《地学建模》作业.docx

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《地学建模》作业

研究生课程学习考试成绩单

（试卷封面）

院系

专业

研究生姓名

学号

课程名称

地学建模

授课时间

周学时

学分

简

要

评

语

考核论题

重物封堵溃口的数学模型及其试验研究

总评成绩

（含平时成绩）

备注

任课教师签名：

批改日期：

注：

1、以撰写论文为考核形式的，填写此表，综合考试可不填；

2、本成绩单由任课教师填写，填好后与作业（试卷）一并送院（系）研究生秘书处；

3、学位课总评成绩须以百分制记分。

重物封堵溃口的数学模型及其试验研究

一、问题的重述

我国地域辽阔，水系庞大，汛期溃坝溃堤各类险情时有发生，继而引发的泥石流等自然灾害对国家和人民财产造成了严重的损失，对人民的人身安全构成了巨大的威胁。

由于溃口水流的流量和速度比较大，在通常情况下很难在短时间内将溃口彻底封堵，但通过投放重物对尚存的坝体产生一定的保护作用，就可以延缓溃坝溃堤的过程，为人民群众的安全撤离争取更多的时间。

因此，对重物封堵溃口试验进行研究，寻找快速有效、成本低廉的封堵技术很有必要。

在投放重物的过程中，需要考虑重物在水中运动过程中的影响因素，分析重物的大小和形状以及重物的投放方式对重物运动过程的影响。

为了使封堵用的重物落水后能够沉到底、并保持在预想的位置，尽可能减少无效投放，必须掌握重物落水后的运动过程。

在预定沉底位置的上游一定距离投放一定体积和重量的重物，寻找最有效的重物封堵溃口试验的方案，进而对实际重物堵口技术提供理论依据，同时为未来的封堵溃口试验和其他堵口技术方案研究提供参考。

因此，本文需要完成以下几个问题：

问题1，利用所学知识以及相关资料分析重物在水中运动过程的影响因素，并且建立大实心方砖落水后运动过程的数学模型。

问题2，利用小型试验数据或相关数学、物理方法，建立包含上述各种因素，从而能够适应不同情况的、描述重物在水中运动过程的数学模型。

问题3，对所建立的数学模型进行误差分析，利用相关的数学、物理概念、小型试验数据，验证所建立数学模型的合理性。

根据所建立的数学模型提出让堵口重物恰好在最有效位置触底的猜想，并且运用新试验对提出的猜想进行验证。

问题4，给出小型试验满足的相似准则，并依据相似准则将本试验及所建立的数学模型的成果加以推广，对未来需要进行的试验和研究工作提出建议。

假定溃口几何形状及水流速度与小型试验相似，溃口水深分别为3

和4

，溃口流速为4

和5

，若重物重量为1.5

，根据所建立的数学模型求解距离水面2

投放重物时，应分别提前多远投放才能使重物沉底到预定位置？

二、模型的假设和符号说明

2.1模型的假设

（1）假设重物在落水的过程中不受空气的阻力（只受重力）。

（2）假设重物在水中运动过程中不发生翻转和倾斜。

（3）假设重物在触底的过程中不发生滑移，即不考虑重物沉底后的稳定性。

（4）假设水槽中水的流速是均匀稳定的。

（5）假设物体进入水中后不形成湍流和层流。

2.2符号说明

表示物体的重力加速度；

表示流体的密度（文中表示水的密度）；

表示物体的形状阻力；

表示压差阻力系数；

表示物体的摩擦阻力；

表示表面摩擦系数；

和

分别表示水平方向的形状阻力和摩擦阻力；

和

分别表示竖直方向的形状阻力和摩擦阻力；

和

分别表示物体的最大横截面积和物体产生摩擦部分的总面积；

和

分别表示物体沿水平和竖直方向的迎水面的有效面积；

和

分别表示物体沿水平和竖直方向产生摩擦力表面的总面积；

表示空心部分的摩擦阻力；

表示空心部分的总面积；

表示物体排开水的体积；

表示物体的运动速度；

表示物体受水冲击部分的有效面积；

三、问题的分析和模型的建立

3.1问题1的分析和模型的建立

将物体（大实心方砖）视作质点在水中进行受力分析，选取物体作为隔离体，则物体受到竖直向下的重力

竖直向上的浮力

，根据阿基米德定律可知

，物体放入水中时，受到水对物体的冲击力

，首先我们将流体分成若干个流体微元[1]，假定每一个流体微元在运动过程中，具有相同的速度和密度，当微元撞击物体时，其内部速度和物体的速度相同，水流撞击物体的瞬间，满足动量守恒定理，则

