r
B．v1>v2，v1>GM
r
D．v1GM
r
【答案】B
【解析】卫星绕地球运动，由开普勒第二定律知，近地点的速度大于远地点的速度，即v1>v2。
若卫星以
近
近地点时距地心的距离为半径做圆周运动，则有GMm＝mv2，得运行速度v＝GM，由于卫星沿椭圆轨
r2rr
v2v2
道运动，在近地点所需向心力大于万有引力，故m1>m近，则v1>v
近，即v1>
，B正确。
rr
【2017·高考全国卷Ⅲ】2017年4月，我国成功发射的天舟一号货运飞船与天宫二号空间实验室完成了首次交会对接，对接形成的组合体仍沿天宫二号原来的轨道（可视为圆轨道）运行．与天宫二号单独运行时相比，组合体运行的（）
A．周期变大B．速率变大
C．动能变大D．向心加速度变大
【答案】C
【解析】组合体比天宫二号质量大，轨道半径R
GMm＝mv2
不变，根据
R2
，可得
R
，可知与天宫二号
单独运行时相比，组合体运行的速率不变，B项错误；又T＝2πR，则周期T不变，A项错误；质量变大、
v
速率不变，动能变大，C项正确；向心加速度a＝GM，不变，D项错误．
R2
【技巧方法】
1．从引力和向心力的关系分析变轨问题
（1）卫星突然加速（通过发动机瞬间喷气实现，喷气时间不计），则万有引力不足以提供向心力，GMm＜mv′2
r2r
卫星将做离心运动，变轨到更高的轨道．
（2）当卫星突然减速时，卫星所需向心力减小，万有引力大于向心力，卫星变轨到较低的轨道．
2．变轨问题考查的热点
（1）运动参量的比较：
两个轨道切点处，加速度由GMm＝ma分析，式中“r”表示卫星到地心的距离，a大小
r2
相等；由于变轨时发动机要点火工作，故线速度大小不等．
（2）能量的比较：
在离心运动过程中（发动机已关闭），卫星克服引力做功，其动能向引力势能转化，机械能保持不变．两个不同的轨道上（圆轨道或椭圆轨道），轨道越高卫星的机械能越大．
【最新考向解码】
2
【例1】（2019·河北衡水中学高三二调）探月工程中，“嫦娥三号”探测器的发射过程可以简化如下：
卫星由地面发射后，进入地月转移轨道，经过P点时变轨进入距离月球表面100公里的圆形轨道1，在轨道1上经过
Q点时变轨进入椭圆轨道2，轨道2与月球相切于M点，月球车将在M点着陆月球表面。
下列说法正确的是（）
A．“嫦娥三号”在轨道1上的速度比月球的第一宇宙速度小
B．“嫦娥三号”在地月转移轨道上经过P点的速度比在轨道1上经过P点时大
C．“嫦娥三号”在轨道1上的运动周期比在轨道2上小
D．“嫦娥三号”在轨道1上经过Q点时的加速度小于在轨道2上经过Q点时的加速度
【答案】AB
【解析】月球的第一宇宙速度是卫星在月球表面绕月球做匀速圆周运动时的速度，“嫦娥三号”在轨道1
上做匀速圆周运动的半径大于月球半径，根据GMm＝mv2，得线速度v＝GM，可知“嫦娥三号”在轨道1
r2rr
上的运动速度比月球的第一宇宙速度小，A正确；“嫦娥三号”在地月转移轨道上经过P点进入轨道1，需减速，所以在地月转移轨道上经过P点的速度比在轨道1上经过P点时大，B正确；由于卫星在轨道2上运动时轨道的半长轴比在轨道1上运动时的轨道半径小，根据开普勒第三定律可知卫星在轨道1上的运动周期比在轨道2上大，C错误；“嫦娥三号”经过Q点时的加速度取决于在该点时所受的万有引力，由万有引力公式可知它在轨道1和轨道2上经过Q点时所受万有引力相等，则加速度相等，D错误。
