开始时左边容器中充有分压为Po的一氧化碳和分压为P-P。
的氮气所组成的混合气体，右边容器中装有压强为p的纯氮气。
设一氧化碳中扩散的扩散系数都是D，要求求出左边容器中一氧化碳分压随时间变化的函数关系。
我们先设m和n2分别为左、右两容器中一氧化碳的数密度，管道中一氧化碳的数密度梯度为宁，从左边容器流向右边容器的一氧化碳粒子流率为
d2_D①-山
dtVL
等式两边分别除以容器体积V，因，故
dn’n’_n2
1=-D12A
dtVL
又因一氧化碳总粒子守恒，即n1n2=no,或m二no-n1，n,-n3n1-no,将它们
代入上式可得
两边积分，考虑到在t=0时，口（0）=n°，故
12DAt
山⑴n°[1exp（）]
2LV
由于一氧化碳分压
P1二n*T，p。
=n°kT，故
12DAt
pi=2Po[1exp（一*）]
式中包含一指数衰减项，可见当t——时，pi-。
2
4可以看作布朗粒子运动的扩散公式
在上面菲克定律中所研究的扩散是仅在一维（如z轴）方向上存在分子数密度梯度情况下的扩散。
有很多扩散现象在x、y、z三个方向上均存在分子数密度梯度的情况下发生的。
我们经常看到这样一种现象，若在空间某处积聚某种粒子，由于热运动，这些粒子要向周围分散开来，这就是可以看做布朗粒子无规则行走的扩散。
布朗粒子与气体分子无本质区别，其轨迹均是无规则的。
无论是布朗粒子，还是与背景气体不同的另一种气体分子，只要知道它们在背景气体中的扩散系数，就可知道其扩散的快慢，现在我们以布朗粒子做研究对象，则该粒子将等概率地向空间任何方向运动。
现以0点为原点，某方向作为x方向，设经过t时间的位移在x方向上的投影为x（t），显然x（t）二0，x2（t）=0。
爱因斯坦最早于1905年证明了
（4）
x2（t）=2Dt
其中为气体的黏性系数，r为布朗粒子半径，D为该布朗粒子在背景气体中的扩散系数。
1908年法国物理学家朗之万（Langevin,1872-1946）采用他自己称之为“无比简单的方法”，同样导出了（4）式。
（4）式有很重要的应用，利用它来估算扩散所需要的时间特别方便［7］。
比如在人的肺中，氧气通过扩散从肺内转移到毛细血管内，而二氧化碳也从毛细
血管转移到肺内，这两种转移都在肺泡内进行。
已知肺泡的“半径”为r=10，m,氧
气在空间中的扩散系数D=1.7810^m2J，现在想要估计一下氧气从肺泡中心扩
散到肺泡壁上的毛细血管所需的时间
那么由上面的（4）式可知，氧气分子从肺泡中心扩散到肺泡壁所需时间的数量级为
~2
tr〜10，s
2D
由于氧气通过毛细血管所需时间，较氧分子从肺泡中心扩散到肺泡壁所需的时间少得多，而总的扩散时间为上述两者时间之和，显然总的扩散时间远小于人工呼吸的周期，因而能保证一次呼吸所吸进的大部分氧气都能进入毛细血管，并继续扩散到红细胞中
与血红蛋白分子结合。
5扩散现象的应用
5.1扩散现象在半导体工艺中的应用
5.1.1扩散搀杂
在半导体材料搀杂n型或p型导电杂质来调变其阻值，但是这些电杂质却不会影响半导体材料的机械物理性质，这一特点是创造出p-n接合面、二极管、晶体管及集
成电路的基础⑹。
而利用扩散来达成导电杂质搀染是其制作过程的初期重要步骤。
我们知道，质量传输（masstransfer）、热传递（heattransfer）、与动量传输（momentumtransfer）都是自然界中已知的输运现象。
本文所讲的杂质扩散就能属于质量传输的一种，它需要在8500C以上的高温环境下，效应才能足够明显。
由于杂质扩散属于扩散现象，杂质浓度C（concentration；每单位体积具有多少数目的导电杂质或载子）服从
扩散方程：
丽=2Dt。
