232线性回归方程学案.docx

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232线性回归方程学案

2、3、2线性回归方程

讲义编写者：

数学教师孟凡洲

某小卖部为了了解热茶销售量与气温之间的关系,随机统计并制作了某6天卖出热茶的杯数与当天气温的对照表：

气温/℃

26

18

13

10

4

-1

杯数

20

24

34

38

50

64

如果某天的气温是-5℃,你能根据这些数据预测这天小卖部卖出热茶的杯数吗？

为解决这个问题我们接着学习两个变量的线性相关——回归直线及其方程.

一、【学习目标】

1、理解相关关系，能判断两个变量之间是否是相关关系；

2、会求线性回归方程，理解其真正含义（估计）.

二、【自学内容和要求及自学过程】

阅读教材86—89页内容，回答问题（回归直线方程）

<1>请你说出作散点图的步骤和方法.

<2>请你说出正、负相关的概念.

<3>什么是线性相关？

<4>看人体的脂肪百分比和年龄的散点图,当人的年龄增加时,体内脂肪含量到底是以什么方式增加的呢？

<5>什么叫做回归直线？

<6>如何求回归直线的方程？

什么是最小二乘法？

它有什么样的思想？

结论：

<1>建立相应的平面直角坐标系,将各数据在平面直角坐标中的对应点画出来,得到表示两个变量的一组数据的图形,这样的图形叫做散点图.（a.如果所有的样本点都落在某一函数曲线上,就用该函数来描述变量之间的关系,即变量之间具有函数关系．b.如果所有的样本点都落在某一函数曲线附近,变量之间就有相关关系.c.如果所有的样本点都落在某一直线附近,变量之间就有线性相关关系）

<2>如果散点图中的点散布在从左下角到右上角的区域内,称为正相关.如果散点图中的点散布在从左上角到右下角的区域内,称为负相关.

<3>如果所有的样本点都落在某一直线附近,变量之间就有线性相关的关系.

<4>大体上来看,随着年龄的增加,人体中脂肪的百分比也在增加,呈正相关的趋势,我们可以从散点图上来进一步分析.

<5>如下图；从散点图上可以看出,这些点大致分布在通过散点图中心的一条直线附近.如果散点图中点的分布从整体上看大致在一条直线附近,我们就称这两个变量之间具有线性相关关系,这条直线叫做回归直线（regressionline）.如果能够求出这条回归直线的方程（简称回归方程）,那么我

们就可以比较清楚地了解年龄与体内脂肪含量的相关性.就像平均数可以作为一个变量的数据的代表一样,这条直线可以作为两个变量具有线性相关关系的代表.

<6>从散点图上可以发现,人体的脂肪百分比和年龄的散点图,大致分布在通过散点图中心的一条直线.

那么,我们应当如何具体求出这个回归方程呢?

有的同学可能会想,我可以采用测量的方法,先画出一条直线,测量出各点与它的距离,然后移动直线,到达一个使距离的和最小的位置,测量出此时的斜率和截距,就可得到回归方程了.但是,这样做可靠吗?

有的同学可能还会想,在图中选择这样的两点画直线,使得直线两侧的点的个数基本相同.同样地,这样做能保证各点与此直线在整体上是最接近的吗?

还有的同学会想,在散点图中多取几组点,确定出几条直线的方程,再分别求出各条直线的斜率、截距的平均数,将这两个平均数当成回归方程的斜率和截距.

同学们不妨去实践一下,看看这些方法是不是真的可行?

（学生讨论：

1.选择能反映直线变化的两个点.2.在图中放上一根细绳,使得上面和下面点的个数相同或基本相同.3.多取几组点对,确定几条直线方程.再分别算出各个直线方程斜率、截距的算术平均值,作为所求直线的斜率、截距.）教师：

分别分析各方法的可靠性.如下图：

上面这些方法虽然有一定的道理,但总让人感到可靠性不强.

实际上,求回归方程的关键是如何用数学的方法来刻画“从整体上看,各点与此直线的距离最小”.人们经过长期的实践与研究,已经得出了计算回归方程的斜率与截距的一般公式

其中，b是回归方程的斜率，a是截距.

推导公式①的计算比较复杂，这里不作推导.但是,我们可以解释一下得出它的原理.