【例2】．（2019·山东枣庄高三上学期期末）2018年5月21日，我国发射人类首颗月球中继卫星“鹊桥”，6月
14日进入使命轨道——地月拉格朗日L2轨道，为在月球背面着陆的“嫦娥四号”与地球站之间提供通信链路。
12月8日，我国成功发射“嫦娥四号”探测器，并于2019年1月3日成功着陆于月球背面，通过中继卫星“鹊
桥”传回了月背影像图，如图1所示，揭开了古老月背的神秘面纱。
如图2所示，假设“鹊桥”中继卫星在拉格朗日点L2时，与月、地两个大天体保持相对静止。
设地球的质量为月球的k倍，地月间距为L，拉格朗日点L2与月球间距为d。
地球、月球和“鹊桥”中继卫星均视为质点，忽略太阳对“鹊桥”中继星的引力，则下列选项正确的是（）
3
A．“鹊桥”中继卫星在拉格朗日点L2时处于平衡状态
B．“鹊桥”中继卫星与月球绕地球运动的线速度之比为v鹊∶v月＝（L＋d）∶L
C．k、L、d的关系式为1＋L＋d
＝
k（L＋d）2d2L3
D．k、L、d的关系式为1＋1＝L＋d
【答案】BD
（L＋d）2
kd2L3
【解析】“鹊桥”中继卫星与月球相对静止，绕地球做匀速圆周运动的角速度与月球的相等，不是处于平衡状态，A错误；根据v＝ωr，“鹊桥”中继卫星与月球绕地球运动的半径分别是（L＋d）和L，所以线速度之比为v鹊∶v月＝（L＋d）∶L，B正确；设地球的质量为M，月球的质量为m1，“鹊桥”中继卫星的质量为m2，则
对月球有GMm1＝m1ω2L，对“鹊桥”中继卫星有GMm2＋Gm1m2＝m2ω2（L＋d），M＝km1，联立得1＋1＝
L2
L＋d
（L＋d）2d2
（L＋d）2
kd2
，C错误，D正确。
L3
【例3】（2019·江西重点中学联考）小型登月器连接在航天站上，一起绕月球做匀速圆周运动，其轨道半径为月球半径的3倍，某时刻，航天站使登月器减速分离，登月器沿如图所示的椭圆轨道登月，在月球表面逗留一段时间完成科考工作后，经快速启动仍沿原椭圆轨道返回，当第一次回到分离点时恰与航天站对接，登月器的快速启动时间可以忽略不计，整个过程中航天站保持原轨道绕月运行．已知月球表面的重力加速度为g，月球半径为R，不考虑月球自转的影响，则登月器可以在月球上停留的最短时间约为（）
A．10π5R－6π3RB．6π3R－4π2R
gggg
C．10π5R－2πRD．6π3R－2πR
gggg
【答案】B.
【解析】当登月器和航天站在半径为3R的轨道上绕月球做匀速圆周运动时，应用牛顿第二定律有GMm＝
r2
m4π2r，r＝3R，则有T＝2πT2
＝6π3R3.在月球表面的物体所受重力近似等于万有引力，可得GM＝GM
4
gR2，所以T＝6π3R
g
①，登月器在椭圆轨道上运行的周期用T1表示，航天站在圆轨道上运行的周期用
T2表示，对登月器和航天站依据开普勒第三定律有T＝
22
1＝2
②，为使登月器仍沿原椭
（3R）3
（2R）3（3R）3
圆轨道回到分离点与航天站实现对接，登月器可以在月球表面停留的时间t应满足t＝nT2－T1（其中n＝1、2、
3、…）③，联立①②③式得t＝6πn3R－4π2R（其中n＝1、2、3、…），当n＝1时，登月器可以在月
gg
球上停留的时间最短，即tmin＝6π3R－4π2R.
