第5讲角含半角模型原卷版.docx

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第5讲角含半角模型原卷版

中考数学几何模型5：

角含半角模型st

●模型1：

截长补短模型

●模型2：

共顶点模型

●模型3：

对角互补模型

●模型:

4：

中点模型

●模型5：

角含半角模型

●模型6：

弦图模型

●模型7：

轴对称最值模型

●模型8：

费马点最值模型

●模型9：

隐圆模型

●模型10：

胡不归最值模型

●模型11：

阿氏圆最值模型

●模型12：

主从联动模型

名师点睛拨开云雾开门见山

角含半角模型，顾名思义即一个角包含着它的一半大小的角。

它主要包含：

等腰直角三角形角含半角模型；正方形中角含半角模型两种类型。

解决类似问题的常见办法主要有两种：

旋转目标三角形法和翻折目标三角形法。

类型一：

等腰直角三角形角含半角模型

（1）如图，在△ABC中，AB=AC，∠BAC=90°，点D，E在BC上，且∠DAE=45°，则：

BD2+CE2=DE2.

图示

（1）作法1：

将△ABD旋转90°作法2：

分别翻折△ABD,△ACE

（2）如图，在△ABC中，AB=AC，∠BAC=90°，点D在BC上，点E在BC延长线上，且∠DAE=45°，则：

BD2+CE2=DE2.

图示

（2）

（3）如图，将等腰直角三角形变成任意等腰三角形时，亦可以进行两种方法的操作处理..

任意等腰三角形

类型二：

正方形中角含半角模型

（1）如图，在正方形ABCD中，点E，F分别在边BC，CD上，∠EAF=45°，连接EF，过点A作AG⊥于EF于点G，则：

EF=BE+DF，AG=AD.

图示

（1）作法：

将△ABE绕点A逆时针旋转90°

（2）如图，在正方形ABCD中，点E，F分别在边CB，DC的延长线上，∠EAF=45°，连接EF，则：

EF=DF-BE.

图示

（2）作法：

将△ABE绕点A逆时针旋转90°

（3）如图，将正方形变成一组邻边相等，对角互补的四边形，在四方形ABCD中，AB=AD，∠BAD+∠C=180°，点E，F分别在边BC，CD上，∠EAF=

∠BAD，连接EF，则：

EF=BE+DF.

图示（3）作法：

将△ABE绕点A逆时针旋转∠BAD的大小

典题探究启迪思维探究重点

例题1.如图，正方形ABCD的边长为4，点E，F分别在AB，AD上，若CE＝5，且∠ECF＝45°，则CF

的长为　　．

变式练习>>>

1．如图四边形ABCD中，AD∥BC，∠BCD＝90°，AB＝BC+AD，∠DAC＝45°，E为CD上一点，且∠

BAE＝45°．若CD＝4，则△ABE的面积为（　　）

A．

B．

C．

D．

例题2.在正方形ABCD中，连接BD．

（1）如图1，AE⊥BD于E．直接写出∠BAE的度数．

（2）如图1，在

（1）的条件下，将△AEB以A旋转中心，沿逆时针方向旋转30°后得到△AB′E′，AB′与BD交于M，AE′的延长线与BD交于N．

①依题意补全图1；

②用等式表示线段BM、DN和MN之间的数量关系，并证明．

（3）如图2，E、F是边BC、CD上的点，△CEF周长是正方形ABCD周长的一半，AE、AF分别与BD交于M、N，写出判断线段BM、DN、MN之间数量关系的思路．（不必写出完整推理过程）

变式练习>>>

2.

（1）【探索发现】

如图1，正方形ABCD中，点M、N分别是边BC、CD上的点，∠MAN＝45°，若将△DAN绕点A顺时针旋转90°到△BAG位置，可得△MAN≌△MAG，若△MCN的周长为6，则正方形ABCD的边长为　3　．

（2）【类比延伸】

如图

（2），四边形ABCD中，AB＝AD，∠BAD＝120°，∠B+∠D＝180°，点M、N分别在边BC、CD上的点，∠MAN＝60°，请判断线段BM，DN，MN之间的数量关系，并说明理由．

（3）【拓展应用】

如图3，四边形ABCD中，AB＝AD＝10，∠ADC＝120°，点M，N分别在边BC，CD上，连接AM，MN，△ABM是等边三角形，AM⊥AD，DN＝5（

﹣1），请直接写出MN的长．

例题3.如图，在四边形ABCD中，AB=BC，∠A=∠C=90°，∠B=135°，K，N分别是AB，BC上的点，若△BKN的周长为AB的2倍，求∠KDN的度数.

