离散数学 第1章 习题解答.docx
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离散数学第1章习题解答
习题1.1
1.下列句子中，哪些是命题？
哪些不是命题？
如果是命题，指出它的真值。
⑴中国有四大发明。
⑵计算机有空吗?
⑶不存在最大素数。
⑷21+3＜5。
⑸老王是山东人或河北人。
⑹2与3都是偶数。
⑺小李在宿舍里。
⑻这朵玫瑰花多美丽呀!
⑼请勿随地吐痰!
⑽圆的面积等于半径的平方乘以p。
⑾只有6是偶数，3才能是2的倍数。
⑿雪是黑色的当且仅当太阳从东方升起。
⒀如果天下大雨，他就乘班车上班。
解：
⑴⑶⑷⑸⑹⑺⑽⑾⑿⒀是命题，其中⑴⑶⑽⑾是真命题，⑷⑹⑿是假命题，⑸⑺⒀的真值目前无法确定；⑵⑻⑼不是命题。
2.将下列复合命题分成若干原子命题。
⑴李辛与李末是兄弟。
⑵因为天气冷，所以我穿了羽绒服。
⑶天正在下雨或湿度很高。
⑷刘英与李进上山。
⑸王强与刘威都学过法语。
⑹如果你不看电影，那么我也不看电影。
⑺我既不看电视也不外出，我在睡觉。
⑻除非天下大雨，否则他不乘班车上班。
解：
⑴本命题为原子命题；
⑵ p：
天气冷；q：
我穿羽绒服；
⑶ p：
天在下雨；q：
湿度很高；
⑷ p：
刘英上山；q：
李进上山；
⑸ p：
王强学过法语；q：
刘威学过法语；
⑹ p：
你看电影；q：
我看电影；
⑺ p：
我看电视；q：
我外出；r：
我睡觉；
⑻ p：
天下大雨；q：
他乘班车上班。
3.将下列命题符号化。
⑴他一面吃饭，一面听音乐。
⑵3是素数或2是素数。
⑶若地球上没有树木，则人类不能生存。
⑷8是偶数的充分必要条件是8能被3整除。
⑸停机的原因在于语法错误或程序错误。
⑹四边形ABCD是平行四边形当且仅当它的对边平行。
⑺如果a和b是偶数，则a+b是偶数。
解：
⑴ p：
他吃饭；q：
他听音乐；原命题符号化为：
p∧q
⑵ p：
3是素数；q：
2是素数；原命题符号化为：
p∨q
⑶ p：
地球上有树木；q：
人类能生存；原命题符号化为：
p→q
⑷ p：
8是偶数；q：
8能被3整除；原命题符号化为：
p↔q
⑸ p：
停机；q：
语法错误；r：
程序错误；原命题符号化为：
q∨r→p
⑹ p：
四边形ABCD是平行四边形；q：
四边形ABCD的对边平行；原命题符号化为：
p↔q。
⑺ p：
a是偶数；q：
b是偶数；r：
a+b是偶数；原命题符号化为：
p∧q→r
4.将下列命题符号化，并指出各复合命题的真值。
⑴ 如果3+3=6，则雪是白的。
⑵如果3+3≠6，则雪是白的。
⑶如果3+3=6，则雪不是白的。
⑷如果3+3≠6，则雪不是白的。
⑸
是无理数当且仅当加拿大位于亚洲。
⑹2+3=5的充要条件是
是无理数。
（假定是10进制）
⑺若两圆O1，O2的面积相等，则它们的半径相等，反之亦然。
⑻当王小红心情愉快时，她就唱歌，反之，当她唱歌时，一定心情愉快。
解：
设p：
3＋3＝6。
q：
雪是白的。
⑴ 原命题符号化为：
p→q；该命题是真命题。
⑵ 原命题符号化为：
p→q；该命题是真命题。
⑶ 原命题符号化为：
p→q；该命题是假命题。
⑷ 原命题符号化为：
p→q；该命题是真命题。
⑸ p：
是无理数；q：
加拿大位于亚洲；原命题符号化为：
p↔q；该命题是假命题。
⑹ p：
2+3＝5；q：
是无理数；原命题符号化为：
p↔q；该命题是真命题。
⑺ p：
两圆O1,O2的面积相等；q：
两圆O1,O2的半径相等；原命题符号化为：
p↔q；该命题是真命题。
⑻ p：
王小红心情愉快；q：
王小红唱歌；原命题符号化为：
p↔q；该命题是真命题。
习题1.2
1.判断下列公式哪些是合式公式，哪些不是合式公式。
⑴（p∧q→r）
⑵（p∧（q→r）
⑶（（Øp→q）↔（r∨s））
⑷（p∧q→rs）
⑸（（p→（q→r））→（（q→p）↔q∨r））。
解：
⑴⑶⑸是合式公式；⑵⑷不是合式公式。
2.设p：
天下雪。
q：
我将进城。
r：
我有时间。
将下列命题符号化。
⑴天没有下雪，我也没有进城。
⑵如果我有时间，我将进城。
⑶如果天不下雪而我又有时间的话，我将进城。
解：
⑴p∧q
⑵r→q
⑶p∧r→q
3.设p、q、r所表示的命题与上题相同，试把下列公式译成自然语言。
⑴r∧q
⑵¬（r∨q）
⑶q↔（r∧¬p）