gg
【微专题精练】
1.（2019·河北衡水检测）同步卫星的发射方法是变轨发射，即先把卫星发射到离地面高度为200～300km的圆形轨道上，这条轨道叫停泊轨道，如图所示，当卫星穿过赤道平面上的P点时，末级火箭点火工作，使卫星进入一条大的椭圆轨道，其远地点恰好在地球赤道上空约36000km处，这条轨道叫转移轨道；当卫星到达远地点Q时，再开动卫星上的发动机，使之进入同步轨道，也叫静止轨道．关于同步卫星及其发射过程，下列说法正确的是（）
A．在P点火箭点火和Q点开动发动机的目的都是使卫星加速，因此，卫星在静止轨道上运行的线速度大于在停泊轨道运行的线速度B．在P点火箭点火和Q点开动发动机的目的都是使卫星加速，因此，卫星在静止轨道上运行的机械能大于在停泊轨道运行的机械能
C．卫星在转移轨道上运动的速度大小范围为7.9～11.2km/s
D．所有地球同步卫星的静止轨道都相同
【答案】BD
【解析】根据卫星变轨的原理知，在P点火箭点火和Q点开动发动机的目的都是使卫星加速．当卫星做圆
周运动时，由GMm＝mv2v＝GM，可知，卫星在静止轨道上运行的线速度小于在停泊轨道运行的线
r2rr
速度，故A错误；在P点火箭点火和Q点开动发动机的目的都是使卫星加速，由能量守恒知，卫星在静止轨道上运行的机械能大于在停泊轨道运行的机械能，故B正确；卫星在转移轨道上的远地点需加速才能进入同步卫星轨道，而同步卫星轨道的速度小于7.9km/h，故C错误；所有地球同步卫星的静止轨道都相同，
5
并且都在赤道平面上，高度一定，故D正确．
2.我国发射的“天宫二号”空间实验室与之后发射“神舟十一号”成功完成对接．假设“天宫二号”与“神舟十一号”
都围绕地球做匀速圆周运动，为了实现飞船与空间实验室的对接，下列措施可行的是（）
A．使飞船与空间实验室在同一轨道上运行，然后飞船加速追上空间实验室实现对接
B．使飞船与空间实验室在同一轨道上运行，然后空间实验室减速等待飞船实现对接
C．飞船先在比空间实验室半径小的轨道上加速，加速后飞船逐渐靠近空间实验室，两者速度接近时实现对接
D．飞船先在比空间实验室半径小的轨道上减速，减速后飞船逐渐靠近空间实验室，两者速度接近时实现对接
【答案】C
【解析】飞船在同一轨道上加速追赶空间实验室时，速度增大，所需向心力大于万有引力，飞船将做离心运动，不能实现与空间实验室的对接，选项A错误；同理，空间实验室在同一轨道上减速等待飞船时，速度减小，所需向心力小于万有引力，空间实验室做近心运动，也不能实现对接，选项B错误；当飞船在比空间实验室半径小的轨道上加速时，飞船做离心运动，逐渐靠近空间实验室，可实现对接，选项C正确；当飞船在比空间实验室半径小的轨道上减速时，飞船将做近心运动，远离空间实验室，不能实现对接，选项D错误．3.如图所示，1、3轨道均是卫星绕地球做圆周运动的轨道示意图，1轨道的半径为R，2轨道是一颗卫星绕地球做椭圆运动的轨道示意图，3轨道与2轨道相切于B点，O点为地球球心，AB为椭圆的长轴，三轨道和地心都在同一平面内．已知在1、2两轨道上运动的卫星的周期相等，引力常量为G，地球质量为M，三颗卫星的质量相等，则下列说法正确的是（）
A．卫星在3轨道上的机械能小于在2轨道上的机械能B．若卫星在1轨道上的速率为v1，卫星在2轨道A点的速率为vA，则v1＜vAC．若卫星在1、3轨道上的加速度大小分别为a1、a3，卫星在2轨道A点的加速度大小为aA，则aA＜a1＜
6
a3
D．若OA＝0.4R，则卫星在2轨道B点的速率vB＞5GM
8R
【答案】B
【解析】2、3轨道在B点相切，卫星在3轨道相对于2轨道是做离心运动的，卫星在3轨道上的线速度大于在2轨道上B点的线速度，因卫星质量相同，所以卫星在3轨道上的机械能大于在2轨道上的机械能，A错误；以OA为半径作一个圆轨道4与2轨道相切于A点，则v4＜vA，又因v1＜v4，所以v1＜vA，B正确；加速度是万有引力产生的，只需要比较卫星到地心的高度即可，应是aA＞a1＞a3，C错误；由开普勒第三定
律可知，2轨道的半长轴为R，OB＝1.6R，3轨道上的线速度v3＝5GM，又因vB＜v3，所以vB＜5GM，
8R8R
D错误．
4.我国于2016年9月15日发射了“天宫二号”空间实验室，之后在10月17日，又发射了“神舟十一号”飞船与“天宫二号”对接．假设“天宫二号”与“神舟十一号”都围绕地球做匀速圆周运动，为了实现飞船与空间实验室的对接，下列措施可行的是（）
A．使飞船与空间实验室在同一轨道上运行，然后飞船加速追上空间实验室实现对接
B．使飞船与空间实验室在同一轨道上运行，然后空间实验室减速等待飞船实现对接
C．飞船先在比空间实验室半径小的轨道上加速，加速后飞船逐渐靠近空间实验室，两者速度接近时实现对接
D．飞船先在比空间实验室半径小的轨道上减速，减速后飞船逐渐靠近空间实验室，两者速度接近时实现对接
【答案】C.
