高中数学必修5练习题含答案附立体几何题.docx

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高中数学必修5练习题含答案附立体几何题

高一数学必修5试题

班级：

_______学号：

____姓名：

________得分：

_____________

1．选择题（每小题4分，共40分）

1.由，确定的等差数列，当时，序号等于（）

Ａ．99Ｂ．100Ｃ．96Ｄ．101

2.中，若，则的面积为（）

A．B．C.1D.

3.在数列中，=1，，则的值为（）

A．99B．49C．102D．101

4.已知，函数的最小值是（）

A．5B．4C．8D．6

5.在等比数列中，，，，则项数为（）

A.3B.4C.5D.6

6.不等式的解集为，那么（）

A.B.C.D.

7.设满足约束条件,则的最大值为（）

A．5B.3C.7D.-8

8.在中,,则此三角形解的情况是（）

A.一解B.两解C.一解或两解D.无解

9.在△ABC中，如果，那么cosC等于（）

10.一个等比数列的前n项和为48，前2n项和为60，则前3n项和为（）

A、63B、108C、75D、83

二、填空题（每小题4分，共16分）

11.在中，，那么A＝_____________;

12.已知等差数列的前三项为，则此数列的通项公式为________.

13.不等式的解集是　　．

14.已知数列｛an｝的前n项和，那么它的通项公式为an=_________

三、解答题（共44分）

15.（8分）已知等比数列中，，求其第4项及前5项和.

16.（8分）

（1）求不等式的解集：

（2）求函数的定义域：

17.（8分）若不等式的解集是，

（1）求的值；

（2）求不等式的解集.

18.（10分）在△ABC中，BC＝a，AC＝b，a，b是方程的两个根，且。

求：

（1）角C的度数；

（2）AB的长度。

19.（10分）如图，货轮在海上以35nmile/h的速度沿方位角（从正北方向顺时针转到目标方向线的水平角）为的方向航行．为了确定船位，在B点处观测到灯塔A的方位角为．半小时后，货轮到达C点处，观测到灯塔A的方位角为．求此时货轮与灯塔之间的距离．

20.（10分）某公司今年年初用25万元引进一种新的设备，投入设备后每年收益为21万元。

该公司第n年需要付出设备的维修和工人工资等费用的信息如下图。

（1）求；

（2）引进这种设备后，第几年后该公司开始获利；

（3）这种设备使用多少年，该公司的年平均获利最大？

答案

BCDBCACBDA11．或12．=2n－313．14．=2n

15.解：

设公比为，由已知得

②

即

②÷①得，将代入①得，，

16．

（1）

（2）

17．解：

（1）C＝120°

（2）由题设：

18．

（1）依题意，可知方程的两个实数根为和2，由韦达定理得：

+2=

解得：

=－2

（2）

19．在△ABC中，∠B＝152o－122o＝30o，∠C＝180o－152o＋32o＝60o，∠A＝180o－30o－60o＝90o，

BC＝，∴AC＝sin30o＝．答：

船与灯塔间的距离为nmile．

20．解：

（1）由题意知，每年的费用是以2为首项，2为公差的等差数列，求得：

（2）设纯收入与年数n的关系为f（n）,则：

由f（n）>0得n2-20n+25<0解得

又因为n,所以n=2,3,4,……18.即从第2年该公司开始获利

（3）年平均收入为=20-

当且仅当n=5时，年平均收益最大.所以这种设备使用5年，该公司的年平均获利最大。

立体几何题怎么解

高考立体几何试题一般共有4道（客观题3道,主观题1道）,共计总分27分左右,考查的知识点在20个以内.选择填空题考核立几中的计算型问题,而解答题着重考查立几中的逻辑推理型问题,当然,二者均应以正确的空间想象为前提.随着新的课程改革的进一步实施,立体几何考题正朝着”多一点思考,少一点计算”的发展.从历年的考题变化看,以多面体和旋转体为载体的线面位置关系的论证,角与距离的探求是常考常新的热门话题.

例1四棱锥P—ABCD的底面是边长为a的正方形，PB⊥面ABCD.