假设我们已经得到两个具有线性相关关系的变量（x1,y1）,（x2,y2）,…,（xn,yn），且所求回归方程是

=bx+a,其中a、b是待定参数.当变量x取xi（i=1,2,…,n）时可以得到

=bxi+a（i=1,2,…,n）,它与实际收集到的yi之间的偏差是yi-

=yi-（bxi+a）（i=1,2,…,n）.

这样，用这n个偏差的和来刻画“各点与此直线的整体偏差”是比较合适的.由于（yi-

）可正可负，为了避免相互抵消，可以考虑用

来代替，但由于它含有绝对值，运算不太方便，所以改用Q=（y1-bx1-a）2+（y2-bx2-a）2+…+（yn-bxn-a）2②来刻画n个点与回归直线在整体上的偏差.

这样，问题就归结为:

当a,b取什么值时Q最小，即总体偏差最小.经过数学上求最小值的运算，a,b的值由公式①给出.

通过求②式的最小值而得出回归直线的方法，即求回归直线，使得样本数据的点到它的距离的平方和最小，这一方法叫做最小二乘法（methodofleastsquare）.

三、【综合练习与思考探索】

例1有一个同学家开了一个小卖部，他为了研究气温对热饮销售的影响，经过统计，得到一个卖出的热饮杯数与当天气温的对比表：

温度/℃

-5

0

4

7

12

15

19

23

27

31

36

热饮杯数

156

150

132

128

130

116

104

89

93

76

54

（1）画出散点图；

（2）从散点图中发现气温与热饮销售杯数之间关系的一般规律；

（3）求回归方程；

（4）如果某天的气温是2℃，预测这天卖出的热饮杯数.

结论：

（1）散点图如下图所示：

（2）从上图看到，各点散布在从左上角到右下角的区域里，因此，气温与热饮销售杯数之间呈负相关，即气温越高，卖出去的热饮杯数越少.

（3）从散点图可以看出，这些点大致分布在一条直线的附近，因此，可用公式①求出回归方程的系数.利用计算器容易求得回归方程

=-2.352x+147.767.

（4）当x=2时，

=143.063.因此，某天的气温为2℃时，这天大约可以卖出143杯热饮.

思考：

气温为2℃时，小卖部一定能够卖出143杯左右热饮吗？

为什么？

这里的答案是小卖部不一定能够卖出143杯左右热饮，原因如下：

1.线性回归方程中的截距和斜率都是通过样本估计出来的，存在随机误差，这种误差可以导致预测结果的偏差.

2.即使截距和斜率的估计没有误差，也不可能百分之百地保证对应于x的预报值，能够与实际值y很接近.我们不能保证点（x,y）落在回归直线上，甚至不能百分之百地保证它落在回归直线的附近，事实上，y=bx+a+e=

+e.

这里e是随机变量，预报值

与实际值y的接近程度由随机变量e的标准差所决定.

一些学生可能会提出问题：

既然不一定能够卖出143杯左右热饮，那么为什么我们还以“这天大约可以卖出143杯热饮”作为结论呢？

这是因为这个结论出现的可能性最大.具体地说，假如我们规定可以选择连续的3个非负整数作为可能的预测结果，则我们选择142，143和144能够保证预测成功（即实际卖出的杯数是这3个数之一）的概率最大.

例2下表为某地近几年机动车辆数与交通事故数的统计资料.

机动车辆数x／千台

95

110

112

120

129

135

150

180

交通事故数y／千件

6.2

7.5

7.7

8.5

8.7

9.8

10.2

13

（1）请判断机动车辆数与交通事故数之间是否有线性相关关系,如果不具有线性相关关系,说明理由；

（2）如果具有线性相关关系,求出线性回归方程.

结论：

（1）在直角坐标系中画出数据的散点图,如下图.

直观判断散点在一条直线附近,故具有线性相关关系．

（2）计算相应的数据之和：

=1031，

=71.6,

=137835，

=9611.7.

将它们代入公式计算得b≈0.0774,a=-1.0241,

所以,所求线性回归方程为=0.0774x-1.0241.

四、【作业】

1、必做题：

习题2.3A组3、4,B组1、2；

2、选做题：

完成课后练习.

