多元线性回归拟合分析.docx
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多元线性回归拟合分析
楚雄师范学院
2012年数学建模竞赛
第一次实战训练
（一）第一题论文
题目多元非线性回归拟合模型
姓名郜红霞杨环刘发稳
2012年8月20日
多元非线性回归拟合模型
摘要：
本文推论了多元非线性数据拟合的通用数学模型,利用最小二乘法和极值原理,导出求解多元非线性回归方程的规范方程组。
并用矩阵形式对规范方程组进行表述,在所表述的诸矩阵中,结构矩阵是其基础。
用它可方便地转化出其他矩阵,这将大大简化程序的编制和规范方程组的解算。
计算机根据输入数据自变量的个数和实验所作次数的多少,求解出相应的多元非线性回归方程及其评估方程质量的数据。
关键字：
规范方程；非线性回归方程；最小二乘法；结构矩阵；极值原理；对称矩阵；数据分析；计算机拟合；矩阵形式自变量。
1问题重述
行
Y
X1
X2
X3
X4
X5
X6
1
443
49
79
76
8
15
205
2
290
27
70
31
6
6
129
3
676
115
92
130
0
9
339
4
536
92
62
92
5
8
247
5
481
67
42
94
16
3
202
6
296
31
54
34
14
11
119
7
453
105
60
47
5
10
212
8
617
114
85
84
17
20
285
9
514
98
72
71
12
-1
242
10
400
15
59
99
15
11
174
11
473
62
62
81
9
1
207
12
157
25
11
7
9
9
45
13
440
45
65
84
19
13
195
14
480
92
75
63
9
20
232
15
136
27
26
82
4
17
134
16
530
111
52
93
11
13
256
17
610
78
102
84
5
7
266
18
617
106
87
82
18
7
276
19
600
97
98
71
12
8
266
20
480
67
65
62
13
12
196
21
279
38
26
44
10
8
110
22
446
56
32
99
16
8
188
23
450
54
100
50
11
15
205
24
335
53
55
60
8
0
170
25
459
61
53
79
6
5
193
26
630
60
108
104
17
8
273
27
483
83
78
71
11
8
233
28
617
74
125
66
16
4
265
29
605
89
121
71
8
8
283
30
388
64
30
81
10
10
176
31
351
34
44
65
7
9
143
32
366
71
34
56
8
9
162
33
493
88
30
87
13
0
207
34
648
112
105
123
5
12
34
35
449
57
69
72
5
4
200
36
340
61
35
55
13
0
152
37
292
29
45
47
13
13
123
38
688
82
105
81
20
9
268
39
408
80
55
61
11
1
197
40
461
82
88
54
14
7
225
要求：
1.检验强影响点；
2.正态性检验；
3.相关性检验；
4.自变量的多重共线性检验；
5.残差的相关性分析，模型的合理分析。
6.预测
=（47081825013.7225）'。
2问题分析
先建立基础的多元线性回归方程，以初步确定输入变量与输出变量的关系，若预测效果不理想，则需要对方程进行进一步优化，考虑建立非线性回归方程模型或其他更优模型，反复进行判断和优化，最后得到较理想的预测方程。
并用一定的评价标准对得出的预测方程进行判定，最后，用实验数据对模型预测的精度进行验证。
3基本假设与符号说明
符号
说明
多元线性回归的输入变量
多元线性回归的输出变量
多元非线性回归的输入变量
多元线性回归的输出变量
回归系数
回归系数估计值
输出变量估计值
Q
残差平方和
E
拟合误差
无偏估计值
方差
R
复相关系数
SE
标准误差
4模型建立
3.1问题分析
3.2模型建立
（1）我们先假设输入变量和输出变量之间的关系是线性函数关系，建立多元线性回归模型。
{
（2）为了在研究两个指定变量之间的相关关系的同时，控制可能对其产生影响的其他变量，我们在研究任意两个输入变量的相互作用的判断中，运用了偏相关分析先对任意两个输入变量之间是否有交互作用进行判断。
设随机变量X、Y、Z之间彼此存在着相关关系，为了研究X和Y之间的关系，就必须在假定Z不变的条件下，计算和Y的偏相关系数，记为
。
在考察多个变量时，
（i=1，2...，p）之间的p-1阶偏相关关系可由如下的递推式定义：
计算得出输出变量的相关性检验。
（3）我们建立部分多元非线性回归模型，来判断在Y与
的模型中有交互作用的
的形式。
其中，
在判断出的形式的形式后，我们建立所有
与Y的多元非线性回归模型。
（4）
