有零点，从①开始继续使用中点函数值判断。
如果f（（a+b）/2）AO，则在区间［a,（a+b）/2）］内有零点，从①开始继续使用中点函数
值判断。
这样就可以不断接近零点。
通过每次把f（x）的零点所在小区间收缩一半的方法，使区间
的两个端点逐步迫近函数的零点，以求得零点的近似值，这种方法叫做二分法。
从以上可以看出，每次运算后，区间长度减少一半，是线形收敛。
3.什么是函数W（x）=O的不动点？
如何确定®（x）使它的不动点等价于f（x）的零点
P215.
将方程f（x）=O改写成等价的形式x=W（x），若要求X*满足f（x*）=O,贝yx*=W（x*）；
反之亦然，称x*为函数申（x）的一个不动点。
4.什么是不动点迭代法？
申（X）满足什么条件才能保证不动点存在和不动点迭代序列收敛于
④（X）的不动点
P215
求f（x）=0的零点就等价于求W（x）的不动点，选择一个初始近似值x0，将它代入xN（x）的右端，可求得
Xi=9（X0），如此反复迭代有
Xk+=^（Xk）,k=0,1,2,...,
®（x）称为迭代函数，如果对任何x^<^[a,b]，由兀屮=w（xk）,k=0,1,2,...得到的序列{xk}有极限
kimXk=x*，则称迭代方程收敛，且X*=^（x*）为甲（X）的不动点，故称
Xk+=®（Xk）,k=0,1,2,...为不动点迭代法。
5.什么是迭代法的收敛阶？
如何衡量迭代法收敛的快慢？
如何确定
Xk+=®（Xk）（k=0,1,2,...）的收敛阶
P219设迭代过程Xk啡=®（Xk）收敛于x=W（x）的根X*，如果当kT处时，迭代误差
ek=xk-x*满足渐近关系式ek-1
—TC,C=constH0
则称该迭代过程是P阶收敛的，特别点，当p=1时称为线性收敛，P>1时称为超线性收敛,p=2时称为平方收敛。
以收敛阶的大小衡量收敛速度的快慢。
6.什么是求解f（x）=0的牛顿法？
它是否总是收敛的？
若f（x*）=0,X*是单根，f是光
滑，证明牛顿法是局部二阶收敛的。
牛顿法:
f（Xk）
x*Xk-f（xk）
当f（Xk）K1时收敛。
7.什么是弦截法？
试从收敛阶及每步迭代计算量与牛顿法比较其差别。
8.什么是解方程的抛物线法？
在求多项式全部零点中是否优于牛顿法?
P229
设已知方程f（X）=0的三个近似根,
耳，Xk丄耳/，以这三点为节点构造二次插值多项式P
（X）,并适当选取p2（X）的一个零点Xk+作为新近似根，这样确定的迭代过程称为抛物线
法。
抛物线法的收敛阶1.840大于弦截法1.618，小于牛顿法2可用于所想是的实根和复根的求解。
9.什么是方程的重根？
重根对牛顿法收敛阶有何影响？
试给出具有二阶收敛的计算重根方法。
10.什么是求解n维非线性方程组的牛顿法？
它每步迭代要调用多少次标量函数（计算偏导数与计算函数值相当）
11.判断下列命题是否正确:
（1）
（2）
（3）
（4）
非线性方程（或方程组）的解通常不唯一（正确）牛顿法是不动点迭代的一个特例（正确）不动点迭代法总是线性收敛的（错误）任何迭代法的收敛阶都不可能高于牛顿法（正确）
求多项式P（X）的零点问题一定是病态的问题（错误）
（7）
（8）
二分法与牛顿法一样都可推广到多维方程组求解（错误）牛顿法有可能不收敛（正确）
不动点迭代法Xk十=®（Xk），其中X*=W（X*），若|®'（X*）|<1则对任意处置X0迭代
都收敛。
（对）
（10）弦截法也是不动点迭代法的特例（正确）
习题
1、用二分法求方程X2—X—1=0的正根，要求误差<0.05。
［解］令f（x）=x2-X-1，则f（0）=-1，f
（2）=1，所以有根区间为（0,2）；
又因为f
（1）=—1，所以有根区间为（1,2）;
f（1.5）=1.52-1.5-1=-0.25，所以有根区间为（1.5,2）；
f（1.75）=1.752-1.75-1=2：
>0,所以有根区间为（1.5,1.75）;16
（1.5,1.625）;
1
f（1.625）=1.625-1.625-1=—A0，所以有根区间为
需停5〕；
64
f（1討哙）2一19r1一恙"，所以有根区间为
^*19519
取X=—（1—+1—）=1—=1.59375，
216832
191
这时它与精确解的距离c一（1.625-1工）=—c0.05。
21632
3
2.为求方程x3-x2-1=0在X0=1.5附近的一个根，设将方程改写成下列等价形
迭代方法局部收敛。
/2二
2）设申（X）二訥+x2，则W'（X）=-x（1+x2）3，从而
3
1x
2
_3
（0.5）7
所以迭代方法发散。
C1
4）设申（X）=Jx3-1，则W0）=?
