中国石油大学至学年第二学期高等数学期末考试试题.docx
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中国石油大学至学年第二学期高等数学期末考试试题
中国石油大学2008至2009学年第二学期高等数学期末考试试题
中国石油大学2008—2009学年第二学期
《高等数学》期末考试试卷
专业班级
姓 名
学 号
开课系室 数学学院基础数学系
考试日期 2009年6月22日
页码
一
二
三
四
五
总分
得 分
阅卷人
说明：
1本试卷正文共5页。
2 封面及题目所在页背面及附页为草稿纸。
3 答案必须写在题后的横线上，计算题解题过程写在题下空白处，写在草稿纸上无效。
一．选择题（本题共6小题，每小题4分，满分24分.每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，把所选项前的字母填在题后的括号内）.
1. 设三向量满足关系式，则（ ）.
（A）必有; （B）必有;
（C）当时，必有; （D）必有为常数）.
2. 直线与平面的关系是（ ）.
（A）平行，但直线不在平面上; （B）直线在平面上；
（C）垂直相交; （D）相交但不垂直.
3. 二元函数在点（0，0）处（ ）
（A） 不连续，偏导数存在 （B） 连续，偏导数不存在
（C） 连续，偏导数存在 （D） 不连续，偏导数不存在
4. 已知为某二元函数的全微分，则（ ）.
（A）; （B）; （C）; （D）.
5. 设是连续函数，平面区域，则（ ）.
（A）; （B）;
（C）; （D）.
6. 设为常数，则级数（ ）.
（A）发散 ; （B）绝对收敛; （C）条件收敛; （D）收敛性与的值有关.
二．填空题（本题共6小题，每小题4分，满分24分）.
1. 设函数，向量，点，
则_____________.
2. 若函数在点处取得极值，则常数____________.
3. 为圆的一周，则_____________.
4. 设，级数的收敛半径为 _____________.
5. 设，则_____________.
6. 设是以为周期的周期函数，它在区间上的定义为，
则的以为周期的傅里叶级数在处收敛于_____________.
三．解答下列各题（本题共7小题，满分44分）.
1.（本小题6分）设是可微函数，，求.
解题过程是：
2. （本小题6分）计算二重积分，其中.
解题过程是：
3. （本小题6分） 设曲面是由方程所确定，求该曲面在点处的切平面方程及全微分.
解题过程是：
4. （本小题6分） 计算三重积分，其中是由柱面及，，所围成的空间区域.
解题过程是：
5. （本小题6分）求，其中为曲面，方向取下侧.
解题过程是：
6. （本小题7分） 求幂级数的收敛域及和函数.
解题过程是：
7. （本小题7分）计算，为立体的边界。
解题过程是：
四．证明题（8分）.
设函数在内具有一阶连续导数，是上半平面内的有向分段光滑曲线，其起点为，终点为，记，
（1）证明曲线积分与路径无关;
（2）当时，求的值.
一．选择题（本题共6小题，每小题4分，满分24分.每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，把所选项前的字母填在题后的括号内）.
1. 设三向量满足关系式，则（ D ）.
（A）必有; （B）必有;
（C）当时，必有; （D）必有为常数）.
2. 直线与平面的关系是（ A ）.
（A）平行，但直线不在平面上; （B）直线在平面上；
（C）垂直相交; （D）相交但不垂直.
3. 二元函数在点（0，0）处（A）
（A） 不连续，偏导数存在 （B））连续，偏导数不存在
（C） 连续，偏导数存在 （D））不连续，偏导数不存在
4. 已知为某二元函数的全微分，则（ D ）.
（A）; （B）; （C）; （D）.
5. 设是连续函数，平面区域，则（ C ）.
（A）、; （B）;
（C）; （D）.
6. 设为常数，则级数（ B ）.
（A）发散 ; （B）绝对收敛; （C）条件收敛; （D）收敛性与的值有关.
二．填空题（本题共6小题，每小题4分，满分24分）.
1. 设函数，向量，点，
则____________.
2. 若函数在点处取得极值，则常数_________.
3. 为圆一周，则_____0_____.
4. 设，级数的收敛半径为 __________.
5. 设，则______.
6. 设是以为周期的周期函数，它在区间上的定义为，
则的以为周期的傅里叶级数在处收敛于__________.
三．解答下列各题（本题共7小题，1-5每小题6分，6-7每小题7分，满分44分）.
1.设是可微函数，，求.
解题过程是：
令，则， ………………………………..2分
， ………………………………..2分
于是. ………………………………..2分
2. 计算二重积分，其中.
解题过程是：
关于轴对称，被积函数关于是奇函数，故
； …………………………………..2分
于是 …..4分
3. 设曲面是由方程所确定，求该曲面在点处的切平面方程及全微分.
解题过程是：
令，则，
. …………………………………..2分
切平面为. …………………………………..1分
…………………………………..2分
于是. …………………………………..1分
4. 计算三重积分，其中是由柱面及，，所围成的空间区域.
解题过程是：
…………………………………..3分
. …………………………………..3分
5. 求，其中为曲面，方向取下侧.
解题过程是：
取为，法线方向指向轴正向 ………………………..1分
由Guass公式
……………………..2分
……………………..1分
. ……………………..2分
6. 求幂级数的收敛域并求其和函数.
解题过程是：
因为，所以，故收敛区间为；
时，极限，级数均是发散的；于是收敛域为.…………..2分
…………………….…………...3分
. …………………….…………...2分
7. （本小题7分）例1 计算，为立体的边界。
解题过程是：
解 设，为锥面，
为上部分，
在面投影为
=，
∴+=
=
四．证明题（8分）.
设函数在内具有一阶连续导数，是上半平面内的有向分段光滑曲线，其起点为，终点为，记，
（1）证明曲线积分与路径无关;
（2）当时，求的值.
（1）记，
成立，积分与路径无关. ……………………………………..3分
（2）由于积分与路径无关，选取折线路径，由点起至点，再至终点，则
.
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