学年安徽省滁州市定远县民族中学高二下学期期中考试数学理试题.docx
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学年安徽省滁州市定远县民族中学高二下学期期中考试数学理试题
定远民族中学2017-2018学年度下学期期中考试卷
高二理科数学（理科）
（本卷满分150分，考试时间120分钟）
注意事项：
1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息
2．请将答案正确填写在答题卡上
第I卷（选择题60分）
一、选择题（本题有12小题，每小题5分，共60分。
）
1.设为虚数单位，则复数的共轭复数为（）
A.B.C.D.
2.已知复数在复平面对应的点在第四象限，则实数的取值范围是（）
A.B.C.D.[-1,4]
3.计算：
=（ ）
A.2B.﹣2C.2iD.﹣2i
4.已知复数z=﹣2+i，则复数的模为（ ）
A.1B.C.D.2
5.已知函数，若，则的值等于（）
A.B.C.D.
6.已知函数f（x）=，则y=f（x）的图象大致为（ ）
A.B.C.D.
7.已知函数f（x）是定义在R上的奇函数，当x＜0时，f（x）=（x+1）ex则对任意的m∈R，函数F（x）=f（f（x））﹣m的零点个数至多有（ ）
A.3个B.4个C.6个D.9个
8.定积分=（）
A.10﹣ln3B.8﹣ln3C.D.
9.对任意的，总有，则的取值范围是（）
A.B.C.D.
10.由曲线y=，直线y=x﹣2及y轴所围成的图形的面积为（）
A.B.4C.D.6
11.用数学归纳法证明1+a+a2+…+an+1=（a≠1，n∈N*），在验证当n=1时，等式左边应为（）.
A.1B.1+aC.1+a+a2D.1+a+a2+a3
12.用反证法证明“若a+b+c＜3，则a，b，c中至少有一个小于1”时，“假设”应为（）
A.假设a，b，c至少有一个大于1B.假设a，b，c都大于1
C.假设a，b，c至少有两个大于1D.假设a，b，c都不小于1
第II卷（非选择题90分）
二、填空题（本题有4小题，每小题5分，共20分。
）
13.观察下列数表：
1
35
791113
1517192123252729
设2017是该表第行的第个数，则的值为__________．
14.已知复数，则|z|= ．
15.若函数f（x）＝xsinx＋cosx，则f′＝________．
16.已知函数下列四个命题：
①f（f
（1））>f（3）；②x0∈（1,+∞）,f'（x0）=-1/3；
③f（x）的极大值点为x=1；④x1,x2∈（0,+∞）,|f（x1）-f（x2）|≤1
其中正确的有 （写出所有正确命题的序号）
三、解答题（本题有6小题，共70分。
）
17.（6分）设复数，若，求实数的值。
18.（14分）已知函数（）
（1）求函数的单调增区间；
（2）若函数在上的最小值为，求的值.
19.（14分）在数列中，，当时，成等比数列。
（1）求，并推出的表达式；
（2）用数学归纳法证明所得结论.
20.（12分）设．
（1）求的单调区间；
（2）求函数在上的最值．
21.（12分）
（1）当时，试用分析法证明：
；
（2）已知，.求证：
中至少有一个不小于0.
22.（12分）现有一张长为，宽为（）的长方形铁皮，准备用它做成一个无盖长方体铁皮容器，要求材料利用率为100%，不考虑焊接处损失.如图，在长方形的一个角上剪下一块边长为的正方形铁皮，作为铁皮容器的底面，用余下材料剪拼后作为铁皮容器的侧面，设长方体的高为，体积为.
（Ⅰ）求关于的函数关系式；
（Ⅱ）求该铁皮容器体积的最大值.
参考答案
1.B
【解析】
由于，所以的共轭复数为，故答案为：
B.
把分母实数化乘以分母的共轭复数整理即可得到该复数的共轭复数。
2.C
【解析】复数，
在复平面内对应的点在第四象限，则，
解得.
实数a的取值范围是（−1,4）.
故答案为：
C.
3.
【解析】===2，
故答案为：
A．
4.B
【解析】：
∵z=﹣2+i，
∴，
则复数的模，
故选：
B．
5.C
【解析】,选C.