（1）若面PAD与面ABCD所成的二面角为60°，求这个四棱锥的体积；

（2）证明无论四棱锥的高怎样变化，面PAD与面PCD所成的二面角恒大于90°

讲解:

（1）正方形ABCD是四棱锥P—ABCD的底面,其面积

为从而只要算出四棱锥的高就行了.

面ABCD,

∴BA是PA在面ABCD上的射影.又DA⊥AB，

∴PA⊥DA，

∴∠PAB是面PAD与面ABCD所成的二面角的平面角，

∠PAB=60°.

而PB是四棱锥P—ABCD的高，PB=AB·tg60°=a,

.

（2）不论棱锥的高怎样变化，棱锥侧面PAD与PCD恒为全等三角形.

作AE⊥DP，垂足为E，连结EC，则△ADE≌△CDE，

是面PAD与面PCD所成的二面角的平面角.

设AC与DB相交于点O，连结EO，则EO⊥AC，

在

故平面PAD与平面PCD所成的二面角恒大于90°.

本小题主要考查线面关系和二面角的概念，以及空间想象能力和逻辑推理能力,具有一定的探索性,是一道设计新颖,特征鲜明的好题.

例2如图，直三棱柱ABC-A1B1C1的底面ABC为等腰直角三角形，∠ACB=900，AC=1，C点到AB1的距离为CE=，D为AB的中点.

（1）求证：

AB1⊥平面CED；

（2）求异面直线AB1与CD之间的距离；

（3）求二面角B1—AC—B的平面角.

讲解:

（1）∵D是AB中点，△ABC为等腰直角三角形，∠ABC=900，∴CD⊥AB又AA1⊥平面ABC，∴CD⊥AA1.

∴CD⊥平面A1B1BA∴CD⊥AB1，又CE⊥AB1，∴AB1⊥平面CDE；

（2）由CD⊥平面A1B1BA∴CD⊥DE

∵AB1⊥平面CDE∴DE⊥AB1

∴DE是异面直线AB1与CD的公垂线段

∵CE=，AC=1,∴CD=

∴；

（3）连结B1C，易证B1C⊥AC，又BC⊥AC,

∴∠B1CB是二面角B1—AC—B的平面角.

在Rt△CEA中，CE=，BC=AC=1,

∴∠B1AC=600

∴，∴,

∴,∴.

作出公垂线段和二面角的平面角是正确解题的前提,当然,准确地作出应当有严格的逻辑推理作为基石.

例3如图a—l—是120°的二面角，A，B两点在棱上，AB=2，D在内，三角形ABD是等腰直角三角形，∠DAB=90°，C在内，ABC是等腰直角三角形∠ACB=

（I）求三棱锥D—ABC的体积；

（2）求二面角D—AC—B的大小；

（3）求异面直线AB、CD所成的角.

讲解:

（1）过D向平面做垂线，垂足为O，连强OA并延长至E.

为二面角a—l—的平面角..

是等腰直角三角形，斜边AB=2.又D到平面的距离DO=

（2）过O在内作OM⊥AC,交AC的反向延长线于M,连结DM.则AC⊥DM.∴∠DMO为二面角D—AC—B的平面角.又在△DOA中，OA=2cos60°=1.且

（3）在平在内，过C作AB的平行线交AE于F，∠DCF为异面直线AB、CD所成的角.为等腰直角三角形，又AF等于C到AB的距离，即△ABC斜边上的高,

异面直线AB,CD所成的角为arctg

比较例2与例3解法的异同,你会得出怎样的启示?

想想看.

例4

在边长为a的正三角形的三个角处各剪去一个四边形．这个四边形是由两个全等的直角三角形组成的，并且这三个四边形也全等，如图①．若用剩下的部分折成一个无盖的正三棱柱形容器，如图②．则当容器的高为多少时，可使这个容器的容积最大，并求出容积的最大值．

图①图②

讲解:

设容器的高为x．则容器底面正三角形的边长为,

.

当且仅当.

故当容器的高为时，容器的容积最大，其最大容积为

对学过导数的同学来讲，三次函数的最值问题用导数求解是最方便的，请读者不妨一试.另外，本题的深化似乎与2002年全国高考文科数学压轴题有关，还请做做对照.类似的问题是:

某企业设计一个容积为V的密闭容器，下部是圆柱形，上部是半球形，当圆柱的底面半径r和圆柱的高h为何值时，制造这个密闭容器的用料最省（即容器的表面积最小）.