⑷（q→r）∧（r→q）
解：
⑴我有时间并且我将进城。
⑵我没有时间并且我也没有进城。
⑶我进城，当且仅当我有时间并且天不下雪。
⑷如果我有时间，那么我将进城，反之亦然。
4.试把原子命题表示为p、q、r等，将下列命题符号化。
⑴或者你没有给我写信，或者它在途中丢失了。
⑵如果张三和李四都不去，他就去。
⑶我们不能既划船又跑步。
⑷如果你来了，那末他唱不唱歌将看你是否伴奏而定。
解：
⑴p：
你给我写信；q：
信在途中丢失；原命题符号化为：
（p∧q）∨（p∧q）。
⑵ p：
张三去；q：
李四去；r：
他去；原命题符号化为：
p∧q→r。
⑶ p：
我们划船；q：
我们跑步；原命题符号化为：
（p∧q）。
⑷ p：
你来了；q：
他唱歌；r：
你伴奏；原命题符号化为：
p→（q↔r）。
5.用符号形式写出下列命题。
⑴假如上午不下雨，我去看电影，否则就在家里读书或看报。
⑵我今天进城，除非下雨。
⑶仅当你走，我将留下。
解：
⑴ p：
上午下雨；q：
我去看电影；r：
我在家读书；s：
我在家看报；原命题符号化为：
（p→q）∧（p→r∨s）。
⑵ p：
我今天进城；q：
天下雨；原命题符号化为：
q→p。
⑶ p：
你走；q：
我留下；原命题符号化为：
q→p。
习题1.3
1.设A、B、C是任意命题公式，证明：
⑴AA
⑵若AB，则BA
⑶若AB，BC，则AC
证明：
⑴由双条件的定义可知A↔A是一个永真式，由等价式的定义可知AA成立。
⑵因为AB，由等价的定义可知A↔B是一个永真式，再由双条件的定义可知B↔A也是一个永真式，所以，BA成立。
⑶对A、B、C的任一赋值，因为AB，则A↔B是永真式，即A与B具有相同的真值，又因为BC，则B↔C是永真式，即B与C也具有相同的真值，所以A与C也具有相同的真值；即AC成立。
2.设A、B、C是任意命题公式，
⑴若A∨CÛB∨C,AÛB一定成立吗？
⑵若A∧CÛB∧C,AÛB一定成立吗？
⑶若¬AÛ¬B，AÛB一定成立吗？
解：
⑴不一定有AB。
若A为真，B为假，C为真，则A∨CB∨C成立，但AB不成立。
⑵不一定有AB。
若A为真，B为假，C为假，则A∧CB∧C成立，但AB不成立。
⑶一定有AB。
3.构造下列命题公式的真值表，并求成真赋值和成假赋值。
⑴q∧（p→q）→p
⑵p→（q∨r）
⑶（p∨q）↔（q∨p）
⑷（p∧Øq）∨（r∧q）→r
⑸（（¬p→（p∧¬q））→r）∨（q∧¬r）
解：
⑴ q∧（p→q）→p的真值表如表1.24所示。
表1.24
p
q
p→q
q∧（p→q）
q∧（p→q）→p
0
0
1
0
1
0
1
1
1
0
1
0
0
0
1
1
1
1
1
1
使得公式q∧（p→q）→p成真的赋值是：
00，10，11，使得公式q∧（p→q）→p成假的赋值是：
01。
⑵ p→（q∨r）的真值表如表1.25所示。
表1.25
p
q
r
q∨r
p→（q∨r）
0
0
0
0
1
0
0
1
1
1
0
1
0
1
1
0
1
1
1
1
1
0
0
0
0
1
0
1
1
1
1
1
0
1
1
1
1
1
1
1
使得公式p→（q∨r）成真的赋值是：
000，001，010，011，101，110，111，使得公式p→（q∨r）成假的赋值是：
100。
⑶ （p∨q）↔（q∨p）的真值表如表1.26所示。
表1.26
p
q
p∨q
q∨p
（p∨q）↔（q∨p）
0
0
0
0
1
0
1
1
1
1
1
0
1
1
1
1
1
1
1
1
所有的赋值均使得公式（p∨q）↔（q∨p）成真，即（p∨q）↔（q∨p）是一个永真式。
⑷ （p∧q）∨（r∧q）→r的真值表如表1.27所示。
表1.27
p
q
r
⌝q
p∧⌝q
r∧q
（p∧⌝q）∨（r∧q）
（p∧⌝q）∨（r∧q）→r
0
0
0
1
0
0
0
1
0
0
1
1
0
0
0
1
0
1
0
0
0
0
0
1
0
1
1
0
0
1
1
1
1
0
0
1
1
0
1
0
1
0
1
1
1
0
1
1
1
1
0
0
0
0
0
1
1
1
1
0
0
1
1
1
使得公式（p∧q）∨（r∧q）→r成真的赋值是：
000，001，010，011，101，110，111，使得公式（p∧q）∨（r∧q）→r成假的赋值是：
100。
⑸（（p→（p∧q））→r）∨（q∧r）的真值表如表1.28所示。