，

为微元体质量，

，

为微元的长度（

为相对速度），其中

和

为微元撞击物体后的速度和初始速度，根据牛顿第三定律知，水对物体的冲力

和

大小相同，方向相反。

物体在水中运动时，前部受到压力增大，使前面的高压水流向后挤压，这种由于物体的形状造成的物体前后压力差形成阻力

，称作形状阻力，并且

，形状阻力与物体的形状、截面以及物体的运动速度有关。

另一方面，由于水具有粘滞性，物体表面又不可能绝对光滑，当物体在水中运动时，就会有一部分水粘附在物体表面上，被携带着向前流动，由于分子间的内聚力被破坏，边界层的水被带着向前流动，从而产生摩擦阻力

，方向与运动方向相反，并且

，摩擦阻力和流体的粘滞系数以及物体表面的光滑程度、截面、物体的运动速度有关。

物体的受力分析如图1，今以物体的落水点为坐标原点，水平向右为坐标

轴的正方向，竖直向下为坐标

轴的正方向,根据牛顿第二定律，列出水平方向和竖直方向的牛顿定律分量式。

水平方向：

，

（1）

竖直方向:

.

（2）

对于大实心方砖而言，假设实心方砖的长、宽、高分别为

，

，

，下面我们分别讨论在不同的投放方式下，物体运动情况的动力学模型。

（I）若我们将方砖从水面垂直平放到水中，如图2，则

，

，

，

，

，

，

，于是，方程

（1）和

（2）改写为：

（3）

。

（4）

动力学方程（3）和（4）即为大实心方砖垂直平放到水中的运动过程的数学模型。

（II）若我们将方砖从水面垂直立放到水中，如图3，则

，

，

，

，

，

，运动模型同（3）和（4）。

（III）若我们将方砖从水面垂直竖放到水中，如图4，则

，

，

，

，

，

，运动模型同（3）和（4）。

（IV）若我们将重物离水面

处开始投放，根据定能定理得

，三种投放方式下的运动模型同投放方式（I）、（II）、（III）。

3.2问题2的分析和模型的建立

在问题1分析的基础上，我们考虑不同重物在水中的运动情况，分别建立了不同的数学模型。

3.21空心蜂巢型物体在水中的运动情形

假定空心蜂巢型物体的边长为

，厚度为

，内空心圆的半径为

。

空心蜂巢型物体在水中运动时，空心圆柱部分会产生摩擦阻力

，方向与运动方向相反，并且

，其中

为空心圆柱部分的侧面积。

（I）若我们将空心蜂巢型物体从水面垂直平放到水中，如图5，物体在

轴方向受到竖直向上的摩擦阻力

，类似问题1的受力分析，根据牛顿第二定律，水平方向牛顿定律分量式同

（1）,竖直方向的牛顿定律分量式如下

。

（5）

我们易得水平方向的方程改写同（3），竖直方向的方程改写如下

，（6）

其中

，

，

，

，

，

，

，

。

（II）若我们将空心蜂巢型物体从水面垂直立放到水中，如图6，物体在

轴方向受到水平向右的摩擦阻力

，类似问题1的受力分析，根据牛顿第二定律，竖直方向牛顿定律分量式同

（2）,水平方向的牛顿定律分量式如下

.（7）

竖直方向的动力学方程改写同（4），水平方向的方程改写如下

，（8）

其中

，

，

，

，

，

，

，

。

（III）若我们将空心蜂巢型物体从水面垂直竖放到水中，如图7，物体在水中的运动模型同（3）和（4），其中

，

，

，

，

，

，

。

（IV）若我们将重物离水面

处开始投放，根据定能定理得

。

其模型与空心蜂巢型物体用三种投放方式分别投放到水中的运动模型相同。

3.22实心蜂巢型物体在水中的运动过程

假定实心蜂巢型物体的边长为

，厚度为