五、【课后练习】

1、下列两个变量之间的关系哪个不是函数关系（）

A.角度和它的余弦值B.正方形边长和面积

C.正ｎ边形的边数和它的内角和D.人的年龄和身高

答案：

Ｄ

2、三点（3,10）,（7,20）,（11,24）的线性回归方程是（）

A.

=5.75-1.75xB.

=1.75+5.75xC.

=1.75-5.75xD.

=5.75+1.75x

答案：

Ｄ

3、已知关于某设备的使用年限x与所支出的维修费用y（万元）,有如下统计资料：

使用年限x

2

3

4

5

6

维修费用y

2．2

3．8

5．5

6．5

7．0

设y对x呈线性相关关系．试求：

（1）线性回归方程

=bx+a的回归系数a,b；

（2）估计使用年限为10年时,维修费用是多少？

答案：

（1）b=1.23,a=0.08；

（2）12.38.

4、我们考虑两个表示变量x与y之间的关系的模型,δ为误差项,模型如下：

模型1：

y=6+4x；模型2：

y=6+4x+e．

（1）如果x=3,e=1,分别求两个模型中y的值；

（2）分别说明以上两个模型是确定性模型还是随机模型．

解：

（1）模型1：

y=6+4x=6+4×3=18；

模型2：

y=6+4x+e=6+4×3+1=19.

（2）模型1中相同的x值一定得到相同的y值,所以是确定性模型；模型2中相同的x值,因δ的不同,所得y值不一定相同,且δ为误差项是随机的,所以模型2是随机性模型．

5、以下是收集到的新房屋销售价格y与房屋大小x的数据：

房屋大小x（m2）

80

105

110

115

135

销售价格y（万元）

18.4

22

21.6

24.8

29.2

（1）画出数据的散点图；

（2）用最小二乘法估计求线性回归方程.

解：

（1）散点图如下图.

（2）n=5,

=545,

=109,

=116,

=23.2,

=60952,

=12952,

b=

≈0.199,a=23.2-0.199×109≈1.509,

所以,线性回归方程为y=0.199x+1.509．

6、下列关系中，是带有随机性相关关系的是

1正方形的边长面积之间的关系；

②　水稻产量与施肥量之间的关系

③　人的身高与年龄之间的关系

④　降雪量与交通事故的发生率之间的关系.

答案：

两变量之间的关系有两种：

函数关系与带有机性的相关关系.①正方形的边长与面积之间的关系是函数关系.②水稻产量与施肥量之间的关系不是严格的函数关系，但是具有相关性，因而是相关关系.③人的身高与年龄之间的关系既不是函数关系，也不是相关关系，因为人的年龄达到一定时期身高就不发生明显变化了，因而他们不具备相关关系.④降雪量与交通事故的发生率之间具有相关关系，因此填②、④.

7、现随机抽取某校10名学生在入学考中的数学成绩X与入学后的第一次数学考试成绩Y，数据如下：

学号

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

X

120

109

117

104

103

110

104

105

99

108

Y

84

64

84

68

69

68

69

46

57

71

问这10名同学的两次数学考试成绩是否具有相关关系？

答案：

应用散点图分析，（图略）这10名同学的两次数学考试成绩具有相关关系.

8、在下列各图中，每个图的两个变量具有相关关系的图是（）

A、

（1）

（2）B、

（1）（3）C、

（2）（4）D、

（2）（3）

9、线性回归方程

必过[]

A、（0，0）点B、（

，0）点C、（0，

）点心D、（

）点

10、设有一个直线回归方程为y=2－1.5x,则变量x增加一个单位时

A、y平均增加1.5个单位于B、y平均增加2个单位

C、y平均减少1.5个单位D、y平均减少2个单位

10、下列变量之间的关系是相关关系的是　　　　　　　.

①　球的体积与半径的关系；

②　动物大脑容量的百分比与智力水平的关系；

③　人的年龄与体重之间的关系；

④　降雨量与农作物产量之间的关系.

11、要分析学生初中升学的数学成绩对高一学习情况的影响，在高一年级学生中随机抽取了10名学生，他们的入学成绩与期末考试成绩如下表：

学生编号

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

入学成绩X

63

67

45

88

81

71

52

99

58

76

期末成绩Y

65

78

52

82

92

89

73

98

56

75

（1）若变量X与Y之间具有线性相关关系，求出回归直线方程.

（2）若某学生的入学成绩为80分，试估计他的期末成绩；