求极限的方法及例题总结.docx

1、求极限的方法及例题总结_1定义：说明：（ 1）一些最简单的数列或函数的极限（极限值可以观察得到）都可以用上lim (3x 1) 5面的极限严格定义证明，例如： ； x 2（2）在后面求极限时，（ 1）中提到的简单极限作为已知结果直接运用，而不需再用极限严格定义证明。利用导数的定义求极限这种方法要求熟练的掌握导数的定义。2极限运算法则定理 1 已知 limf ( x) ， lim g ( x) 都存在，极限值分别为A， B，则下面极限都存在，且有（1） lim f (x) g( x) A B（ 2） limf (x) g (x) A Blimf ( x)A,(此时需 B 0成立)（ 3）g (x

2、)B说明：极限号下面的极限过程是一致的；同时注意法则成立的条件，当条件不满足时，不能用。. 利用极限的四则运算法求极限这种方法主要应用于求一些简单函数的和、乘、积、商的极限。通常情况下，要使用这些法则，往往需要根据具体情况先对函数做某些恒等变形或化简。精品资料_8.用初等方法变形后，再利用极限运算法则求极限lim3x12x1例 1x 1lim(3x1)2223x331)(3x1 2)lim1 2)4x1 (xx 1 ( x 1)( 3x。解：原式 =注：本题也可以用洛比达法则。例 2limn (n 2n1)nlimn( n2)(n1)分子分母同除以nlim332nn2n1n2111解：原式 =

3、nn。lim (1) n3n例 3 n2n3n上下同除以 3n(1) n1lim31n( 2) n 1解：原式3。3两个重要极限sin xlim1（ 1） x0x1lim (11 ) xelim (1x) xe（ 2） x0；xx精品资料_说明：不仅要能够运用这两个重要极限本身， 还应能够熟练运用它们的变形形式，1xlimsin 3x1 lim (1 2x) 2 xe lim (13 ) 3e例如： x 03x， x 0， xx；等等。利用两个重要极限求极限lim 1cos x例 5 x 03x22 sin2 x2 sin 2x1lim2limx23x26x 0x 0)2解：原式 =12 (2

4、。注：本题也可以用洛比达法则。2lim (13sin x) x例 6 x 016 sin x1lim (1 3sin x) 3 sin xxlim (1 3sin x) 3sin x 解：原式 = x0x 0lim (n2)nn1例 7 n解：原式 = 。n13nn 13nlim (13 )n 1lim (13) 3n 133enn1nn14等价无穷小定理 2 无穷小与有界函数的乘积仍然是无穷小（即极限是6 sin xxe 6。0）。定理 3当 x0 时，下列函数都是无穷小（即极限是0），且相互等价，即有：x sin x tan x arcsin x arctanx ln(1x) e x1。说

5、明：当上面每个函数中的自变量x 换成 g (x) 时（ g( x)0 ），仍有上面的等价关系成立，例如：当 x0 时， e3x 1 3x； ln(1 x2 )x2。定 理 4如果函数 f (x), g( x), f1 (x), g1 ( x) 都是 xx0 时的无穷小，且f1( x)f (x)lim( x)limf ( x)f1 (x)，g ( x)g1 (x)，则当xx0 g1存在时，x x0 g (x)也存在且等于精品资料_f1 ( x)f (x)f1 (x)f ( x)lim( x)limlim(x)xx0 g1，即xx0 g( x)=xx0 g1。利用等价无穷小代换（定理 4）求极限l

6、imx ln(13x)x0arctan( x 2 )例 9解：x0时，ln(13x) 3x ， arctan(x2 ) x 2，limx 3x3原式 = x0x 2。lime xesin x例 10 x 0 x sin xlimesin x (exsin x1)lim esin x ( xsin x)1解：原式 = x0xsin xx 0xsin x。注：下面的解法是错误的：lim(ex1)( esin x1)xsin xlim1原式 = x0xsin xx 0 xsin x。正如下面例题解法错误一样：lim tan x3sin xlim x3x0x0xx 0x。tan( x 2 sin1)l

7、imx例 11x 0sin x当 x0 时，x2sin 1 是无穷小，tan(x 2 sin 1 )与 x2sin 1 等价解：xxx，x2 sin 11limx0xlim xsin所以，原式 = x0x 0x。（最后一步用到定理 2）五、利用无穷小的性质求极限有限个无穷小的和是无穷小， 有界函数与无穷小乘积是无穷小。 用等价无穷小替换求极限常常行之有效。精品资料_1x sin x1lim sin sin( x 1)lim (x2)例 1.x 0e12.x 0ln x5洛比达法则定理 5 假设当自变量 x 趋近于某一定值（或无穷大）时，函数 f ( x) 和 g( x) 满足：（ 1） f (