【解析】为了实现飞船与空间实验室的对接，必须使飞船在较低的轨道上加速做离心运动，上升到空间实验室运动的轨道后逐渐靠近空间实验室，两者速度接近时实现对接，选项C正确．
5.北斗导航系统又被称为“双星定位系统”，具有导航、定位等功能．如图所示，北斗导航系统中的两颗工作卫星均绕地心做匀速圆周运动，且轨道半径均为r，某时刻工作卫星1、2分别位于轨道上的A、B两个位置，若两卫星均沿顺时针方向运行，地球表面的重力加速度为g，地球半径为R，不计卫星间的相互作用力，下列判断错误的是（）
7
A．这两颗卫星的加速度大小相等，均为R2g
r2
B．卫星1由A位置运动到B位置所需的时间是πrr
3Rg
C．卫星1由A位置运动到B位置的过程中万有引力不做功D．卫星1向后喷气就一定能够追上卫星2
【答案】D.
【解析】根据F
＝ma，对卫星有GMm＝ma，可得a＝GM，取地面一物体由GMm′
m′g，联立解得a
R2g
r2
Mm2π2
r2
4π2r31
＝＝，
R2r2
πrr
故A正确；根据G＝mT
r2
r，得T＝
，又t＝T，联立可解得t＝GM63R
，故B正确；卫星1
g
由位置A运动到位置B的过程中，由于万有引力方向始终与速度方向垂直，故万有引力不做功，C正确；若卫星1向后喷气，则其速度会增大，卫星1将做离心运动，所以卫星1不可能追上卫星2，D错误．
6.（2019·湖北八校联考）如图所示为嫦娥三号登月轨迹示意图．图中M点为环地球运行的近地点，N点为环月球运行的近月点．a为环月球运行的圆轨道，b为环月球运行的椭圆轨道，下列说法中正确的是（）
A．嫦娥三号在环地球轨道上的运行速度大于11.2km/s
B．嫦娥三号在M点进入地月转移轨道时应点火加速
C．设嫦娥三号在圆轨道a上经过N点时的加速度为a1，在椭圆轨道b上经过N点时的加速度为a2，则a1
＞a2
D．嫦娥三号在圆轨道a上的机械能小于在椭圆轨道b上的机械能
【答案】BD
【解析】嫦娥三号在环地球轨道上运行速度v满足7.9km/s≤v＜11.2km/s，则A错误；嫦娥三号要脱离地球
需在M点点火加速让其进入地月转移轨道，则B正确；由a＝GM，知嫦娥三号在经过圆轨道a上的N点
r2
和经过在椭圆轨道b上的N点时的加速度相等，则C错误；嫦娥三号要从b轨道转移到a轨道需要减速，机械能减小，则D正确．
7.（2019·江南十校联考）据外媒综合报道，英国著名物理学家史蒂芬·霍金在2018年3月14日去世，享年76
8
岁．这位伟大的物理学家，向人类揭示了宇宙和黑洞的奥秘．高中生对黑洞的了解为光速是在星球（黑洞）上的第二宇宙速度．对于普通星球，如地球，光速仍远远大于其宇宙速度．现对于发射地球同步卫星的过程分析，卫星首先进入椭圆轨道Ⅰ，P点是轨道Ⅰ上的近地点，然后在Q点通过改变卫星速度，让卫星进入地球同步轨道Ⅱ，则（）
A．卫星在同步轨道Ⅱ上的运行速度大于第一宇宙速度7.9km/s
B．该卫星的发射速度必定大于第二宇宙速度11.2km/s
C．在轨道Ⅰ上，卫星在P点的速度大于第一宇宙速度7.9km/s
D．在轨道Ⅰ上，卫星在Q点的速度大于第一宇宙速度7.9km/s
【答案】C
【解析】第一宇宙速度是近地轨道的线速度，根据GMm＝mv2v＝GM，故轨道半径越大，线速度越
r2rr
