1、集合知识点总结一、集合有关概念1. 集合的含义2. 集合的素的三个特性:(1) 元素的确定性,(2) 元素的,(3) 元素的, 3.集合的表示: 如:我校的篮球队员,太平洋,印度洋,(1) 用示集合:A=我校的篮球队员,B=1,2,3,4,5(2) 集合的表示方法:与。 注意:经常使用数集及其记法:(即) 记作:N N*或 N+ Z Q R1) :a,b,c2) :将集合中的元素的公共属性描述出来,写在内表示集合的方法。x R| x-32 ,x| x-323) 语言:例:不是直角三角形的三角形4) :4、集合的分类:(1) 含有有限个元素的集合(2) 含有无限个元素的集合(3) 空集 不含任何
2、元素的集合 例:x|x2=5二、集合间的基本关系1.“包含”关系注意: 有两种可能(1)A是B的一部分,;(2)A与B是同一集合。反之: 集合A不包含于集合B,或集合B不包含集合A,记作A B或B A2“相等”关系:A=B (55,且55,则5=5)实例:设 A=x|x2-1=0 B=-1,1 “元素相同则两集合相等”即: 任何一个集合是它本身的。A A:若是A B,且A B那就说集合A是集合B的,记作A B(或B A)若是 A B, B C ,那么 A C 若是A B 同时 B A 那么A=B3. 不含任何元素的集合叫集,记为规定: 空集是任何集合的, 空集是任何的。 有n个元素的集合,含有
3、2n个子集,2n-1个真子集三、集合的运算运算类型 交 集 并 集 补 集定 义 由所有属于A且属于B的元素所组成的集合,叫做A,B的交集记作A B(读作A交B),即A B=x|x A,且x B由所有属于集合A或属于集合B的元素所组成的集合,叫做A,B的记作:A B(读作A并B),即A B =x|x A,或x B)设S是一个集合,A是S的一个子集,由S中所有不属于A的的集合,叫做S集A的(或余集)记作 ,即CSA= 韦恩图示 性 质 A A=A A =A B=B AA B A A B BA A=AA =AA B=B AA B AA B B(CuA) (CuB)= Cu (A B)(CuA) (
4、CuB)= Cu(A B)A (CuA)=UA (CuA)= 例题:1.下列四组对象,能构成集合的是 ( )A某班所有高个子的学生 B著名的 C一切很大的书 D 倒数等于它自身的实数2.集合a,b,c 的真子集共有 个 3.若集合M=y|y=x2-2x+1,x R,N=x|x0,则M与N的关系是 .4.设集合A= ,B= ,若A B,则 的取值范围是 名学生做的物理、化学两种实验,已知做得正确得有40人,做得正确得有31人,两种实验都做错得有4人,则这两种实验都做对的有 人。6. 用描述法表示图影部分的点(含边界上的点)组成的集合M= .7.已知集合A=x| x2+2x-8=0, B=x| x
5、2-5x+6=0, C=x| x2-mx+m2-19=0, 若BC,AC=,求m的值二、函数的有关概念1函数的概念:设A、B是非空的数集,如果按照某个确定的对应关系f,使对于集合A中的任意一个数x,在集合B中都有唯一确定的数f(x)和它对应,那么就称f:AB为从集合A到集合B的一个函数记作: y=f(x),xA其中,x叫做,x的取值范围A叫做函数的概念域;与x的值相对应的y值叫做函数值,函数值的集合f(x)| xA 叫做函数的值域注意:1定义域:能使函数式有意义的实数x的集合称为函数的定义域。求函数的定义域时列的主要依据是:(1)的分母不等于零; (2)偶次方根的不小于零; (3)对数式的必须
6、大于零;(4)指数、对数式的底必须大于零且不等于1. (5)如果函数是由一些基本函数通过结合而成的.那么,它的定义域是使各部分都有意义的x的值组成的集合.(6)指数为零底不可以等于零, (7)实际问题中的函数的定义域还要保证实际问题有意义. 相同函数的判定方式:表达式相同(与表示和函数值的字母无关);概念域一致 (两点必需同时具有)(见课本21页相关例2)2值域 : 先考虑其定义域(1) (2)(3)代换法3. 知识归纳(1)定义:在中,以函数 y=f(x) , (xA)中的x为横坐标,函数值y为纵坐标的点P(x,y)的集合C,叫做函数 y=f(x),(x A)的图象C上每一点的坐标(x,y)