变式练习>>>

3.如图，正方形被两条与边平行的线段EF，GH分割成四个小矩形，P是EF与GH的交点，若矩形PFCH的面积恰是矩形AGPE面积的2倍，试确定∠HAF的大小并证明你的结论.

例题4.如图，在四边形ABCD中，AB＝AD，BC＝CD，∠ABC＝∠ADC＝90°，∠MAN＝

∠BAD．

（1）如图1，将∠MAN绕着A点旋转，它的两边分别交边BC、CD于M、N，试判断这一过程中线段BM、DN和MN之间有怎样的数量关系？

直接写出结论，不用证明；

（2）如图2，将∠MAN绕着A点旋转，它的两边分别交边BC、CD的延长线于M、N，试判断这一过程中线段BM、DN和MN之间有怎样的数量关系？

并证明你的结论；

（3）如图3，将∠MAN绕着A点旋转，它的两边分别交边BC、CD的反向延长线于M、N，试判断这一过程中线段BM、DN和MN之间有怎样的数量关系？

直接写出结论，不用证明．

达标检测领悟提升强化落实

1.请阅读下列材料：

问题：

正方形ABCD中，M，N分别是直线CB、DC上的动点，∠MAN＝45°，当∠MAN交边CB、DC于点M、N（如图①）时，线段BM、DN和MN之间有怎样的数量关系？

小聪同学的思路是：

延长CB至E使BE＝DN，并连接AE，构造全等三角形经过推理使问题得到解决．请你参考小聪同学的思路，探究并解决下列问题：

（1）直接写出上面问题中，线段BM，DN和MN之间的数量关系；

（2）当∠MAN分别交边CB，DC的延长线于点M/N时（如图②），线段BM，DN和MN之间的又有怎样的数量关系？

请写出你的猜想，并加以证明；

（3）在图①中，若正方形的边长为16cm，DN＝4cm，请利用

（1）中的结论，试求MN的长．

2.

（1）如图1，在四边形ABCD中，AB＝AD，∠B＝∠D＝90°，E、F分别是边BC、CD上的点，且∠EAF＝

∠BAD．试探究图中线段BE、EF、FD之间的数量关系．

（1）小王同学探究此问题的方法是：

延长EB到点G，使BG＝DF，连结AG，先证明△ABG≌△ADF，再证明△AEG≌△AEF，可得出结论，他的结论应是　　．

（2）如图2，在四边形ABCD中，AB＝AD，∠B+∠D＝180°，E、F分别是边BC、CD上的点，且∠EAF＝

∠BAD，上述结论是否仍然成立，并说明理由．

（3）如图3，在四边形ABCD中，AB＝AD，∠B+∠ADC＝180°，E、F分别是边BC、CD延长线上的点，且∠EAF＝

∠BAD，

（1）中的结论是否仍然成立？

若成立，请证明；若不成立，请写出它们之间的数量关系，并证明．

3.小曼和他的同学组成了“爱琢磨”学习小组，有一次，他们碰到这样一道题：

“已知正方形ABCD，点E、F、G、H分别在边AB、BC、CD、DA上，若EG⊥FH，则EG＝FH．”为了解决这个问题，经过思考，大家给出了以下两个方案：

方案一：

过点A作AM∥HF交BC于点M，过点B作BN∥EG交CD于点N；

方案二：

过点A作AM∥HF交BC于点M，过点A作AN∥EG交CD于点N．…

（1）对小曼遇到的问题，请在甲、乙两个方案中任选一个加以证明（如图

（1））．

（2）如果把条件中的“正方形”改为“长方形”，并设AB＝2，BC＝3（如图

（2）），是探究EG、FH之间有怎样的数量关系，并证明你的结论．

（3）如果把条件中的“EG⊥FH”改为“EG与FH的夹角为45°”，并假设正方形ABCD的边长为1，FH的长为

（如图（3）），试求EG的长度．

4.已知：

如图，正方形ABCD的边长为a，BM，DN分别平分正方形的两个外角，且满足∠MAN=45°，连接MC，NC，MN．

（1）填空：

与△ABM相似的三角形是_________，BM•DN=_________；（用含a的代数式表示）

（2）求∠MCN的度数；

（3）猜想线段BM，DN和MN之间的等量关系并证明你的结论.