6.B
【解析】：
设g（x）=ln（x+1）-x,
则g′（x）=
∴g（x）在（﹣1，0）上为增函数，在（0，+∞）上为减函数
∴g（x）＜g（0）=0
∴f（x）=＜0
得：
x＞0或﹣1＜x＜0均有f（x）＜0排除A，C，
又f（x）=中，，能排除D．
故答案为：
B
7.A
【解析】当x＜0时，f（x）=（x+1）ex，可得f′（x）=（x+2）ex，可知x∈（﹣∞，﹣2），函数是减函数，x∈（﹣2，0）函数是增函数，
f（﹣2）=，f（﹣1）=0，且x→0时，f（x）→1，又f（x）是定义在R上的奇函数，f（0）=0，而x∈（﹣∞，﹣1）时，f（x）＜0，
所以函数的图象如图：
令t=f（x）则f（t）=m，
由图象可知：
当t∈（﹣1，1）时，方程f（x）=t至多3个根，当t∉（﹣1，1）时，方程没有实数根，
而对于任意m∈R，方程f（t）=m至多有一个根，t∈（﹣1，1），
从而函数F（x）=f（f（x））﹣m的零点个数至多有3个．
故答案为：
A．
当x＜0时，f（x）=（x+1）ex，可得f′（x）=（x+2）ex可知x∈（﹣∞，﹣2），函数是减函数，x∈（﹣2，0）函数是增函数，并且f（﹣2）=−，f（﹣1）=0，且x→0时，f（x）→1，根据f（x）为奇函数，其图像关于原点对称，根据分析结果，作出f（x）的大致图象，数形结合不难得出零点最多为3个.
8.B
【解析】==8﹣ln3，
故答案为：
B．
9.A
【解析】原问题即在区间上恒成立，考查临界情况，即函数与相切时的情形，
很明显切点横坐标位于区间内，此时，，
由可得：
，
则切点坐标为：
，
切线方程为：
，
令可得纵截距为：
，
结合如图所示的函数图象可得则的取值范围是.
10.C
【解析】联立方程得到两曲线的交点（4，2），
因此曲线y=，直线y=x﹣2及y轴所围成的图形的面积为：
S=．故答案为：
C．
11.C
【解析】本题难度适中，直接代入，当时，左边，故选C.
12.D
【解析】由于命题：
“若a，b，c中至少有一个小于1”的反面是：
“a，b，c都不小于1”，
故用反证法证明“若a+b+c＜3，则a，b，c中至少有一个小于1”时，“假设”应为“a，b，c都不小于1”，
故选D．
13.
【解析】根据数表的数的排列规律，都是连续奇数第一行，有个数，第二行，有个数,且第一个数是；第三行，有个数，且第一个数是；第四行，有个数，且第一个数是，第行，有个数，且第一个数是，，在第行，，是第行的第个数，，故答案为.
14.
【解析】复数==﹣i﹣1，
则|z|==．
故答案为：
．
15.
【解析】∵f（x）＝xsinx＋cosx，
∴f′（x）＝（xsinx＋cosx）′＝（xsinx）′＋（cosx）′＝sinx＋xcosx－sinx＝xcosx.
∴f′＝＝cos＝0.
答案：
0
16.①②③④
【解析】
函数的图形如图所示，对于①，，①正确；对于②，时，，故②正确；对于③，根据图形可判断③正确；对于④，时，，故④正确.
故答案为：
①②③④.
17.a=-3,b=4.
【解析】
18.
（1）由题意，的定义域为，且.
当时，，∴的单调增区间为.
当时，令，得，∴的单调增区间为.
（2）解：
由
（1）可知，.
若，则，即在上恒成立，在上为增函数，
∴，∴（舍去）.
若，则，即在上恒成立，在上为减函数，
∴，∴（舍去）.
若，当时，，∴在上为减函数，
当时，，所以上为增函数，
∴，∴
综上所述，.
19.
（1）；
（2）见解析.
【解析】
（1）成等比数列，①
由代入①得
由代入①得
同理可得，由此推出：
.
（2）证明：
当时，由
（1）知成立，
（2）假设时，命题成立，即，
，（舍）
，
也就是说，当时，命题也成立
根据
（1）
（2）对于任意，.
20.
（1）函数的单调增区间是，单调递减区间是
（2）最大值是，最小值是
【解析】
（1）因为依题意得，
定义域是，然后求解，结合二次不等式得到单调区间。
（2）在第一问的基础上可知知道极值，然后比较机制和端点值的大小得到结论。
解：
依题意得，
…………2分
定义域是…………3分
（1）…………5分
令，得或，
令，得…………7分
由于定义域是，
函数的单调增区间是，单调递减区间是…………8分
（2）令，得，…………9分
由于，，，…………11分
在上的最大值是，最小值是…………14分
21.
（1）见解析
（2）见解析
【解析】
（1）要证
即证
只要证
即证
即证
只要证
而上式显然成立
所以成立
（2）假设且
由得
由得，
这与矛盾
所以假设错误
所以中至少有一个不小于0
22.（Ⅰ）（）.（Ⅱ）
【解析】
（（Ⅰ）由题意得，
即（）.
（Ⅱ）铁皮容器体积（）.
，
当时，即，在上，恒成立，函数单调递增，
此时；
当，即，在上，，函数单调递增，在上，，函数单调递减，此时.
所以
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