集合知识点总结.docx

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集合知识点总结

一、集合有关概念

1.集合的含义

2.集合的素的三个特性：

（1）元素的确定性,

（2）元素的,

（3）元素的,

3.集合的表示：

{…}如：

{我校的篮球队员}，{太平洋,,印度洋,}

（1）用示集合：

A={我校的篮球队员},B={1,2,3,4,5}

（2）集合的表示方法：

与。

注意：

经常使用数集及其记法：

（即）记作：

N

N*或N+ZQR

1）：

{a,b,c……}

2）：

将集合中的元素的公共属性描述出来，写在内表示集合的方法。

{xR|x-3>2},{x|x-3>2}

3）语言：

例：

{不是直角三角形的三角形}

4）:

4、集合的分类：

（1）含有有限个元素的集合

（2）含有无限个元素的集合

（3）空集不含任何元素的集合例：

{x|x2=－5｝

二、集合间的基本关系

1.“包含”关系—

注意：

有两种可能

（1）A是B的一部分，；

（2）A与B是同一集合。

反之:

集合A不包含于集合B,或集合B不包含集合A,记作AB或BA

2．“相等”关系：

A=B（5≥5，且5≤5，则5=5）

实例：

设A={x|x2-1=0}B={-1,1}“元素相同则两集合相等”

即：

①任何一个集合是它本身的。

AA

②:

若是AB,且AB那就说集合A是集合B的，记作AB（或BA）

③若是AB,BC,那么AC

④若是AB同时BA那么A=B

3.不含任何元素的集合叫集，记为Φ

规定:

空集是任何集合的，空集是任何的。

有n个元素的集合，含有2n个子集，2n-1个真子集

三、集合的运算

运算类型交集并集补集

定义由所有属于A且属于B的元素所组成的集合,叫做A,B的交集．记作AB（读作‘A交B’），即AB=｛x|xA，且xB｝．

由所有属于集合A或属于集合B的元素所组成的集合，叫做A,B的．记作：

AB（读作‘A并B’），即AB={x|xA，或xB}）．

设S是一个集合，A是S的一个子集，由S中所有不属于A的的集合，叫做S集A的（或余集）

记作，即

CSA=

韦

恩

图

示

性

质AA=A

AΦ=Φ

AB=BA

ABA

ABB

AA=A

AΦ=A

AB=BA

ABA

ABB

（CuA）（CuB）

=Cu（AB）

（CuA）（CuB）

=Cu（AB）

A（CuA）=U

A（CuA）=Φ．

例题：

1.下列四组对象，能构成集合的是（）

A某班所有高个子的学生B著名的C一切很大的书D倒数等于它自身的实数

2.集合{a，b，c}的真子集共有个

3.若集合M={y|y=x2-2x+1,xR},N={x|x≥0}，则M与N的关系是.

4.设集合A=，B=，若AB，则的取值范围是

名学生做的物理、化学两种实验，已知做得正确得有40人，做得正确得有31人，

两种实验都做错得有4人，则这两种实验都做对的有人。

6.用描述法表示图影部分的点（含边界上的点）组成的集合M=.

7.已知集合A={x|x2+2x-8=0},B={x|x2-5x+6=0},C={x|x2-mx+m2-19=0},若B∩C≠Φ，A∩C=Φ，求m的值

二、函数的有关概念

1．函数的概念：

设A、B是非空的数集，如果按照某个确定的对应关系f，使对于集合A中的任意一个数x，在集合B中都有唯一确定的数f（x）和它对应，那么就称f：

A→B为从集合A到集合B的一个函数．记作：

y=f（x），x∈A．其中，x叫做，x的取值范围A叫做函数的概念域；与x的值相对应的y值叫做函数值，函数值的集合{f（x）|x∈A}叫做函数的值域．

注意：

1．定义域：

能使函数式有意义的实数x的集合称为函数的定义域。

求函数的定义域时列的主要依据是：

（1）的分母不等于零；

（2）偶次方根的不小于零；

（3）对数式的必须大于零；

（4）指数、对数式的底必须大于零且不等于1.

（5）如果函数是由一些基本函数通过结合而成的.那么，它的定义域是使各部分都有意义的x的值组成的集合.

（6）指数为零底不可以等于零，

（7）实际问题中的函数的定义域还要保证实际问题有意义.

