学年广东省广州市荔湾区实验中学高一下学期期末考试数学试题解析版.docx
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学年广东省广州市荔湾区实验中学高一下学期期末考试数学试题解析版
2016-2017学年广东省广州市荔湾区实验中学高一下学期期末考试数学试题
一、单选题
1．在中，，，，则最小角为（）
A．B．C．D．
【答案】B
【解析】分析：
由，，，可得最小，根据由余弦定理得即可得结果.
详解：
因为，，，
所以最小，由余弦定理得
，
所以，故选．
点睛：
本题主要考查余弦定理及特殊角的三角函数，属于简单题.对余弦定理一定要熟记两种形式：
（1）；
（2），同时还要熟练掌握运用两种形式的条件.另外，在解与三角形、三角函数有关的问题时，还需要记住等特殊角的三角函数值，以便在解题中直接应用.
2．的三内角、、所对边的长分别是、、，设向量，，若，则角的大小为（）
A．B．C．D．
【答案】C
【解析】分析：
因为，根据向量平行定理可得，化简得，根据余弦定理可得角的值.
详解：
利用推出向量，
中，，，的关系，利用余弦定理求出的大小即可．
因为，得得：
，
即，
由余弦定理，
所以．故选．
点睛：
本题主要考查了两向量平行的坐标形式以及余弦定理的应用，属于中档题.利用向量的位置关系求参数是出题的热点，主要命题方式有两个：
（1）两向量平行，利用解答；
（2）两向量垂直，利用解答.
3．在中，角、均为锐角，且，则的形状是（）
A．直角三角形B．锐角三角形C．钝角三角形D．等腰三角形
【答案】C
【解析】分析：
利用诱导公式及正弦函数的单调性可得结果.
详解：
，所以．
因为、均为锐角，所以也是锐角，
由，
因此，
即为钝角，的形状是钝角三角形，故选．
点睛：
本题考查诱导公式及正弦函数的单调性.判断三角形状的常见方法是：
（1）通过正弦定理和余弦定理，化边为角，利用三角变换得出三角形内角之间的关系进行判断；
（2）利用正弦定理、余弦定理，化角为边，通过代数恒等变换，求出边与边之间的关系进行判断；（3）确定一个内角为钝角进而知其为钝角三角形.
4．已知锐角三角形的边长分别为，，，则的取值范围是（）
A．B．C．D．
【答案】D
【解析】分析：
因为三角形为锐角三角形，所以每个角的余弦值都是正数，根据余弦定理列不等式组求解即可.
详解：
因为三角形为锐角三角形，所以每个角的余弦值都应是正数，根据余弦定理可得
．
的取值范围是，故选D．
点睛：
本题主要考查余弦定理的应用，属于简单题.对余弦定理一定要熟记两种形式：
（1）；
（2），同时还要熟练掌握运用两种形式的条件.另外，在解与三角形、三角函数有关的问题时，还需要记住等特殊角的三角函数值，以便在解题中直接应用.
5．在数列，，，，，，，，，中，为（）
A．B．C．D．
【答案】C
【解析】分析：
根据所给数据的规律可知，从第三个数开始每个数都是前个数的和，从而即可得结果.
详解：
根据所给数据的规律可知，从第三个数开始每个数都是前个数的和，
，故选C.
点睛：
本题主要考查归纳推理的应用，属于中档题.归纳推理的一般步骤:
一、通过观察个别情况发现某些相同的性质.二、从已知的相同性质中推出一个明确表述的一般性命题（猜想）.常见的归纳推理分为数的归纳和形的归纳两类：
（1）数的归纳包括数的归纳和式子的归纳，解决此类问题时，需要细心观察，寻求相邻项及项与序号之间的关系，同时还要联系相关的知识，如等差数列、等比数列等；
（2）形的归纳主要包括图形数目的归纳和图形变化规律的归纳.
6．记为等差数列的前项和，若，，则的公差为（）
A．B．C．D．
【答案】C
【解析】分析：
利用等差数列通项公式及前项和公式列出方程组，由此能求出的公差.