表1.28
p
q
r
p∧⌝q
⌝p→（p∧⌝q）
（⌝p→（p∧⌝q））→r
q∧⌝r
（（⌝p→（p∧⌝q））→r）∨（q∧⌝r）
0
0
0
0
0
1
0
1
0
0
1
0
0
1
0
1
0
1
0
0
0
1
1
1
0
1
1
0
0
1
0
1
1
0
0
1
1
0
0
0
1
0
1
1
1
1
0
1
1
1
0
0
1
0
1
1
1
1
1
0
1
1
0
1
使得公式（（p→（p∧q））→r）∨（q∧r）成真的赋值是：
000，001，010，011，101，110，111，使得公式（（p→（p∧q））→r）∨（q∧r）成假的赋值是：
100。
4.用真值表证明下列等价式：
⑴（p→q）p∧q
证明：
证明（p→q）p∧q的真值表如表1.29所示。
表1.29
p
q
p→q
⌝（p→q）
⌝q
p∧⌝q
0
0
1
0
1
0
0
1
1
0
0
0
1
0
0
1
1
1
1
1
1
0
0
0
由上表可见：
（p→q）和p∧q的真值表完全相同，所以（p→q）p∧q。
⑵p→qq→p
证明：
证明p→qq→p的真值表如表1.30所示。
表1.30
p
q
p→q
⌝p
⌝q
⌝q→⌝p
0
0
1
1
1
1
0
1
1
1
0
1
1
0
0
0
1
0
1
1
1
0
0
1
由上表可见：
p→q和q→p的真值表完全相同，所以p→qq→p。
⑶（p↔q）p↔q
证明：
证明（p↔q）和p↔q的真值表如表1.31所示。
表1.31
p
q
p↔q
⌝（p↔q）
⌝q
p↔⌝q
0
0
1
0
1
0
0
1
0
1
0
1
1
0
0
1
1
1
1
1
1
0
0
0
由上表可见：
（p↔q）和p↔q的真值表完全相同，所以（p↔q）p↔q。
⑷p→（q→r）（p∧q）→r
证明：
证明p→（q→r）和（p∧q）→r的真值表如表1.32所示。
表1.32
p
q
r
q→r
p→（q→r）
p∧q
（p∧q）→r
0
0
0
1
1
0
1
0
0
1
1
1
0
1
0
1
0
0
1
0
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0
1
1
1
0
1
1
1
0
0
0
1
0
1
1
1
1
1
1
1
由上表可见：
p→（q→r）和（p∧q）→r的真值表完全相同，所以p→（q→r）（p∧q）→r。
⑸p→（q→p）p→（p→q）
证明：
证明p→（q→p）和p→（p→q）的真值表如表1.33所示。
表1.33
p
q
q→p
p→（q→p）
⌝p
⌝q
p→⌝q
⌝p→（p→⌝q）
0
0
1
1
1
1
1
1
0
1
0
1
1
0
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1
1
0
1
1
0
1
1
1
1
1
1
1
0
0
0
1
由上表可见：
p→（q→p）和p→（p→q）的真值表完全相同，且都是永真式，所以p→（q→p）p→（p→q）。
⑹（p↔q）（p∨q）∧（p∧q）
证明：
证明（p↔q）和（p∨q）∧（p∧q）的真值表如表1.34所示。
表1.34
p
q
p↔q
⌝（p↔q）
p∨q
p∧q
⌝（p∧q）
（p∨q）∧⌝（p∧q）
0
0
1
0
0
0
1
0
0
1
0
1
1
0
1
1
1
0
0
1
1
0
1
1
1
1
1
0
1
1
0
0
由上表可见：
（p↔q）和（p∨q）∧（p∧q）的真值表完全相同，所以（p↔q）（p∨q）∧（p∧q）
⑺（p↔q）（p∧q）∨（p∧q）
证明：
证明（p↔q）和（p∧q）∨（p∧q）的真值表如表1.35所示。
表1.35
p
q
p↔q
⌝（p↔q）
p∧⌝q
⌝p∧q
（p∧⌝q）∨（⌝p∧q）
0
0
1
0
0
0
0
0
1
0
1
0
1
1
1
0
0
1
1
0
1
1
1
1
0
0
0
0
由上表可见：
（p↔q）和（p∧q）∨（p∧q）的真值表完全相同，所以（p↔q）（p∧q）∨（p∧q）。
⑻p→（q∨r）（p∧q）→r
证明：
证明p→（q∨r）和（p∧q）→r的真值表如表1.36所示。
表1.36
p
q
r
q∨r
p→（q∨r）
⌝q
p∧⌝q
（p∧⌝q）→r
0
0
0
0
1
1
0
1
0
0
1
1
1
1
0
