李庆扬 数值分析第五版第7章习题答案0824.docx

1、李庆扬 数值分析第五版第7章习题答案0824复习与思考题1.什么是方程的有根区间？它与求根有何关系?P213，若f(x)Ca,b且f(a)f(b) cO，根据连续函数性质可知 f(x) = O在a,b内至少有一个实根，这时称a,b为f(x)=O的有根区间。2.什么是二分法？用二分法求 f(x)=O的根，f要满足什么条件?P213般地，对于函数 f(x)=O如果存在实数 C,当x=c时，若f(c)=O,那么把x=c叫做函数f(x)=O的零点。解方程即要求 f(X)=0的所有零点。假定f(X)=0在区间(X, y)上连续, 先找到a、b属于区间(x，y)，使f(a)f(b) cO，说明在区间(a,

2、b)内一定有零点，然后求f(a + b)/2)，现在假设 f(a) O, f(b) AO,acb果f(a + b)/2)=O，该点就是零点，如果f(a + b)/2) O则在区间(a + b)/2),b内有零点，从开始继续使用中点函数值判断。如果f(a + b)/2) AO，则在区间a,(a+b)/2)内有零点，从开始继续使用中点函数值判断。这样就可以不断接近零点。通过每次把 f(x)的零点所在小区间收缩一半的方法，使区间的两个端点逐步迫近函数的零点，以求得零点的近似值，这种方法叫做二分法。从以上可以看出，每次运算后，区间长度减少一半，是线形收敛。3.什么是函数W(x) =O的不动点？如何确定

3、 (x)使它的不动点等价于 f(x)的零点P 215.将方程f(x)=O改写成等价的形式 x=W(x)，若要求X*满足f(x*) = O,贝y x*=W(x*)；反之亦然，称x*为函数申(x)的一个不动点。4.什么是不动点迭代法？ 申(X)满足什么条件才能保证不动点存在和不动点迭代序列收敛于(X)的不动点P 215求f(x)=0的零点就等价于求W(x)的不动点，选择一个初始近似值x0，将它代入xN(x) 的右端，可求得Xi =9(X0)，如此反复迭代有Xk+ =(Xk),k =0,1,2,.,(x)称为迭代函数，如果对任何 x1时称为超线性收敛, p=2时称为平方收敛。以收敛阶的大小衡量收敛速

4、度的快慢。6.什么是求解f(x)=0的牛顿法？它是否总是收敛的？若 f(x*)=0, X*是单根，f是光滑，证明牛顿法是局部二阶收敛的。牛顿法:f(Xk)x*Xk-f (xk)当 f (Xk) K1时收敛。7.什么是弦截法？试从收敛阶及每步迭代计算量与牛顿法比较其差别。8.什么是解方程的抛物线法？在求多项式全部零点中是否优于牛顿法?P 229设已知方程f（X）= 0的三个近似根,耳，Xk丄耳/，以这三点为节点构造二次插值多项式 P（X）,并适当选取p2 （X）的一个零点Xk+作为新近似根，这样确定的迭代过程称为抛物线法。抛物线法的收敛阶1.840大于弦截法1.618，小于牛顿法2 可用于所想是

5、的实根和复根的求解。9.什么是方程的重根？重根对牛顿法收敛阶有何影响？试给出具有二阶收敛的计算重根方 法。10.什么是求解n维非线性方程组的牛顿法？它每步迭代要调用多少次标量函数（计算偏导 数与计算函数值相当）11.判断下列命题是否正确:（1）（2）（3）（4）非线性方程（或方程组）的解通常不唯一（正确） 牛顿法是不动点迭代的一个特例（正确） 不动点迭代法总是线性收敛的（错误） 任何迭代法的收敛阶都不可能高于牛顿法（正确）求多项式P（X）的零点问题一定是病态的问题（错误）(7)(8)二分法与牛顿法一样都可推广到多维方程组求解（错误） 牛顿法有可能不收敛（正确）不动点迭代法Xk十=（Xk），其中

6、X* =W（X*），若|（X*） |1则对任意处置X0迭代都收敛。（对）（10）弦截法也是不动点迭代法的特例（正确）习题1、用二分法求方程X2X1=0的正根，要求误差0,所以有根区间为(1.5,1.75); 16(1.5,1.625);1f (1.625) =1.625 -1.625 -1 = A0，所以有根区间为需停5；64f(1討哙)2一 19r1 一恙，所以有根区间为*19 5 19取 X = (1 +1)=1=1.59375，2 16 8 3219 1这时它与精确解的距离 c 一 (1.625-1工)=c 0.05。216 3232.为求方程x3-x2-1=0在X0=1.5附近的一个根

7、，设将方程改写成下列等价形迭代方法局部收敛。/ 2 二2)设申(X)二訥 +x2，则 W (X)=-x(1 +x2) 3，从而31x2_3(0.5)7所以迭代方法发散。C 14)设申(X)= Jx3 -1，则 W 0) =?x2(x3 1)P ,从而23.比较求eX +10X 2 = 0的根到三位小数所需的计算量:1)在区间0,1 内用二分法；2 )用迭代法X =(2 -e耳)/10，取初值xo =0。解1 )使用二分法，令f(x)=eX+10X-2，则f(0)=1，f(1)=e+8，有根区间为 0,1】；f(0.5) =e0.5 +30，有根区间为 0,0.5】；f (0.25) =e0.2