8、x) 和 g( x) 的极限都是 0 或都是无穷大；（ 2） f (x) 和 g( x) 都可导，且 g (x) 的导数不为 0；limf ( x)（ 3）g (x) 存在（或是无穷大）；limf ( x)limf ( x)lim f ( x)lim f ( x)则极限g( x) 也一定存在，且等于g ( x) ，即g ( x) =g ( x) 。说明：定理 5 称为洛比达法则，用该法则求极限时，应注意条件是否满足，只要有一条不满足，洛比达法则就不能应用。特别要注意条件（1）是否满足，即验0证所求极限是否为“ 0 ”型或“ ”型；条件（ 2）一般都满足，而条件（ 3）则在求导完毕后可以知道是否

9、满足。另外， 洛比达法则可以连续使用， 但每次使用之前都需要注意条件。利用洛比达法则求极限说明：当所求极限中的函数比较复杂时， 也可能用到前面的重要极限、 等价无穷小代换等方法。同时，洛比达法则还可以连续使用。1cos x例 12lim3x2（例 4）x 0limsin x16x6 。（最后一步用到了重要极限）解：原式 = x 0cosx例 13limx2x 11精品资料_xsinlim2122解：原式 = x1。例 14limxsin xx 0x3lim 1cos x lim sin x1解：原式 = x03x 2= x 0 6x6。（连续用洛比达法则， 最后用重要极限）limsin xx

10、cos xx 2 sin x例 15x 0解：原式sin xx cos xlimcos x(cos x x sin x)limx2x3x2x0x 0limx sin x13x23x0lim 1 1 例 18 x 0 x ln(1 x)lim 110解：错误解法：原式 = x0xx。正确解法：原式 limln(1 x)xlimln(1x)xx 0x ln(1x)x 0xx11x1lim1 xlim。x 02xx02x(1x)2应该注意，洛比达法则并不是总可以用，如下例。limx 2sin x例 19 x 3x cosx0解：易见：该极限是“ 0 ”型，但用洛比达法则后得到：限不存在，而原来极限却

11、是存在的。正确做法如下：lim 12cosxx3sin x ，此极12sin xlim xxcosx3原式 = x （分子、分母同时除以 x）精品资料_1=3 （利用定理 1 和定理 2）6连续性定理 6 一切连续函数在其定义去间内的点处都连续，即如果x0 是函数 f ( x) 的limf ( x) f (x0 )定义去间内的一点，则有x x0。利用函数的连续性（定理6）求极限1limx 2e x例 4 x 21解：因为x0 2是函数f (x)x2 e x的一个连续点，1所以原式 = 2 2 e24 e。7极限存在准则定理 7（准则 1） 单调有界数列必有极限。四、利用单调有界准则求极限首先常

12、用数学归纳法讨论数列的单调性和有界性，再求解方程可求出极限。例 1.设 a0 ，x1a, x2aaa x1 , , xn 1a xn (n 1,2, )lim xn。求极限 n精品资料_定理 8（准则 2） 已知 xn , yn , zn 为三个数列，且满足：（ 1） ynxn zn, (n1,2,3, )lim yn alim zn a（2） n， nlim xnlim xna则极限 n一定存在，且极限值也是a ，即 n。10. 夹逼定理利用极限存在准则求极限例 20 已知 x12 , xn 12 xn , (n 1, 2, )lim xn，求 n解：易证：数列 xn lim xn存在，单调

13、递增，且有界（0 xn 2），由准则 1 极限 nlim xnaxn 12 xn 两边求极限，得：设 n。对已知的递推公式a2a ，解得： a2 或 a1（不合题意，舍去）limxn 2所以 n。精品资料_lim (111)例 21nn 21n 22n2nn111n解： 易见： n 2nn 21n 22n2nn21limn1limn1n2 1因为 nn2n， nlim (111)1n21n22n2所以由准则nn。2 得：9.洛必达法则与等价无穷小替换结合法对于一些函数求极限问题， 洛必达法则和等价无穷小结合御用， 往往能化简运算，收到奇效。11.泰勒展开法精品资料_12.利用定积分的定义求极限

14、法积分本质上是和式的极限， 所以一些和式的极限问题可以转化为求定积分的问题。8.利用复合函数求极限精品资料_十、利用级数收敛的必要条件求极限unlim un0级数收敛的必要条件是：若级数n 1收敛，则 n，故对某些极限limf (n)f (n)的一般项，只须证明此技术收敛，便n，可将函数 f (n) 作为级数 n 1lim f (n)0有 n。limn!nn例n十一、利用幂级数的和函数求极限当数列本身就是某个级数的部分和数列时， 求该数列的极限就成了求相应级数的和，此时常可以辅助性的构造一个函数项级数（通常为幂级数，有时为 Fourier 级数）。使得要求的极限恰好是该函数项级数的和函数在某点的值。例lim (1133)求 n3323n17 等比等差数列公式应用（对付数列极限）（ q 绝对值符号要小于1）8 各项的拆分相加 （来消掉中间的大多数） （对付的还是数列极限）可以使用待定系数法来拆分化简函数精品资料_9 求左右求极限的方式（对付数列极限） 例如知道 Xn 与 Xn+1 的关系， 已知 Xn 的极限存在的