将数据录入后，用SPSS13.0软件得出未知系数，从而得出之间的函数关系。
然后再进行参数估计，统计分析，假设检验，回归系数检验，相关系数检验，如果通过检验，则得到较优模型，若未通过检验，则进行进一步调整优化。
（5）参数估计
在得出函数关系后，我们要对其进行参数估计。
假设有n个独立观测的数据
要确定回归系数
由最小二乘法，即
求出估计值
Y的估计值为：
拟合误差
称为残差平方和
（6）统计分析
首先，求残差平方和Q,并由此得
的无偏估计。
然后，对Y的样本方差
进行分解。
（7）假设检验
构造F-统计量及检验
的拒绝域：
拒绝域
（8）回归系数的检验
判断每个自变量
对
的影响是否显著。
其中，
（9）相关系数检验
复相关系数R是衡量y与
相关程度的指标，R的值越接近于1，它们的相关程度越密切。
5问题求解
问题1.首先用spss13.0画出箱图，粗略分析出强影响点有3,12,34。
然后再用马氏距离和cook精确的计算强影响点。
马氏距离公式：
Cook公式：
用spss13.0录入数据结果如下：
序号
马氏距离
cook距离
序号
马氏距离
cook距离
1
3.48134
0.00124
21
2.85948
0.00919
2
6.76013
0.00118
22
5.82088
0.00797
3
14.18495
0.00081
23
5.13328
0.00125
4
3.1681
0.0093
24
3.47549
0.04237
5
4.82977
0.00097
25
1.98853
0.01923
6
4.19383
0
26
6.97558
0.00032
7
7.0377
0.0028
27
0.47806
0.00485
8
10.62387
0.00036
28
7.33676
0.00398
9
4.66919
0.03478
29
5.26468
0.00278
10
9.56781
0.00002
30
2.54373
0.00128
11
2.74957
0.00155
31
2.40454
0.01858
12
9.86694
0.09157
32
2.44946
0.00372
13
5.31018
0.0088
33
6.65523
0.01903
14
7.20365
0
34
38.01355
822.2362
15
9.52252
0.80856
35
3.05365
0.00568
16
5.91237
0.00399
36
4.37417
0.01539
17
4.49265
0.04509
37
3.38432
0.00037
18
4.51472
0.00635
38
5.2569
0.0791
19
2.13536
0.00031
39
2.82814
0.02569
20
0.98876
0.01049
40
2.49016
0.04144
观察出第34点为强影响点。
杠杆值求解通过MATLAB6.5（附件1）解得结果如下：
diag（p）
ans=
0.1143
0.1983
0.3887
0.1062
0.1488
0.1325
0.2055
0.2974
0.1447
0.2703
0.0955
0.2780
0.1612
0.2097
0.2692
0.1766
0.1402
0.1408
0.0798
0.0504
0.0983
0.1743
0.1566
0.1141
0.0760
0.2039
0.0373
0.2131
0.1600
0.0902
0.0867
0.0878
0.1956
0.9997
0.1033
0.1372
0.1118
0.1598
0.0975
0.0889
问题2.用spss13.0画出柱状直方图如下：
近似可以观察出服从正态分布。
问题3.运用eviews检测相关性如下：
（相关系数矩阵）
问题4：
用spss13.0对多重共线性分析如下：
（多重共线性分析图）
经检测
具有多重共线性。
消除多重共线性后运用eviews建立模型如下所示：
最小二乘拟合结果
ASSIGN.@ALLF
问题5：
运用eviews对残差自相关性检验如下：
（图为残差线图）
先做序列e为残差序列，由图可知残差不具有自相关性。
问题6.将已知值与所建立模型值画图，如图所示：
经过分析，所建模型与实际问题偏差不大，所以对
=（47081825013.7225）的预测值Y为1404.9.
参考文献
[1]王璐.SPSS统计分析基础、应用与实践[M].北京：
化学工业出版社，2010
[2]杜强.SPSS统计分析从入门到精通[M].北京：
人民邮电出版社，2009
[3]姜启源.数学模型[M].北京：
高等教育出版社，2008
附件：
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y=[]
[b,bint,r,rint,stats]=regress（y,X）
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stepwise（z,y,[1,2,3,4,5]）
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