例5已知三棱锥P—ABC中，PC⊥底面ABC，AB=BC，

D、F分别为AC、PC的中点，DE⊥AP于E．

（1）求证：

AP⊥平面BDE；

（2）求证：

平面BDE⊥平面BDF；

（3）若AE∶EP=1∶2，求截面BEF分三棱锥

P—ABC所成两部分的体积比．

讲解:

（1）∵PC⊥底面ABC，BD平面ABC，∴PC⊥BD．

由AB=BC，D为AC的中点，得BD⊥AC．又PC∩AC=C，∴BD⊥平面PAC．又PA平面、PAC，∴BD⊥PA．由已知DE⊥PA，DE∩BD=D，∴AP⊥平面BDE．

（2）由BD⊥平面PAC，DE平面PAC，得BD⊥DE．由D、F分别为AC、PC的中点，得DF//AP．

由已知，DE⊥AP，∴DE⊥DF.BD∩DF=D，∴DE⊥平面BDF．

又DE平面BDE，∴平面BDE⊥平面BDF．

（3）设点E和点A到平面PBC的距离分别为h1和h2．则

h1∶h2=EP∶AP=2∶3,

故截面BEF分三棱锥P—ABC所成两部分体积的比为1∶2或2∶1

值得注意的是,“截面BEF分三棱锥P—ABC所成两部分的体积比”并没有说明先后顺序,因而最终的比值答案一般应为两个,希不要犯这种”会而不全”的错误.

例6已知圆锥的侧面展开图是一个半圆，它被过底面中心O1且平行于母线AB的平面所截，若截面与圆锥侧面的交线是焦参数（焦点到准线的距离）

为p的抛物线.

（1）求圆锥的母线与底面所成的角；

（2）求圆锥的全面积．

讲解:

（1）设圆锥的底面半径为R，母线长为l，

由题意得：

即,

所以母线和底面所成的角为

（2）设截面与圆锥侧面的交线为MON，其中O为截面与

AC的交点，则OO1//AB且

在截面MON内，以OO1所在有向直线为y轴，O为原点，建立坐标系，则O为抛物的顶点，所以抛物线方程为x2=－2py，点N的坐标为（R，－R），代入方程得

R2=－2p（－R），得R=2p，l=2R=4p.

∴圆锥的全面积为.

将立体几何与解析几何相链接,颇具新意,预示了高考命题的新动向.类似请思考如下问题:

一圆柱被一平面所截，截口是一个椭圆．已知椭圆的

长轴长为5，短轴长为4，被截后几何体的最短侧面母

线长为1，则该几何体的体积等于．

例7如图，几何体ABCDE中，△ABC是正三角形，EA和DC都垂直于平面ABC，且EA=AB=2a，DC=a，F、G分别为EB和AB的中点.

（1）求证：

FD∥平面ABC；

（2）求证：

AF⊥BD；

（3）求二面角B—FC—G的正切值.

讲解:

∵F、G分别为EB、AB的中点，

∴FG=EA，又EA、DC都垂直于面ABC,FG=DC，

∴四边形FGCD为平行四边形，∴FD∥GC，又GC面ABC，

∴FD∥面ABC.

（2）∵AB=EA，且F为EB中点，∴AF⊥EB①又FG∥EA，EA⊥面ABC

∴FG⊥面ABC∵G为等边△ABC，AB边的中点，∴AG⊥GC.

∴AF⊥GC又FD∥GC，∴AF⊥FD②

由①、②知AF⊥面EBD，又BD面EBD，∴AF⊥BD.

（3）由

（1）、

（2）知FG⊥GB，GC⊥GB，∴GB⊥面GCF.

过G作GH⊥FC，垂足为H，连HB，∴HB⊥FC.

∴∠GHB为二面角B-FC-G的平面角.

易求.

例8如图，正方体ABCD—A1B1C1D1的棱长为1，P、Q分别是线段AD1和BD上的点，且

D1P∶PA=DQ∶QB=5∶12.

（1）求证PQ∥平面CDD1C1；

（2）求证PQ⊥AD；