详解：
，，
∴,①-②有，
公差，故选C．
点睛：
本题主要考查等差数列的通项公式、等差数列的前项和公式，属于中档题.等差数列基本量的运算是等差数列的一类基本题型，数列中的五个基本量一般可以“知二求三”，通过列方程组所求问题可以迎刃而解.
7．等差数列的前项和分别为，若，则（）
A．B．C．D．
【答案】B
【解析】∵，而
∴，故选B.
8．已知为等差数列，,,以表示的前项和，则使得达到最大值的是（）
A．21B．20C．19D．18
【答案】B
【解析】试题分析：
设等差数列的公差为，则由已知,,得：
，解得：
，
，
由，得：
，
当时，，当时，，
故当时，达到最大值.
故选B．
【考点】等差数列的前n项和．
【易错点晴】本题主要考查了等差数列的通项公式，及等差数列前n项和取最值的条件及求法，如果从等数列的前n项和公的角度，由二次函数求最值时，对于n等于21还是20时，取得最大值，学生是最容易出错的.
9．已知集合，，则为（）
A．或B．或
C．或D．或
【答案】A
【解析】分析：
利用一元二次不等式的解法化简集合，，根据集合交集的定义求解即可.
详解：
∵由，
所以，
因为，
所以或，
∴或或．
故选．
点睛：
研究集合问题，一定要抓住元素，看元素应满足的属性.研究两集合的关系时，关键是将两集合的关系转化为元素间的关系，本题实质求满足属于集合且属于集合的元素的集合.
10．已知，，且，求的最小值（）
A．B．C．D．
【答案】C
【解析】分析：
由得，利用基本不等式可得结果.
详解：
，
．当时，等号成立，
又，
∴，
，的最小值为，故选C．
点睛：
本题主要考查利用基本不等式求最值，属于中档题.利用基本不等式求最值时，一定要正确理解和掌握“一正，二定，三相等”的内涵：
一正是，首先要判断参数是否为正；二定是，其次要看和或积是否为定值（和定积最大，积定和最小）；三相等是，最后一定要验证等号能否成立（主要注意两点，一是相等时参数否在定义域内，二是多次用或时等号能否同时成立）.
11．设，满足约束条件，则的最小值为（）
A．B．C．D．
【答案】C
【解析】分析：
由约束条件作出可行域，化目标函数为直线方程的斜截式，数形结合得最优解，把最优解的坐标代入目标函数得结论.
详解：
画出约束条件对应的可行域，如图区域，
由可得，
即，
化为时，
平移直线，
由图可知经过点，
直线在纵轴上截距最大，
在点处的有最小值为，故选C．
点睛：
本题主要考查线性规划中，利用可行域求目标函数的最值，属于简单题.求目标函数最值的一般步骤是“一画、二移、三求”：
（1）作出可行域（一定要注意是实线还是虚线）；
（2）找到目标函数对应的最优解对应点（在可行域内平移变形后的目标函数，最先通过或最后通过的顶点就是最优解）；（3）将最优解坐标代入目标函数求出最值.
12．数列的通项，其前项和为，则为（）
A．B．C．D．
【答案】A
【解析】分析：
利用二倍角的余弦公式化简得，根据周期公式求出周期为，从而可得结果.
详解：
首先对进行化简得，又由关于的取值表：
1
2
3
4
5
6
可得的周期为，则可得，
设，
则，故选A．
点睛：
本题考查二倍角的余弦公式、三角函数的周期性以及等差数列的求和公式，意在考查灵活运用所学知识解决问题的能力以及计算能力，求求解过程要细心，注意避免计算错误.
二、填空题
13．在中，，则．
【答案】
【解析】试题分析：
在中，由正弦定理得.所以答案应填：
．
【考点】1、正弦定理；2、三角形内角和定理．
14．不等式的解集为，不等式的解集为，不等式的解集是，那么等于__________．
【答案】
【解析】分析：
利用一元二次不等式的解法可得，，求出，根据韦达定理求得的值，从而可得结果.
