求极限的方法及例题总结.docx
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求极限的方法及例题总结
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1．定义：
说明：
（1）一些最简单的数列或函数的极限（极限值可以观察得到）都可以用上
lim（3x1）5
面的极限严格定义证明，例如：
；x2
（2）在后面求极限时，
（1）中提到的简单极限作为已知结果直接运用，而不需再用极限严格定义证明。
利用导数的定义求极限
这种方法要求熟练的掌握导数的定义。
2．极限运算法则
定理1已知lim
f（x），limg（x）都存在，极限值分别为
A，B，则下面极限都存
在，且有
（1）lim[f（x）g（x）]AB
（2）lim
f（x）g（x）AB
lim
f（x）
A,（此时需B0成立）
（3）
g（x）
B
说明：
极限号下面的极限过程是一致的；同时注意法则成立的条件，当条件不满足时，不能用。
.利用极限的四则运算法求极限
这种方法主要应用于求一些简单函数的和、乘、积、商的极限。
通常情况下，要使用这些法则，往往需要根据具体情况先对函数做某些恒等变形或化简。
精品资料
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8.用初等方法变形后，再利用极限运算法则求极限
lim
3x
1
2
x
1
例1
x1
lim
（
3x
1）
2
22
3x
3
3
1）（
3x
12）
lim
12）
4
x
1（x
x1（x1）（3x
。
解：
原式=
注：
本题也可以用洛比达法则。
例2
lim
n（
n2
n
1）
n
lim
n[（n
2）
（n
1）]
分子分母同除以
n
lim
3
3
2
n
n
2
n
1
n
2
1
1
1
解：
原式=
n
n
。
lim（
1）n
3n
例3n
2n
3n
上下同除以3n
（
1
）n
1
lim
3
1
n
（2）n1
解：
原式3。
3．两个重要极限
sinx
lim
1
（1）x
0
x
1
lim（1
1）x
e
lim（1
x）x
e
（2）x
0
；
x
x
精品资料
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说明：
不仅要能够运用这两个重要极限本身，还应能够熟练运用它们的变形形式，
1
x
lim
sin3x
1lim（12x）2x
elim（1
3）3
e
例如：
x0
3x
，x0
，x
x
；等等。
利用两个重要极限求极限
lim1
cosx
例5x0
3x2
2sin
2x
2sin2
x
1
lim
2
lim
x
2
3x
2
6
x0
x0
）
2
解：
原式=
12（
2
。
注：
本题也可以用洛比达法则。
2
lim（1
3sinx）x
例6x0
1
6sinx
1
lim（13sinx）3sinx
x
lim[（13sinx）3sinx]
解：
原式=x
0
x0
lim（
n
2
）
n
n
1
例7n
解：
原式=。
n
1
3n
n1
3n
lim（1
3）
n1
lim[（1
3）3]
n1
3
3
e
n
n
1
n
n
1
4．等价无穷小
定理2无穷小与有界函数的乘积仍然是无穷小（即极限是
6sinx
xe6
。
0）。
定理3
当x
0时，下列函数都是无穷小（即极限是
0），且相互等价，即有：
x～sinx～tanx～arcsinx～arctanx～ln（1
x）～ex
1
。
说明：
当上面每个函数中的自变量
x换成g（x）时（g（x）
0），仍有上面的等价
关系成立，例如：
当x
0时，e3x1
～3x
；ln（1x2）
～
x2
。
定理4
如果函数f（x）,g（x）,f1（x）,g1（x）都是x
x0时的无穷小，且
f1
（x）
f（x）
lim
（x）
lim
f（x）
～
f1（x）
，
g（x）
～
g1（x）
，则当
xx0g1
存在时，
xx0g（x）
也存在且等于
精品资料
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f
1（x）
f（x）
f
1（x）
f（x）
lim
（x）
lim
lim
（x）
xx0g1
，即
xx0g（x）
=
xx0g1
。
利用等价无穷小代换（定理4）求极限
lim
xln（1
3x）
x
0
arctan（x2）
例9
解：
x
0时，ln（1
3x）～3x，arctan（x2）～x2
，
lim
x3x
3
原式=x
0
x2
。
lim
ex
esinx
例10x0xsinx
lim
esinx（ex
sinx
1）
limesinx（x
sinx）
1
解：
原式=x
0
x
sinx
x0
x
sinx
。
注：
下面的解法是错误的：
lim
（ex
1）
（esinx
1）
x
sinx
lim
1
原式=x
0
x
sinx
x0x
sinx。
正如下面例题解法错误一样：
limtanx
3
sinx
limx
3
x
0
x
0
x
x0
x
。
tan（x2sin
1
）
lim
x
例11
x0
sinx
当x
0时，x2
sin1是无穷小，
tan（x2sin1）与x2
sin1等价
解：
x
x
x，
x2sin1
1
lim
x
0
x
limxsin
所以，
原式=x
0
x0
x
。
（最后一步用到定理2）
五、利用无穷小的性质求极限
有限个无穷小的和是无穷小，有界函数与无穷小乘积是无穷小。
用等价无穷小替换求极限常常行之有效。
精品资料
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1
xsinx
1
limsinsin（x1）
lim（
x
2
）
例1.
x0
e
1
2.