7、均知足函数关系y=f(x),反过来,以知足y=f(x)的每一组x、y为坐标的点(x,y),均在C上 . (2) 画法A、 描点法:B、 法常用变换方法有三种1) 平移变换2) 伸缩变换3) 4区间的概念(1)区间的分类:、(2)无穷区间(3)区间的表示5映射一般地,设A、B是两个非空的集合,如果按某一个确定的f,使对于集合A中的任意一个元素x,在集合B中都有唯一确定的元素y与之对应,那么就称对应f:A B为从集合A到集合B的一个映射。记作f:AB6. (1)在定义域的不同部分上有不同的解析表达式的函数。(2)各部分的的取值情况(3)的定义域是各段定义域的交集,值域是各段值域的补充:如果y=f(
8、u)(uM),u=g(x)(xA),那么 y=fg(x)=F(x)(xA) 称为f、g的。 二函数的性质1.函数的(局部性质)(1)增函数设函数y=f(x)的定义域为I,如果对于定义域I内的某个区间D内的任意两个自变量x1,x2,当x1x2时,都有f(x1)f(x2),那么就说f(x)在区间D上是增函数.区间D称为y=f(x)的单调增区间.如果对于区间D上的任意两个自变量的值x1,x2,当x1x2 时,都有f(x1)f(x2),那么就说f(x)在这个区间上是.区间D称为y=f(x)的单调减区间.注意:函数的是函数的局部性质;(2) 图象的特点如果函数y=f(x)在某个区间是增函数或,那么说函数
9、y=f(x)在这一区间上具有(严格的),在上增函数的图象从左到右是上升的,的图象从左到右是下降的.(3).函数与单调性的判定方法(A) 定义法:1 任取x1,x2D,且x1x2;2 作差f(x1)f(x2);3 变形(通常是和配方);4 定号(即判断差f(x1)f(x2)的正负);5 下结论(指出函数f(x)在给定的区间D上的单调性)(B)(从图象上看升降)(C)的单调性复合函数fg(x)的单调性与构成它的函数u=g(x),y=f(u)的单调性密切相关,其规律:“同增异减”注意:函数的只能是其定义域的子区间 ,不能把单调性相同的区间和在一起写成其. 8函数的(整体性质)(1)一般地,对于函数f
10、(x)的定义域内的任意一个x,都有f(x)=f(x),那么f(x)就叫做(2)一般地,对于函数f(x)的定义域内的任意一个x,都有f(x)=f(x),那么f(x)就叫做(3)具有的函数的图象的特征的图象关于y;的图象关于利用定义判断的步骤:1首先确定函数的定义域,并判断其是否关于;2确定f(x)与f(x)的关系;3作出相应结论:若f(x) = f(x) 或 f(x)f(x) = 0,则f(x)是偶函数;若f(x) =f(x) 或 f(x)f(x) = 0,则f(x)是奇函数(2)由 f(-x)f(x)=0或f(x)f(-x)=1来判定; (3)利用定理,或借助函数的图象判定 .9、函数的解析表
11、达式(1).函数的解析式是函数的一种表示方法,要求两个变量之间的函数关系时,一是要求出它们之间的,二是要求出函数的定义域.(2)求函数的解析式的主要方法有:1) 凑配法2) 3) 4) 消参法10函数最大(小)值(定义见课本p36页)1 利用的性质()求函数的最大(小)值2 利用图象求函数的最大(小)值3 利用函数单调性的判断函数的最大(小)值:如果函数y=f(x)在区间a,b上单调递增,在区间b,c上单调递减则函数y=f(x)在x=b处有最大值f(b);如果函数y=f(x)在区间a,b上单调递减,在区间b,c上单调递增则函数y=f(x)在x=b处有最小值f(b);例题:1.求下列函数的定义域: 2.设函数 的定义域为 ,则函数 的定义域为_ _ 3.若函数 的定义域为 ,则函数 的定义域是 4.函数 ,若 ,则 = 6.已知函数 ,求函数 , 的解析式7.已知函数 满足 ,则 = 。8.设 是R上的奇函数,且当 时, ,则当 时 = 在R上的解析式为 9.求下列函数的单调区间: (2) 10.判断函数 的单调性并证明你的结论11.设函数 判断它的并且求证:
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