九年级数学上第二十二章二次函数导学案人教版.docx

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九年级数学上第二十二章二次函数导学案人教版

2017年九年级数学上第二十二章二次函数导学案（人教版）

第二十二章二次函数

22．1二次函数的图象和性质

22．1.1二次函数

结合具体情境体会二次函数的意义，理解二次函数的有关概念；能够表示简单变量之间的二次函数关系．

重点：

能够表示简单变量之间的二次函数关系．

难点：

理解二次函数的有关概念．

一、自学指导．（10分钟）

自学：

自学课本P28～29，自学“思考”，理解二次函数的概念及意义，完成填空．

总结归纳：

一般地，形如y＝ax2＋bx＋c（a，b，c是常数，且a≠0）的函数叫做二次函数，其中二次项系数、一次项系数和常数项分别为a，b，c．现在我们已学过的函数有一次函数、二次函数，其表达式分别是y＝ax＋b（a，b为常数，且a≠0）、y＝ax2＋bx＋c（a，b，c为常数，且a≠0）．

二、自学检测：

学生自主完成，小组内展示，点评，教师巡视．（5分钟）

1．下列函数中，是二次函数的有__A，B，C__．

A．y＝（x－3）2－1

B．y＝1－2x2

C．y＝13（x＋2）（x－2）

D．y＝（x－1）2－x2

2．二次函数y＝－x2＋2x中，二次项系数是__－1__，一次项系数是__2__，常数项是__0__．

3．半径为R的圆，半径增加x，圆的面积增加y，则y与x之间的函数关系式为y＝πx2＋2πRx（x≥0）．

点拨精讲：

判断二次函数关系要紧扣定义．

一、小组合作：

小组讨论交流解题思路，小组活动后，小组代表展示活动成果．（10分钟）

探究1若y＝（b－2）x2＋4是二次函数，则__b≠2__．

探究2某超市购进一种单价为40元的篮球，如果以单价50元出售，那么每月可售出500个，根据销售经验，售价每提高1元，销售量相应减少10个，如果超市将篮球售价定为x元（x>50），每月销售这种篮球获利y元．

（1）求y与x之间的函数关系式；

（2）超市计划下月销售这种篮球获利8000元，又要吸引更多的顾客，那么这种篮球的售价为多少元？

解：

（1）y＝－10x2＋1400x－40000（50

（2）由题意得：

－10x2＋1400x－40000＝8000，

化简得x2－140x＋4800＝0，∴x1＝60，x2＝80.

∵要吸引更多的顾客，∴售价应定为60元．

二、跟踪练习：

学生独立确定解题思路，小组内交流，上台展示并讲解思路．（8分钟）

1．如果函数y＝（k＋1）xk2＋1是y关于x的二次函数，则k的值为多少？

2．设y＝y1－y2，若y1与x2成正比例，y2与1x成反比例，则y与x的函数关系是（A）

A．二次函数B．一次函数

C．正比例函数D．反比例函数

3．已知，函数y＝（m－4）xm2－m＋2x2－3x－1是关于x的函数．

（1）m为何值时，它是y关于x的一次函数？

（2）m为何值时，它是y关于x的二次函数？

点拨精讲：

第3题的第

（2）问，要分情况讨论．

4．如图，在矩形ABCD中，AB＝2cm，BC＝4cm，P是BC上的一动点，动点Q仅在PC或其延长线上，且BP＝PQ，以PQ为一边作正方形PQRS，点P从B点开始沿射线BC方向运动，设BP＝xcm，正方形PQRS与矩形ABCD重叠部分面积为ycm2，试分别写出0≤x≤2和2≤x≤4时，y与x之间的函数关系式．

点拨精讲：

1.二次函数不要忽视二次项系数a≠0.

