第5讲角含半角模型原卷版.docx

1、第5讲角含半角模型原卷版中考数学几何模型5：角含半角模型st模型1：截长补短模型模型2：共顶点模型模型3：对角互补模型模型:4：中点模型模型5：角含半角模型模型6：弦图模型模型7：轴对称最值模型模型8：费马点最值模型模型9：隐圆模型模型10：胡不归最值模型模型11：阿氏圆最值模型模型12：主从联动模型名师点睛 拨开云雾 开门见山角含半角模型，顾名思义即一个角包含着它的一半大小的角。它主要包含：等腰直角三角形角含半角模型；正方形中角含半角模型两种类型。解决类似问题的常见办法主要有两种：旋转目标三角形法和翻折目标三角形法。类型一：等腰直角三角形角含半角模型（1）如图，在ABC中，AB=AC，BAC

2、=90，点D，E在BC上，且DAE=45，则：BD2+CE2=DE2. 图示（1） 作法1：将ABD旋转90 作法2：分别翻折ABD,ACE （2）如图，在ABC中，AB=AC，BAC=90，点D在BC上，点E在BC延长线上，且DAE=45，则：BD2+CE2=DE2. 图示（2） （3）如图，将等腰直角三角形变成任意等腰三角形时，亦可以进行两种方法的操作处理. 任意等腰三角形 类型二：正方形中角含半角模型（1）如图，在正方形ABCD中，点E，F分别在边BC，CD上，EAF=45，连接EF，过点A作AG于EF于点G，则：EF=BE+DF，AG=AD. 图示（1） 作法：将ABE绕点A逆时针旋转

3、90 （2）如图，在正方形ABCD中，点E，F分别在边CB，DC的延长线上，EAF=45，连接EF，则：EF=DF-BE. 图示（2） 作法：将ABE绕点A逆时针旋转90（3）如图，将正方形变成一组邻边相等，对角互补的四边形，在四方形ABCD中，AB=AD，BAD+C=180，点E，F分别在边BC，CD上，EAF=BAD，连接EF，则：EF=BE+DF. 图示（3） 作法：将ABE绕点A逆时针旋转BAD的大小典题探究 启迪思维 探究重点例题1. 如图，正方形ABCD的边长为4，点E，F分别在AB，AD上，若CE5，且ECF45，则CF的长为变式练习1如图四边形ABCD中，ADBC，BCD90，

4、ABBC+AD，DAC45，E为CD上一点，且BAE45若CD4，则ABE的面积为（）A B C D例题2. 在正方形ABCD中，连接BD（1）如图1，AEBD于E直接写出BAE的度数（2）如图1，在（1）的条件下，将AEB以A旋转中心，沿逆时针方向旋转30后得到ABE，AB与BD交于M，AE的延长线与BD交于N依题意补全图1；用等式表示线段BM、DN和MN之间的数量关系，并证明（3）如图2，E、F是边BC、CD上的点，CEF周长是正方形ABCD周长的一半，AE、AF分别与BD交于M、N，写出判断线段BM、DN、MN之间数量关系的思路（不必写出完整推理过程）变式练习2. （1）【探索发现】如图

5、1，正方形ABCD中，点M、N分别是边BC、CD上的点，MAN45，若将DAN绕点A顺时针旋转90到BAG位置，可得MANMAG，若MCN的周长为6，则正方形ABCD的边长为3（2）【类比延伸】如图（2），四边形ABCD中，ABAD，BAD120，B+D180，点M、N分别在边BC、CD上的点，MAN60，请判断线段BM，DN，MN之间的数量关系，并说明理由（3）【拓展应用】如图3，四边形ABCD中，ABAD10，ADC120，点M，N分别在边BC，CD上，连接AM，MN，ABM是等边三角形，AMAD，DN5（1），请直接写出MN的长例题3. 如图，在四边形ABCD中，AB=BC，A=C=90