x2（x3—1）P,从而
2
3.比较求eX+10X—2=0的根到三位小数所需的计算量:
1）在区间0,1］内用二分法；2）用迭代法X"=（2-e耳）/10，取初值xo=0。
［解］1）使用二分法，令f（x）=eX+10X-2，则
f（0）=—1，f
（1）=e+8，有根区间为0,1】；
f（0.5）=e0.5+3〉0，有根区间为0,0.5】；
f（0.25）=e0.25+0.5>0，有根区间为0,0.25】;
f（0.125）=e0.125-0.75>0，有根区间为0,0.125】；
f（右）—¥=-0.5605<0，有根区间为當’讣；
也277
十__>0，有根区间为
从而八1（16+益"2048=o.。
90332，共二分10次。
2）使用迭代法Xy=2-"，则X1=上兰=0.1，X2=fo894829，
101010
_0.0894829_0.0906391
2—e2—e
X3==0.0906391，X4==0.0905126，
1010
即x=X4=0.0905126，共迭代4次。
4.给定函数f（x），设对一切X，f-（X）存在且0Ova<2/M内的任意定数A,迭代过程Xy=Xk-kf（Xk）均收敛于f（x）=0的根
［证明］由Xk+=Xk-M（Xk）可知，令®（X）（X），贝严'（X）=1—'（X），又因
2
为0cm®'（x）>—1，即W'（x）c1，从而迭代M
格式收敛。
5.用斯特芬森迭代法计算第2题中
（2）和（3）的近似根，精确到10,。
斯特芬森迭代法是一种加速的方法。
是埃特金加速方法与不动点迭代结合。
6.设④（X）=x-p（x）f（X）-q（x）f（x），试确定函数p（X）和q（x），使求解f（x）=0
且以W（X）为迭代函数的迭代法至少三阶收敛。
7.用下列方法求f（X）=X-3x-1=0在x0=2附近的根。
根的准确值
X=1.87938524…，要求计算结果准确到四位有效数字。
（1）牛顿法
（2）弦截法，取x0=2,%=1.9
f（Xk）
22
3x^-33x^-3
（3）抛物线法，取Xo=1,Xj=3,X2=2
⑷=f[Xk,Xk_L]+f[Xk,X2,Xk』（Xk—Xk_L），X0=1,X1=3X2=2，
f"3，d，心，叽心巴导
f[X2,Xi]=
f（X2）-f（X1）1-1716
X2—X12—3
=2-L
10+J10-4x1x610+V76
8.分别用二分法和牛顿法求X-tanx=0的最小正根。
按牛顿迭代法，其迭代公式为
f（Xk）（Xk—tanxk）
Xk-1—XkJ—Xk*
f'X）U-etanXk），取初始值x=4.6，得x*=4.493424
XkA掐且序列Xi,X2,…是递减的。
证:
减的。
10.对于f（x）=0的牛顿公式Xy=兀-f（xk）/f'（xk），证明
Rk=（xk-xkJ/（xk4—X2）2收敛到-「'（xr/^f'（X*）），这里X*为f（x）=0的根。
证:
Rk=（Xk—Xk4）/（Xk4—Xk』2-f（XkJ/f（Xk』
—2
（—f（X2）/f'（Xk4）
2
R<+=（Xk+—Xk）/（Xk—Xk4）
-f（Xk）/f（Xk）
—2
（-f（X」/f'（Xk」））
pp-f（Xk）/f'（Xk）—f（Xk4）/f'（Xk4）
Rk十一Rk_2—2
（―f（Xk」）/f'（Xk4））（—f（Xk/）/f（Xk/））
11.用牛顿法（4.13）和求重根迭代法（4.14川算方程f（xTsi叱卜0的一个近似根，准确到10」，初始值Xo专。
牛顿法（4.13）,m=2
需要计算到10-，取兀=3.1415926。
X*=x（7）=1.8955
f（Xk）f'（Xk）
求重根迭代法（4.14）
Xk=Xk—2
[f'（Xk）]2-f（Xk）f"（Xk）
2
（sinX—0.5x）（2（sinx—0.5x後cosx—0.5））
22
（2（sinX—0.5xXcosx一0.5））—（sinx—0.5x）（-2sinx（cosx—0.5））
需要计算到10-，取兀=3.1415926。
X*=xg=1.8955。
注：
matlab编程计算得出的结果。
12.应用牛顿法于方程x3-a=0,导出求立方根蚯的迭代公式，并讨论其收敛
性。
14.应用牛顿法于方程f（x）=xn-a=0和f（x）=1-二=0，分别导出求Va的
X
迭代公式，并求lim（Va-Xk十）/（Va-Xk）2。
k_^下
f（Xk）=Xk—nxk
f（X）rX"-a=0的迭代公式:
Xk#=Xk-
kf（Xk）
（n-1）Xkn+a
nXk
n-1
=xk
n
=imnanG-（n+1）aXk+x防
n厂（n+1）aXk—X严
府-xy「2na—
lim=lim—__na-2“…2
kY（Va—Xk）kY（V^-Xk）Yna（va—Xk）
—（n+1）a+（n+1风（n+1）（x,-a）（n+^nx：
」
=lim严=lim=lim
k^-2na^a—xk）^^-2na（*a-xk）2na
n」
~2^a
_（n+1）a〒n+1
-~2a
15.证明迭代公式Xk卄x^Xk+3a）是计算ja的三阶方法。
假定初值xo充分靠
3Xk+a
近x*，求km（需—xw）/（石—Xk）。
解:
16.用抛物线法求多项式p（x）=4x4-10x+1.25X2+5x+1.5的两个零点，再利用
降阶求出全部零点。
17.非线性方程组'3X^~X^~0在（0.4,0.7）t附近有一个解，构造一个不动
_5
[3x1x2-x1-^O
点迭代法，使它能收敛到这个解，并计算精确到10"^（按14^）。
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