2．有时候要根据自变量的取值范围写函数关系式．

学生总结本堂课的收获与困惑．（2分钟）

学习至此，请使用本课时的对应训练部分．（10分钟）

22．1.2二次函数y＝ax2的图象和性质

1．能够用描点法作出函数的图象，并能根据图象认识和理解其性质．

2．初步建立二次函数表达式与图象之间的联系，体会数形的结合与转化，体会数学内在的美感．

重点：

描点法作出函数的图象．

难点：

根据图象认识和理解其性质．

一、自学指导．（7分钟）

自学：

自学课本P30～31“例1”“思考”“探究”，掌握用描点法作出函数的图象，理解其性质，完成填空．

（1）画函数图象的一般步骤：

取值－描点－连线；

（2）在同一坐标系中画出函数y＝x2，y＝12x2和y＝2x2的图象；

点拨精讲：

根据y≥0，可得出y有最小值，此时x＝0，所以以（0，0）为对称点，对称取点．

（3）观察上述图象的特征：

形状是抛物线，开口向上，图象关于y轴对称，其顶点坐标是（0，0），其顶点是最低点（最高点或最低点）；

（4）找出上述三条抛物线的异同：

__________．

（5）在同一坐标系中画出函数y＝－x2，y＝－12x2和y＝－2x2的图象，找出图象的异同．

点拨精讲：

可从顶点、对称轴、开口方向、开口大小去比较寻找规律．

总结归纳：

一般地，抛物线的对称轴是y轴，顶点是（0，0），当a>0时，抛物线的开口向上，顶点是抛物线的最低点．a越大，抛物线的开口越小；当a二、自学检测：

学生自主完成，小组内展示，点评，教师巡视．（5分钟）

1．教材P41习题22.1第3，4题．

一、小组合作：

小组讨论交流解题思路，小组活动后，小组代表展示活动成果．（13分钟）

探究1填空：

（1）函数y＝（－2x）2的图象形状是______，顶点坐标是______，对称轴是______，开口方向是______．

（2）函数y＝x2，y＝12x2和y＝－2x2的图象如图所示，请指出三条抛物线的解析式．

解：

（1）抛物线，（0，0），y轴，向上；

（2）根据抛物线y＝ax2中，a的值来判断，在x轴上方开口小的抛物线为y＝x2，开口大的为y＝12x2，在x轴下方的为y＝－2x2.

点拨精讲：

解析式需化为一般式，再根据图象特征解答，避免发生错误．抛物线y＝ax2中，a>0时，开口向上；a探究2已知函数y＝（m＋2）xm2＋m－4是关于x的二次函数．

（1）求满足条件的m的值；

（2）m为何值时，抛物线有最低点？

求这个最低点；当x为何值时，y随x的增大而增大？

（3）m为何值时，函数有最大值？

最大值为多少？

当x为何值时，y随x的增大而减小？

解：

（1）由题意得m2＋m－4＝2，m＋2≠0.

解得m＝2或m＝－3，m≠－2.∴当m＝2或m＝－3时，原函数为二次函数．

（2）若抛物线有最低点，则抛物线开口向上，∴m＋2>0，即m>－2，∴只能取m＝2.

∵这个最低点为抛物线的顶点，其坐标为（0，0），∴当x>0时，y随x的增大而增大．

（3）若函数有最大值，则抛物线开口向下，∴m＋2∴只能取m＝－3.

∵函数的最大值为抛物线顶点的纵坐标，其顶点坐标为（0，0），

∴m＝－3时，函数有最大值为0.

∴x>0时，y随x的增大而减小．

二、跟踪练习：

学生独立确定解题思路，小组内交流，上台展示并讲解思路．（5分钟）

1．二次函数y＝ax2与y＝－ax2的图象之间有何关系？

2．已知函数y＝ax2经过点（－1，3）．

（1）求a的值；

（2）当x3．二次函数y＝－2x2，当x1>x2>0，则y1与y2的关系是__y1＜y2__．

4．二次函数y＝ax2与一次函数y＝－ax（a≠0）在同一坐标系中的图象大致是（B）

点拨精讲：

1.二次函数y＝ax2的图象的画法是列表、描点、连线，列表时一般取5～7个点，描点时可描出一侧的几个点，再根据对称性找出另一侧的几个点，连线将几个点用平滑的曲线顺次连接起来，抛物线的两端要无限延伸，要“出头”；