，其运动情形类似实心方砖在水中的运动过程，可用模型（3）和（4）进行描述。

（I）若我们将实心蜂巢型物体从水面垂直平放到水中，其图形类似于图2和图5，模型中

，

，

，

，

，

。

（II）若我们将实心蜂巢型物体从水面垂直立放到水中，其图形类似于图3和图6，模型中

，

，

，

，

，

。

（III）若我们将实心蜂巢型物体从水面垂直竖放到水中，其图形类似于图4和图7，模型中

，

，

，

，

，

。

（IV）若我们将重物离水面

处开始投放，根据定能定理得

。

其模型与实心方砖用三种投放方式分别投放到水中的运动模型相同。

2.23空心方砖在水中的运动情形

假定空心方砖的边长为

，厚度为

，空心部分的边长

，空心方砖的运动情形类似空心蜂巢型物体在水中的运动过程，其模型可分别用空心蜂巢型物体在水中的运动模型进行描述。

（I）若我们将空心方砖从水面垂直平放到水中，其图形类似于图2和图5，运动过程可用模型（3）和（6）进行描述，其中

，

，

，

，

，

，

。

（II）若我们将空心方砖从水面垂直立放到水中，其图形类似于图3和图6，运动过程可用模型（4）和（8）进行描述，模型中

，

，

，

，

，

，

。

（III）若我们将空心方砖从水面垂直竖放到水中，其图形类似于图4和图7，运动过程可用模型（3）和（4）进行描述，模型中

，

，

，

，

，

。

（IV）若我们将重物离水面

处开始投放，根据定能定理得

。

其模型与空心方砖用三种投放方式分别投放到水中的运动模型相同。

3.24三角锥型物体在水中的运动情形

假定三角锥型物体的边长为

，如图8，其模型可用实心方砖或者实心蜂巢型物

体在水中的运动模型（3）和（4）进行描述。

在模型中，

，

，

，

，

，若我们将重物离水面

处开始投放，其运动模型和从水面投放的运动模型相同。

四、模型的分析和检验

针对问题3，我们考虑问题1和问题2中所建立数学模型，对模型进行了求解、检验，并提出了模型的改进方案。

4.1模型的求解和误差分析

问题1和问题2中的动力学模型可以简记如下

，（9）

.（10）

第一个方程利用变量分离[2]得：

，若初始时刻水平方向的速度为零，则

，而

时刻的速度为

，求解得

，其中

.

第二个方程变形为

，若初始时刻（

）物体竖直方向的速度为零，而

时刻的速度为

，则

，求解得

。

利用FORTRAN和MATLAB语言进行了编程计算，我们模拟出了几类重物在不同的投放方式下的运动轨迹，下列图中仅给出大实心方砖平放、大空心方砖立方、大实心蜂巢竖放、大空心蜂巢平放、大三角锥型物体在水中的运动轨迹，其他的情况可参看附录中的程序和计算数据。

通过对模型的数值计算，我们发现计算结果和物体在水中的运动轨迹基本相吻合，但是和附件中所给的试验数据有些不符，误差有些偏大。

4.2模型的检验和改进

为了使封堵用的重物落水后能够触底、并保持在预想的位置，尽可能减少无效投放，必须考虑在水的上游某一有效位置投放重物，使重物恰好能够在溃口附近触底。

用实心方砖作为重物堵口试验的对象，动力学模型如方程（3）和（4），首先利用方程（4）计算出重物落在溃口附近所需要的时间，然后利用方程（3）计算出水平方向的速度，进而计算出物体的位移，即为我们要寻找的有效位置。

利用运动学公式计算位移，通过多次的数值试验，发现当

左右时，物体达到我们需要的触底位置，距上游投放点的水平位移为

左右。

为了验证选取位置的有效性，我们又设计了一个试验，即