8、5+0.5 0，有根区间为 0,0.25】;f(0.125) =e0.125 -0.75 0，有根区间为 0,0.125】；f (右) = -0.5605 0，有根区间为从而八1(16+益2048=o.。90332，共二分10 次。2)使用迭代法 Xy =2-，则 X1 =上兰=0.1，X2 =fo894829，10 10 10_ 0.0894829 _ 0.09063912 e 2 eX3 = =0.0906391，X4 = = 0.0905126，10 10即 x=X4 =0.0905126，共迭代 4 次。4.给定函数f(x)，设对一切X，f-(X)存在且0mfTx)M，证明对于范围Ov

9、a 2/M内的任意定数A ,迭代过程Xy =Xk -kf(Xk)均收敛于f(x) =0的根证明由 Xk+ =Xk -M(Xk)可知，令(X)(X)，贝严(X)=1(X)，又因2为 0 cm f (x) M，Ova (x) 1，即 W (x) c 1，从而迭代 M格式收敛。5.用斯特芬森迭代法计算第2题中(2)和(3)的近似根，精确到10,。斯特芬森迭代法是一种加速的方法。是埃特金加速方法与不动点迭代结合。6.设(X)=x- p(x)f(X)-q(x)f (x)，试确定函数 p(X)和q(x)，使求解 f (x) = 0且以W(X)为迭代函数的迭代法至少三阶收敛。7.用下列方法求f(X)= X

10、-3x -1 = 0在x0 = 2附近的根。根的准确值X =1.87938524，要求计算结果准确到四位有效数字。(1)牛顿法(2)弦截法，取 x0 =2,% =1.9f(Xk)2 23x-3 3x-3(3)抛物线法，取 Xo =1, Xj =3,X2 =2=fXk,Xk_L + fXk,X2,Xk(Xk Xk_L)，X0 =1,X1 =3X2 =2，f3，d，心，叽心巴导fX2,Xi=f(X2)-f(X1)1-17 16X2 X1 2 3 =2 - L10 +J10 -4x1x6 10 + V768.分别用二分法和牛顿法求X-ta nx=0的最小正根。按牛顿迭代法，其迭代公式为f (Xk)

11、(Xkta nxk)Xk -1 Xk J Xk *fX) U-etanXk )，取初始值 x=4.6，得 x* =4.493424Xk A掐且序列Xi, X2 , 是递减的。证:减的。10.对于f（x） =0的牛顿公式Xy =兀-f（xk）/f（xk），证明Rk =(xk -xk J/(xk4 X2)2 收敛到-(xr/f(X*)，这里 X* 为 f(x)=0 的根。证:Rk =(Xk Xk4)/(Xk4Xk2 -f(XkJ/f (Xk 2(f(X2)/ f(Xk4)2R+ =(Xk+Xk)/(Xk Xk4)-f(Xk)/f (Xk) 2(-f(X/f(Xk)p p -f (Xk)/ f (X

12、k) f (Xk4)/ f (Xk4)Rk 十一Rk _ 2 2(f (Xk)/ f (Xk4) ( f (Xk/)/ f (Xk/)11.用牛顿法（4.13）和求重根迭代法（4.14川算方程f（xTsi叱卜0的 一个近似根，准确到10，初始值Xo专。牛顿法（4.13）, m=2需要计算到 10-，取兀=3.1415926。X* =x（7）=1.8955f(Xk)f (Xk)求重根迭代法（4.14）Xk = Xk 2 f(Xk)2-f(Xk)f (Xk)2(sin X 0.5x ) (2(sin x 0.5x 後 cosx 0.5 )2 2(2(sin X 0.5x X cosx 一0.5 )

13、 (sin x 0.5x ) (-2sin x(cosx 0.5 )需要计算到 10-，取兀=3.1415926。X* =xg =1.8955。注：matlab编程计算得出的结果。12.应用牛顿法于方程x3-a=0,导出求立方根 蚯 的迭代公式，并讨论其收敛性。14.应用牛顿法于方程f(x)=xn-a=0和f(x)=1-二=0，分别导出求Va的X迭代公式，并求lim (Va-Xk十)/(Va-Xk)2。 k_ 下f(Xk)=Xk nxkf(X)rX - a =0的迭代公式:Xk# =Xk -k f(Xk) (n - 1)Xkn +anXkn -1= xkn=im nanG-(n+1)aXk+x

14、防n 厂(n + 1)aXk X严,府-xy 2 nalim = lim _na-2 “ 2kY(VaXk) kY (V-Xk) Y n a(vaXk)(n+ 1)a +(n +1风 (n +1)(x, -a) (n+nx：=lim 严 =lim = lim k -2naa xk) -2na(*a -xk) 2nan2a_(n+ 1)a n+1-2a15.证明迭代公式Xk卄xXk +3a）是计算ja的三阶方法。假定初值xo充分靠3Xk +a近x*，求 km(需xw)/(石Xk) 。解:16.用抛物线法求多项式 p（x） =4x4 -10x +1.25X2 +5x + 1.5的两个零点，再利用降阶求出全部零点。17.非线性方程组3X X0 在（0.4,0.7）t附近有一个解，构造一个不动_53x1x2-x1- O点迭代法，使它能收敛到这个解，并计算精确到 10 （按14）。