x0
lnx
5．洛比达法则
定理5假设当自变量x趋近于某一定值（或无穷大）时，函数f（x）和g（x）满
足：
（1）f（x）和g（x）的极限都是0或都是无穷大；
（2）f（x）和g（x）都可导，且g（x）的导数不为0；
lim
f（x）
（3）
g（x）存在（或是无穷大）；
lim
f（x）
lim
f（x）
limf（x）
limf（x）
则极限
g（x）也一定存在，且等于
g（x），即
g（x）=
g（x）。
说明：
定理5称为洛比达法则，用该法则求极限时，应注意条件是否满足，只要
有一条不满足，洛比达法则就不能应用。
特别要注意条件（
1）是否满足，即验
0
证所求极限是否为“0”型或“”型；条件
（2）一般都满足，而条件（3）
则在求导完毕后可以知道是否满足。
另外，洛比达法则可以连续使用，但每次使用之前都需要注意条件。
利用洛比达法则求极限
说明：
当所求极限中的函数比较复杂时，也可能用到前面的重要极限、等价无穷小代换等方法。
同时，洛比达法则还可以连续使用。
1
cosx
例12
lim
3x2
（例4）
x0
lim
sinx
1
6x
6。
（最后一步用到了重要极限）
解：
原式=x0
cos
x
例13
lim
x
2
x1
1
精品资料
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x
sin
lim
2
1
2
2
解：
原式=x
1
。
例14
lim
x
sinx
x0
x3
lim1
cosxlimsinx
1
解：
原式=x
0
3x2
=x06x
6
。
（连续用洛比达法则，最后用重要极限）
lim
sinx
xcosx
x2sinx
例15
x0
解：
原式
sinx
xcosx
lim
cosx
（cosxxsinx）
lim
x
2
x
3x
2
x
0
x0
lim
xsinx
1
3x
2
3
x
0
lim[11]
例18x0xln（1x）
lim[1
1]
0
解：
错误解法：
原式=x
0
x
x
。
正确解法：
原式lim
ln（1x）
x
lim
ln（1
x）
x
x0
xln（1
x）
x0
x
x
1
1
x
1
lim
1x
lim
。
x0
2x
x
0
2x（1
x）
2
应该注意，洛比达法则并不是总可以用，如下例。
lim
x2sinx
例19x3xcosx
0
解：
易见：
该极限是“0”型，但用洛比达法则后得到：
限
不存在，而原来极限却是存在的。
正确做法如下：
lim1
2cosx
x
3
sinx，此极
1
2sinx
limx
xcosx
3
原式=x（分子、分母同时除以x）
精品资料
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1
=3（利用定理1和定理2）
6．连续性
定理6一切连续函数在其定义去间内的点处都连续，即如果
x0是函数f（x）的
lim
f（x）f（x0）
定义去间内的一点，则有
xx0
。
利用函数的连续性（定理
6）求极限
1
lim
x2ex
例4x2
1
解：
因为
x02
是函数
f（x）
x
2ex
的一个连续点，
1
所以
原式=22e2
4e
。
7．极限存在准则
定理7（准则1）单调有界数列必有极限。
四、利用单调有界准则求极限
首先常用数学归纳法讨论数列的单调性和有界性，再求解方程可求出极限。
例1.
设a
0，x1a,x2aaax1,,xn1axn（n1,2,）
limxn
。
求极限n
精品资料
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定理8（准则2）已知{xn},{yn},{zn}为三个数列，且满足：
（1）ynxnzn
（n
1,2,3,）
limyna
limzna
（2）n
，n
limxn
limxn
a
则极限n
一定存在，且极限值也是
a，即n
。
10.夹逼定理
利用极限存在准则求极限
例20已知x1
2,xn12xn,（n1,2,）
limxn
，求n
解：
易证：
数列{xn}
limxn
存在，
单调递增，且有界（0limxn
a
xn12xn两边求极限，得：
设n
。
对已知的递推公式
a2
a，解得：
a
2或a
1（不合题意，舍去）
lim
xn2
所以n
。
精品资料
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lim（
1
1
1
）
例21
n
n2
1
n2
2
n2
n
n
1
1
1
n
解：
易见：
n2
n
n2
1
n2
2
n2
n
n2
1
lim
n
1
lim
n
1
n21
因为n
n2
n
，n
lim（
1
1
1
）
1
n2
1
n2
2
n2
所以由准则
n
n
。
2得：
9.洛必达法则与等价无穷小替换结合法
对于一些函数求极限问题，洛必达法则和等价无穷小结合御用，往往能化简运算，收到奇效。
11.泰勒展开法
精品资料
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12.利用定积分的定义求极限法
积分本质上是和式的极限，所以一些和式的极限问题可以转化为求定积分的问题。
8.利用复合函数求极限
精品资料
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十、利用级数收敛的必要条件求极限
un
limun
0
级数收敛的必要条件是：
若级数n1
收敛，则n
，故对某些极限
lim
f（n）
f（n）
的一般项，只须证明此技术收敛，便
n
，可将函数f（n）作为级数n1
limf（n）
0
有n
。
lim
n!
n
n
例
n
十一、利用幂级数的和函数求极限
当数列本身就是某个级数的部分和数列时，求该数列的极限就成了求相应级数的和，此时常可以辅助性的构造一个函数项级数（通常为幂级数，有时为Fourier级数）。
使得要求的极限恰好是该函数项级数的和函数在某点的值。
例
lim（1
1
3
3
）
求n
3
32
3n
1
7等比等差数列公式应用（对付数列极限）
（q绝对值符号要小于
1）
8各项的拆分相加（来消掉中间的大多数）（对付的还是数列极限）
可以使用待定系数法来拆分化简函数
精品资料
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9求左右求极限的方式（对付数列极限）例如知道Xn与Xn+1的关系，已知Xn的极限存
在的
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