1
0
1
0
1
1
0
0
1
0
1
1
1
1
0
0
1
1
0
0
0
0
1
1
0
1
0
1
1
1
1
1
1
1
1
0
1
1
0
0
1
1
1
1
1
1
0
0
1
由上表可见：
p→（q∨r）和（p∧q）→r的真值表完全相同，所以p→（q∨r）（p∧q）→r。
5.用等价演算证明习题4中的等价式。
⑴（p→q）
（p∨q）（条件等价式）
p∧q（德·摩根律）
⑵q→p
q∨p（条件等价式）
q∨p（双重否定律）
p∨q（交换律）
p→q（条件等价式）
⑶（p↔q）
（（p→q）∧（q→p））（双条件等价式）
（（p∨q）∧（q∨p））（条件等价式）
（p∧q）∨（q∧p）（德·摩根律）
（（p∧q）∨q）∧（（p∧q）∨p）（分配律）
（p∨q）∧（q∨p）（分配律）
（p∨q）∧（q∨p）（交换律）
（p→q）∧（q→p）（条件等价式）
p↔q（双条件等价式）
⑷p→（q→r）
p∨（q∨r）（条件等价式）
（p∨q）∨r（结合律）
（p∧q）∨r（德·摩根律）
（p∧q）→r（条件等价式）
⑸p→（q→p）
p∨（q∨p）（条件等价式）
T
p→（p→q）
p∨（p∨q）（条件等价式）
T
所以p→（q→p）p→（p→q）
⑹（p↔q）
（（p∧q）∨（p∧q））（例1.17）
（p∨q）∧（p∨q）（德·摩根律）
（p∨q）∧（p∧q）（德·摩根律）
所以（p↔q）（p∨q）∧（p∧q）
⑺（p↔q）
（（p→q）∧（q→p））（双条件等价式）
（（p∨q）∧（q∨p））（条件等价式）
（p∧q）∨（p∧q）（德·摩根律）
⑻p→（q∨r）
p∨（q∨r）（条件等价式）
（p∨q）∨r（结合律）
（p∧q）∨r（德·摩根律）
（p∧q）→r（条件等价式）
6.试用真值表证明下列命题定律。
⑴结合律：
（p∨q）∨rp∨（q∨r），（p∧q）∧rp∧（q∧r）
证明：
证明结合律的真值表如表1.37和表1.38所示。
表1.37
p
q
r
p∨q
（p∨q）∨r
q∨r
p∨（q∨r）
0
0
0
0
0
0
0
0
0
1
0
1
1
1
0
1
0
1
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1
1
1
1
1
1
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0
0
1
1
0
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0
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1
1
1
1
1
0
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
表1.38
p
q
r
p∧q
（p∧q）∧r
q∧r
p∧（q∧r）
0
0
0
0
0
0
0
0
0
1
0
0
0
0
0
1
0
0
0
0
0
0
1
1
0
0
1
0
1
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0
0
0
0
0
1
0
1
0
0
0
0
1
1
0
1
0
0
0
1
1
1
1
1
1
1
由真值表可知结合律成立。
⑵分配律：
p∧（q∨r）（p∧q）∨（p∧r），
p∨（q∧r）（p∨q）∧（p∨r）
证明：
证明合取对析取的分配律的真值表如表1.39所示，析取对合取的的分配律的真值表如表1.40所示。
表1.39
p
q
r
q∨r
p∧（q∨r）
p∧q
p∧r
（p∧q）∨（p∧r）
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
1
1
0
0
0
0
0
1
0
1
0
0
0
0
0
1
1
1
0
0
0
0
1
0
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0
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1
1
1
表1.40
p
q
r
q∧r
p∨（q∧r）
p∨q
p∨r
（p∨q）∧（p∨r）
0
0
0
0
0