相同函数的判定方式：

①表达式相同（与表示和函数值的字母无关）；②概念域一致（两点必需同时具有）

（见课本21页相关例2）

2．值域:

先考虑其定义域

（1）

（2）

（3）代换法

3.知识归纳

（1）定义：

在中，以函数y=f（x）,（x∈A）中的x为横坐标，函数值y为纵坐标的点P（x，y）的集合C，叫做函数y=f（x）,（x∈A）的图象．C上每一点的坐标（x，y）均知足函数关系y=f（x），反过来，以知足y=f（x）的每一组x、y为坐标的点（x，y），均在C上.

（2）画法

A、描点法：

B、法

常用变换方法有三种

1）平移变换

2）伸缩变换

3）

4．区间的概念

（1）区间的分类：

、、

（2）无穷区间

（3）区间的表示．

5．映射

一般地，设A、B是两个非空的集合，如果按某一个确定的f，使对于集合A中的任意一个元素x，在集合B中都有唯一确定的元素y与之对应，那么就称对应f：

AB为从集合A到集合B的一个映射。

记作f：

A→B

6.

（1）在定义域的不同部分上有不同的解析表达式的函数。

（2）各部分的的取值情况．

（3）的定义域是各段定义域的交集，值域是各段值域的．

补充：

如果y=f（u）（u∈M）,u=g（x）（x∈A）,那么y=f[g（x）]=F（x）（x∈A）称为f、g的。

二．函数的性质

1.函数的（局部性质）

（1）增函数

设函数y=f（x）的定义域为I，如果对于定义域I内的某个区间D内的任意两个自变量x1，x2，当x1

如果对于区间D上的任意两个自变量的值x1，x2，当x1

注意：

函数的是函数的局部性质；

（2）图象的特点

如果函数y=f（x）在某个区间是增函数或，那么说函数y=f（x）在这一区间上具有（严格的），在上增函数的图象从左到右是上升的，的图象从左到右是下降的.

（3）.函数与单调性的判定方法

（A）定义法：

○1任取x1，x2∈D，且x1

○2作差f（x1）－f（x2）；

○3变形（通常是和配方）；

○4定号（即判断差f（x1）－f（x2）的正负）；

○5下结论（指出函数f（x）在给定的区间D上的单调性）．

（B）（从图象上看升降）

（C）的单调性

复合函数f[g（x）]的单调性与构成它的函数u=g（x），y=f（u）的单调性密切相关，其规律：

“同增异减”

注意：

函数的只能是其定义域的子区间,不能把单调性相同的区间和在一起写成其.

8．函数的（整体性质）

（1）

一般地，对于函数f（x）的定义域内的任意一个x，都有f（－x）=f（x），那么f（x）就叫做．

（2）．

一般地，对于函数f（x）的定义域内的任意一个x，都有f（－x）=—f（x），那么f（x）就叫做．

（3）具有的函数的图象的特征

的图象关于y；的图象关于．

利用定义判断的步骤：

○1首先确定函数的定义域，并判断其是否关于；

○2确定f（－x）与f（x）的关系；

○3作出相应结论：

若f（－x）=f（x）或f（－x）－f（x）=0，则f（x）是偶函数；若f（－x）=－f（x）或f（－x）＋f（x）=0，则f（x）是奇函数．

（2）由f（-x）±f（x）=0或f（x）／f（-x）=±1来判定;

（3）利用定理，或借助函数的图象判定.

9、函数的解析表达式

（1）.函数的解析式是函数的一种表示方法，要求两个变量之间的函数关系时，一是要求出它们之间的，二是要求出函数的定义域.

（2）求函数的解析式的主要方法有：

1）凑配法

2）

3）

4）消参法

10．函数最大（小）值（定义见课本p36页）

○1利用的性质（）求函数的最大（小）值

○2利用图象求函数的最大（小）值

○3利用函数单调性的判断函数的最大（小）值：

如果函数y=f（x）在区间[a，b]上单调递增，在区间[b，c]上单调递减则函数y=f（x）在x=b处有最大值f（b）；

如果函数y=f（x）在区间[a，b]上单调递减，在区间[b，c]上单调递增则函数y=f（x）在x=b处有最小值f（b）；

例题：

1.求下列函数的定义域：

⑴⑵

2.设函数的定义域为，则函数的定义域为__

3.若函数的定义域为，则函数的定义域是

4.函数，若，则=

6.已知函数，求函数，的解析式

7.已知函数满足，则=。

8.设是R上的奇函数，且当时,,则当时=

在R上的解析式为

9.求下列函数的单调区间：

⑴

（2）

10.判断函数的单调性并证明你的结论．

11.设函数判断它的并且求证：