3,,2arctgu?
xx,,2e,1xe,1t，，1，uue,1
,,,x,2,arctge,1,,,36,,
从而x,ln2
11,2,x2212（证明:
。
2e,edx,2,1,2
211，，,x证:
考虑上的函数，则,,y,e,,22，，
2,x,,，令y,0得y,,2xex,0
1,,,当时，y,0x,,,0,,
2,,
1,,,当时，y,0x,0,,,
2,,
1,221,x,x2x,,?
在处取最大值y,1，且在处取最小值y,ey,eex,02
1111,2,x2222edx,edx,1dx故111,,,,,,222
16
11,2,x22即。
2e,edx,2,1,2
x，,x,a,,x22,13（已知，求常数。
lim,4xedxa,,,ax,，,x，a,,
xa2,,,2a解:
左端,,,elim1,,x,，,x，a,,
，,，,xx2222,,，，，，右端,,2xed,2x,,2xde,,aa
，,，,222,x,x,,2xe2xedx,,,,,,aa,,
，,ax222,,,2ae,2xde,a
，,，,2222,a,x,x,,2ae2xeedx,,,,,,aa,,
2,2a,，，2a，2a，1e
2,2a,2a，，2a，2a，1e,e?
解之或。
a,0a,,1
2,1，x,x,03,，，fx,14（设，，，求fx,2dx。
,,x1,e,x,0,
解:
令，则x,2,t
310171,t2fxdxftdttdtedt，，，，，，,,,，，,,21,,,,,,1110e3
22,，，fx15（设有一个原函数为，求，，。
1，sinxxf2xdx,0
2，，fx,，，1，sinx,sin2x解:
令，且2x,t
,,t112,,,xf，，2xdxftdt，，tftdt，，,,,,,000224
,11,，，tdfttftftdt,,,，，，，，，,,0,,00，，44
1,2，，，，,tsin2t,1，sint,00,0,，，4
3，，，，，，fx,ax，b,lnx,,1,3fx,0fxdx16（设，在上，求出常数a，使最b,1
小。
17
33，，，，，，解:
当fxdx最小，即ax，b,lnxdx最小，由fx,ax，b,lnx,0知，,,11
在的上方，其间所夹面积最小，则是的切线，y,ax，by,lnxy,ax，by,lnx
111,，，x,lnx，，而，设切点为，则切线y,x,x，lnx，故a,，y,0000xxx00
b,lnx,1。
0
333a,,2，，I,ax，b,lnxdx,x，bx,lnxdx于是,,,,112,,1
3，，,4a,21，lna,lnxdx,1
21,令得a,I,4,,0a2a
x,2从而，b,ln2,10
32,,，，fxdx又，此时最小。
I,,0a,21a
12,x,,,，，，，fxfxdx17（已知，求。
，，fx,e,0
2,x,解:
，，fx,,2xe
11112,,,,,,f，，，，，，，，xfxdx,fxdfx,fx，，,,,,0020
1221,x,2,,,,2xe,2e,,,,20
212，，，，，，，，fx,x,xfxdx，2fxdxfx18（设，求。
,00
122，，fx,x,Bx，2A，，，，fxdx,Afxdx,B解:
设，，则,,00
11112?
，，，，A,fxdx,x,Bx，2A
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