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0
0
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1
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1
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1
1
1
1
1
由真值表可知分配律成立。
⑶假言易位式：
p→qq→p
证明：
证明假言易位式的真值表如表1.41所示。
表1.41
p
q
p→q
⌝q
⌝p
⌝q→⌝p
0
0
1
1
1
1
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1
1
1
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0
1
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0
1
1
1
0
0
1
由真值表可知假言易位律成立。
⑷双条件否定等价式：
p↔qp↔q
证明：
证明双条件否定的真值表如表1.42所示。
表1.42
p
q
p↔q
⌝p
⌝q
⌝p↔⌝q
0
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1
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1
由真值表可知双条件否定等价式成立。
习题1.4
1.用真值表或等价演算判断下列命题公式的类型。
⑴（p∨q）→q
（p∨q）∨q（条件等价式）
（p∧q）∨q（德·摩根律）
q（可满足式）（吸收律）
⑵（p→q）∧q
（p∨q）∧q（条件等价式）
（p∧q）∧q（德·摩根律）
F（永假式）（结合律、矛盾律）
⑶（p→q）∧p→q
（p∨q）∧p→q（条件等价式）
（p∧p）∨（q∧p）→q（分配律）
（q∧p）→q（同一律、矛盾律）
（q∧p）∨q（条件等价式）
（q∨p）∨q（德·摩根律）
T（永真式）（零律、排中律）
⑷（p→q）∧q
（p∨q）∧q（条件等价式）
q（可满足式）（吸收律）
⑸（p→q）→（q→p）
（p→q）→（p→q）（假言易位式）
T（永真式）
⑹（（p→q）∧（q→r））→（p→r）
（（p∨q）∧（q∨r））∨（p∨r）（条件等价式）
（p∧q）∨（q∧r）∨（p∨r）（德·摩根律）
（p∧q）∨（（p∨q∨r）∧（p∨r∨r））（分配律）
（p∧q）∨（p∨q∨r）（同一律、排中律、零律）
（p∨q∨r∨p）∧（p∨q∨r∨q）（分配律）
T（永真式）
⑺p→（p→q）
p∨（p∨q）（条件等价式）
T（永真式）
⑻p→（p∨q∨r）
p∨（p∨q∨r）（条件等价式）
T（永真式）
2.用真值表证明下列命题公式是重言式。
⑴（p∧（p→q））→q
（p∧（p→q））→q的真值表如表1.43所示。
由表1.43可以看出（p∧（p→q））→q是重言式。
表1.43
p
q
p→q
p∧（p→q）
（p∧（p→q））→q
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1
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1
0
1
1
0
1
1
0
0
0
1
1
1
1
1
1
⑵（q∧（p→q））→p
（q∧（p→q））→p的真值表如表1.44所示。
由表1.44可以看出（q∧（p→q））→p是重言式。
表1.44
p
q
p→q
⌝q
⌝q∧（p→q）
⌝p
（⌝q∧（p→q））→⌝p
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0
1
1
1
1
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0
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1
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