2．抛物线y＝ax2的开口大小与|a|有关，|a|越大，开口越小，|a|相等，则其形状相同．

学生总结本堂课的收获与困惑．（2分钟）

学习至此，请使用本课时对应训练部分．（10分钟）

22．1.3二次函数y＝a（x－h）2＋k的图象和性质

（1）

1．会作函数y＝ax2和y＝ax2＋k的图象，能比较它们的异同；理解a，k对二次函数图象的影响，能正确说出两函数图象的开口方向、对称轴和顶点坐标．

2．了解抛物线y＝ax2上下平移规律．

重点：

会作函数的图象．

难点：

能正确说出两函数图象的开口方向、对称轴和顶点坐标．

一、自学指导．（10分钟）

自学：

自学课本P32～33“例2”及两个思考，理解y＝ax2＋k中a，k对二次函数图象的影响，完成填空．

总结归纳：

二次函数y＝ax2的图象是一条抛物线，其对称轴是y轴，顶点是（0，0），开口方向由a的符号决定：

当a>0时，开口向上；当a0时，在对称轴的左侧，y随x的增大而减小；在对称轴的右侧，y随x的增大而增大．抛物线有最__低__点，函数y有最__小__值．当a抛物线y＝ax2＋k可由抛物线y＝ax2沿__y__轴方向平移__|k|__单位得到，当k>0时，向__上__平移；当k二、自学检测：

学生自主完成，小组内展示，点评，教师巡视．（7分钟）

1．在抛物线y＝x2－2上的一个点是（C）

A．（4，4）B．（1，－4）

C．（2，2）D．（0，4）

2．抛物线y＝x2－16与x轴交于B，C两点，顶点为A，则△ABC的面积为__64__．

点拨精讲：

与x轴的交点的横坐标即当y等于0时x的值，即可求出两个交点的坐标．

3．画出二次函数y＝x2－1，y＝x2，y＝x2＋1的图象，观察图象有哪些异同？

点拨精讲：

可从开口方向、对称轴、形状大小、顶点、位置去找．

一、小组合作：

小组讨论交流解题思路，小组活动后，小组代表展示活动成果．（5分钟）

探究1抛物线y＝ax2与y＝ax2±c有什么关系？

解：

（1）抛物线y＝ax2±c的形状与y＝ax2的形状完全相同，只是位置不同；

（2）抛物线y＝ax2向上平移c个单位得到抛物线y＝ax2＋c；

抛物线y＝ax2向下平移c个单位得到抛物线y＝ax2－c.

探究2已知抛物线y＝ax2＋c向下平移2个单位后，所得抛物线为y＝－2x2＋4，试求a，c的值．

解：

根据题意，得a＝－2，c－2＝4，解得a＝－2，c＝6.

二、跟踪练习：

学生独立确定解题思路，小组内交流，上台展示并讲解思路．（13分钟）

1．函数y＝ax2－a与y＝ax－a（a≠0）在同一坐标系中的图象可能是（D）

2．二次函数的图象如图所示，则它的解析式为（B）

A．y＝x2－4

B．y＝－34x2＋3

C．y＝32（2－x）2

D．y＝32（x2－2）

3．二次函数y＝－x2＋4图象的对称轴是y轴，顶点坐标是（0，4），当x4．抛物线y＝ax2＋c与y＝－3x2的形状大小，开口方向都相同，且其顶点坐标是（0，5），则其表达式为y＝－3x2＋5，它是由抛物线y＝－3x2向__上__平移__5__个单位得到的．

5．将抛物线y＝－3x2＋4绕顶点旋转180°，所得抛物线的解析式为y＝3x2＋4．

6．已知函数y＝ax2＋c的图象与函数y＝5x2＋1的图象关于x轴对称，则a＝__－5__，c＝__－1__．

点拨精讲：

1.函数的图象与性质以及抛物线上下平移规律．（可结合图象理解）

2．抛物线平移多少个单位，主要看两顶点坐标，确定两顶点相隔的距离，从而确定平移的方向与单位长，有时也可以比较两抛物线上横坐标相同的两点相隔的距离，从而确定平移的方向与单位长．

学生总结本堂课的收获与困惑．（2分钟）

学习至此，请使用本课时对应训练部分．（10分钟）

22．1.3二次函数y＝a（x－h）2＋k的图象和性质

（2）

1．进一步熟悉作函数图象的主要步骤，会作函数y＝a（x－h）2的图象．

2．能正确说出y＝a（x－h）2的图象的开口方向、对称轴和顶点坐标．

3．掌握抛物线y＝a（x－h）2的平移规律．

重点：

熟悉作函数图象的主要步骤，会作函数y＝a（x－h）2的图象．

难点：

能正确说出图象的开口方向、对称轴和顶点坐标，掌握抛物线y＝a（x－h）2的平移规律．

一、自学指导．（10分钟）

自学：

自学课本P33～34“探究”与“思考”，掌握y＝a（x－h）2与y＝ax2之间的关系，理解并掌握