6、，B=135，K，N分别是AB，BC上的点，若BKN的周长为AB的2倍，求KDN的度数.变式练习3. 如图，正方形被两条与边平行的线段EF，GH分割成四个小矩形，P是EF与GH的交点，若矩形PFCH的面积恰是矩形AGPE面积的2倍，试确定HAF的大小并证明你的结论. 例题4. 如图，在四边形ABCD中，ABAD，BCCD，ABCADC90，MANBAD（1）如图1，将MAN绕着A点旋转，它的两边分别交边BC、CD于M、N，试判断这一过程中线段BM、DN和MN之间有怎样的数量关系？直接写出结论，不用证明；（2）如图2，将MAN绕着A点旋转，它的两边分别交边BC、CD的延长线于M、N，试判断这一过

7、程中线段BM、DN和MN之间有怎样的数量关系？并证明你的结论；（3）如图3，将MAN绕着A点旋转，它的两边分别交边BC、CD的反向延长线于M、N，试判断这一过程中线段BM、DN和MN之间有怎样的数量关系？直接写出结论，不用证明达标检测 领悟提升 强化落实1. 请阅读下列材料：问题：正方形ABCD中，M，N分别是直线CB、DC上的动点，MAN45，当MAN交边CB、DC于点M、N（如图）时，线段BM、DN和MN之间有怎样的数量关系？小聪同学的思路是：延长CB至E使BEDN，并连接AE，构造全等三角形经过推理使问题得到解决请你参考小聪同学的思路，探究并解决下列问题：（1）直接写出上面问题中，线段B

8、M，DN和MN之间的数量关系；（2）当MAN分别交边CB，DC的延长线于点M/N时（如图），线段BM，DN和MN之间的又有怎样的数量关系？请写出你的猜想，并加以证明；（3）在图中，若正方形的边长为16cm，DN4cm，请利用（1）中的结论，试求MN的长2. （1）如图1，在四边形ABCD中，ABAD，BD90，E、F分别是边BC、CD上的点，且EAFBAD试探究图中线段BE、EF、FD之间的数量关系（1）小王同学探究此问题的方法是：延长EB到点G，使BGDF，连结AG，先证明ABGADF，再证明AEGAEF，可得出结论，他的结论应是 （2）如图2，在四边形ABCD中，ABAD，B+D180，E

9、、F分别是边BC、CD上的点，且EAFBAD，上述结论是否仍然成立，并说明理由（3）如图3，在四边形ABCD中，ABAD，B+ADC180，E、F分别是边BC、CD延长线上的点，且EAFBAD，（1）中的结论是否仍然成立？若成立，请证明；若不成立，请写出它们之间的数量关系，并证明3. 小曼和他的同学组成了“爱琢磨”学习小组，有一次，他们碰到这样一道题：“已知正方形ABCD，点E、F、G、H分别在边AB、BC、CD、DA上，若EGFH，则EGFH”为了解决这个问题，经过思考，大家给出了以下两个方案：方案一：过点A作AMHF交BC于点M，过点B作BNEG交CD于点N；方案二：过点A作AMHF交BC

10、于点M，过点A作ANEG交CD于点N（1）对小曼遇到的问题，请在甲、乙两个方案中任选一个加以证明（如图（1）（2）如果把条件中的“正方形”改为“长方形”，并设AB2，BC3（如图（2），是探究EG、FH之间有怎样的数量关系，并证明你的结论（3）如果把条件中的“EGFH”改为“EG与FH的夹角为45”，并假设正方形ABCD的边长为1，FH的长为（如图（3），试求EG的长度4. 已知：如图，正方形ABCD的边长为a，BM，DN分别平分正方形的两个外角，且满足MAN=45，连接MC，NC，MN（1）填空：与ABM相似的三角形是_，BMDN=_；（用含a的代数式表示）（2）求MCN的度数；（3）猜想线段BM，DN和MN之间的等量关系并证明你的结论.