小，所以同步卫星的运行速度小于第一宇宙速度，A错误；该卫星为地球的卫星，所以发射速度小于第二宇宙速度，B错误；P点为近地轨道上的一点，但要从近地轨道变轨到Ⅰ轨道，则需要在P点加速，所以在轨道Ⅰ上卫星在P点的速度大于第一宇宙速度，C正确；在Q点要从轨道Ⅰ变轨到轨道Ⅱ，则需要在Q点加速，即轨道Ⅱ上经过Q点的速度大于轨道Ⅰ上经过Q点的速度，而轨道Ⅱ上的速度小于第一宇宙速度，故在轨道Ⅰ上经过Q点时的速度小于第一宇宙速度，D错误．
8.（2019·湖北黄冈中学模拟）某卫星在半径为r的轨道1上做圆周运动，动能为Ek，变轨到轨道2上后，动能比在轨道1上减小了ΔE，在轨道2上也做圆周运动，则轨道2的半径为（）
A.EkrB.Ekr
Ek－ΔEΔE
C.ΔErD.Ek－ΔEr
Ek－ΔE
【答案】A
Mmv2
ΔE
1GMm
GMm
【解析】卫星在轨道1上时，G
＝m1，因此E＝
mv2＝
，同样，在轨道2上，E－ΔE＝，因
此r2＝Ek
Ek－ΔE
r2r
r，A正确．
k1
22r
k
2r2
9.（2019·江西重点中学联考）如图所示为某飞船从轨道Ⅰ经两次变轨绕火星飞行的轨迹图，其中轨道Ⅱ为圆轨道，轨道Ⅲ为椭圆轨道，三个轨道相切于P点，P、Q两点分别是椭圆轨道Ⅲ的远火星点和近火星点，S是轨道
9
Ⅱ上的点，P、Q、S三点与火星中心在同一直线上，且PQ＝2QS，下列说法正确的是（）
A．飞船在P点由轨道Ⅰ进入轨道Ⅱ可向运动方向喷气
B．飞船在轨道Ⅱ上由P点运动到S点的时间是飞船在轨道Ⅲ上由P点运动到Q点的时间的2.25倍
C．飞船在轨道Ⅱ上S点的速度小于在轨道Ⅲ上P点的速度
D．飞船在轨道Ⅱ上S点与在轨道Ⅲ上P点的加速度大小不相等
【答案】A
【解析】飞船在P点由轨道Ⅰ进入轨道Ⅱ，需减速，即向运动方向喷气，获得与速度方向相反的推力，从而
达到减速的目的，A正确；根据开普勒第三定律知，r3＝k，因为PQ＝2QS，可知圆的半径是椭圆半长轴的
T2
1.5倍，则轨道Ⅱ上运动的周期是轨道Ⅲ上运行周期的1.84倍，B错误；飞船从轨道Ⅱ上的P点进入轨道Ⅲ，需减速，使得万有引力大于向心力，做近心运动，可知飞船在轨道Ⅱ上S点的速度大于在轨道Ⅲ上P点的速度，C错误；Ⅱ轨道为圆周轨道，故两点的引力大小相等，所以加速度大小相等，D错误．
10.如图所示，探月卫星的发射过程可简化如下：
首先进入绕地球运行的“停泊轨道”，在该轨道的P处通过变速再进入“地月转移轨道”，在快要到达月球时，对卫星再次变速，卫星被月球引力“俘获”后，成为环月卫星，最终在环绕月球的“工作轨道”绕月飞行（视为圆周运动），对月球进行探测．“工作轨道”周期为T、距月球表面的高度为h，月球半径为R，引力常量为G，忽略其他天体对探月卫星在“工作轨道”上环绕运动的影响．
（1）要使探月卫星从“转移轨道”进入“工作轨道”，应增大速度还是减小速度？
（2）求探月卫星在“工作轨道”上环绕的线速度大小；
（3）求月球的第一宇宙速度．
【答案】
（1）减小
（2）2πR＋h
T
（3）2πR＋h
T
R＋hR
【解析】
（1）要使探月卫星从“转移轨道”进入“工作轨道”，应减小速度使卫星做近心运动．
（2）根据线速度与轨道半径和周期的关系可知探月卫星线速度的大小v
2πR＋h
＝.
T
10
（3）设月球的质量为M，探月卫星的质量为m，月球对探月卫星的万有引力提供其做匀速圆周运动的向心力，
Mm4π2
＝m（R＋h）
R＋h2T2
Mm′v2
月球的第一宇宙速度v1等于“近月卫星”的环绕速度，设“近月卫星”的质量为m′，则有G
＝m′1
R2R
解得v1＝2πR＋h
T
R＋h.R
11
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