详解：
不等式变形得：
，
计算得出：
，即，
不等式变形得：
，
计算得出：
，即，
∴，即不等式的解集为，
∴由韦达定理可得，，
则，故答案为．
点睛：
集合的基本运算的关注点：
（1）看元素组成．集合是由元素组成的，从研究集合中元素的构成入手是解决集合运算问题的前提；
（2）有些集合是可以化简的，先化简再研究其关系并进行运算，可使问题简单明了，易于解决；
（3）注意数形结合思想的应用，常用的数形结合形式有数轴、坐标系和图．
15．已知数列，，，，，，，，，，，则是数列中的第__________项．
【答案】
【解析】分析：
将所给数据分组，发现每组数据分子、分母以及分子与分母和的共同规律，结合等差数列的求和公式求解即可.
详解：
，，，，，，，，，，，
发现数列第一组分子与分组和为，
第二组，分子与分母和为，
第三组，，分子与分母和为，
因为，所以是第组第七个数，
第组前面共有个数，
是第项，故答案为．
点睛：
本题主要考查归纳推理，属于中档题.归纳推理的一般步骤:
①通过观察个别情况发现某些相同的性质.②从已知的相同性质中推出一个明确表述的一般性命题（猜想）,由归纳推理所得的结论虽然未必是可靠的，但它由特殊到一般，由具体到抽象的认识功能，对科学的发现十分有用,观察、实验、对有限的资料作归纳整理，提出带规律性的说法是科学研究的最基本的方法之一.
16．已知二次函数，，，，，时，其对应的抛物线在轴上截得的线段长依次为，，，，，则__________．
【答案】
【解析】分析：
当时，结合方程的根与系数关系可求，然后利用裂项求和方法即可得结果.
详解：
当时，
∴，，
∴，
∴，
故答案为：
．
点睛：
本题主要考查函数的二次函数的性质，裂项相消法求和属于中档题.裂项相消法是最难把握的求和方法之一，其原因是有时很难找到裂项的方向，突破这一难点的方法是根据式子的结构特点，常见的裂项技巧：
（1）；
（2）；（3）；（4）；此外，需注意裂项之后相消的过程中容易出现丢项或多项的问题，导致计算结果错误.
三、解答题
17．已知集合，，又，求等于多少？
【答案】
【解析】分析：
先根据指数函数，对数函数的性质，将化简，从而可得出，再根据一元二次不等式与一元二次方程的关系求出，进而得出.
详解：
由题意，，，
，，
，，
方程的两个根为和，由韦达定理则，，
∴．
点睛：
本题考查了指数函数，对数函数的单调性，集合的基本运算，一元二次不等式与一元二次方程的关系，属于简单题.
18．已知的内角、、所对的边分别为、、，且，．
（）若，求的值．
（）若的面积，求，的值．
【答案】
（1）
（2），
【解析】分析：
（1）先求出，再利用正弦定理求的值；
（2）结合
（1）由的面积，求得的值，再利用余弦定理求的值.
详解：
（）因为，且，
所以．
正弦定理：
，截得．
（），截得，
余弦定理：
，解得．
点睛：
本题主要考查正弦定理、余弦定理在解三角形中的应用，属于中档题.正弦定理是解三角形的有力工具，其常见用法有以下三种：
（1）知道两边和一边的对角，求另一边的对角（一定要注意讨论钝角与锐角）；
（2）知道两角与一个角的对边，求另一个角的对边；（3）证明化简过程中边角互化；（4）求三角形外接圆半径.
19．某投资人打算投资甲、乙两个项目，根据预测，甲、乙项目可能的最大盈利率分别为和，可能的最大亏损率分别为和，投资人计划投资金额不超过万元，要求确保可能的资金亏损不超过万元，问投资人对甲、乙两个项目各投资多少万元，才能使可能的盈利最大？
【答案】投资人用万元投资甲项目、万元投资乙项目，才能在确保亏损不超过万元的前提下，使可能的盈利最大．
【解析】分析：
设投资人分别用万元、万元投资甲、乙两个项目，确定约束条件不等式与目标函数，作出可行域，平移目标函数，结合图象即可求得结果.
详解：
设投资人分别用万元、万元投资甲、乙两个项目，根据题意知
，
目标函数，
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