此方程与扩散时间t及扩散深度x有关，即在某一时刻，杂质浓度会从物体的表面位置，往深度方向逐渐作递减变化，而形成一个随深度x变化
的浓度曲线；而另一方面，这条浓度曲线却又随着扩散时间的增加而改变其样式，当
时间趋于无穷大时，平坦一致的扩散浓度将会分布前进。
而既然是扩散微分方程式，不同的边界条件（boundaryconditions）施予，会产生不同情况下的浓度分布外形。
固定表面浓度（constantsurfaceconcentration）与固定表面搀杂量（constantsurfacedosage）是两种常被讨论的具有解析精确解的扩散边界条件［9］。
5.1.2前扩散
第一种确定浓度边界条件的浓度解析解是所谓的互补误差函数（complementary
errorfunction），它对应的扩散步骤我们称为前扩散，也就是我们了解的一般的扩散制程。
当高温炉管的温度升至工作温度后，把待扩散晶圆放入炉中，然后开始释放扩散源（一般来说p型扩散源通常是固体呈晶圆状的氮化硼芯片，n型则为液态PoCl3加热后形成的蒸气）进行扩散制程。
其浓度横剖面的特征是杂质集中在表面，表面浓度最高，并随深度的递进迅速减低，也就是说说表面浓度梯度（gradient）值最高[10]。
5.1.3后驱入
第二种定搀杂量的边界条件，具有高斯分布（Gaussiandistribution）的浓度解析
解。
对应的扩散处理过程叫做后驱入，即一般的从高温逐渐退火的程序；这个过程基本上只维持炉管的驱入工作温度，扩散源却不再释放。
那么定搀杂量的起始边界条件即是前扩散制程的结果；由于先前前扩散制作出之的杂质浓度集中于表面，可近似看作是定搀杂量的边界条件。
而扩散分成此上述的两个步骤，是为了适应阻值变化的需求[11]。
先前前扩散的杂质入植剂量在很短时间内就可以达到饱和，即使拉长前扩散的
时间，也无法再大幅增加杂质植入剂量，因此，电性上的电阻率（resistivity）特性很快趋稳定；但是由于后驱入使表面浓度及梯度减低（因杂质由表面往深处扩散），因而又营造出再一次前扩散来增加杂质植入剂量的机会[12]。
所以，借着多次反复的前扩散
与后驱入，既能调变电性上的电阻率特性，又可改变杂质电阻的有效截面积。
5.1.4关于扩散制程的其它要点,简述如下：
扩散制程由于其性质有批次制作、成本低廉的优点，但在扩散区域的边缘，难免有侧向扩散的误差，故它一般被限制在次微米（sub-micron）制程上[13]。
扩散制程后后的阻值量测，通常以四探针法（four-pointprobemethod）进行，而目
前市面已有多种商用机台可供选购。
扩散制程所需的图形定义（pattern）以及遮掩（masking）,通常用氧化层（oxide）补充，以此来抵挡高温环境。
一微米厚的氧化层，就足够一般扩散制程的需求[14]。
5.2扩散现象在其他方面的应用除在半导体、冶金等行业的应用外，扩散现象在自然界中以及物理、化学、生物学科中也有着重要的作用。
它使整个地球表面附近的大气保持相同的成分；土壤里所含有的各种盐类溶液的扩散，便于植物吸收，以利生长。
下面来举例介绍一下，每一个生命系统都可分成许多组织，组织由细胞组成，细胞之间及细胞与外界之间都由细胞壁和细胞膜分割开，较高组织有循环、呼吸和消化等系统。
这些系统常常是通过扩散来交换物质的，如在肺泡中氧转移到毛细血管中，
毛细血管中C02进入肺泡，也是通过扩散来进行的。
下面介绍水如何从植物的叶向大气中散发的。
下图为树叶的局部横断面，由图1可见，在叶的中层有许多细胞，细胞间有许多相互联系的空气隙，空气隙通过位于叶背面的气孔与大气相通，细胞蒸发出的水汽通过气孔扩散到大气中。
图1树叶水分扩散图示
图中某气孔放大图形中的
0、T2分别为大气及叶内的水汽密度，L为气孔厚度,
箭号表示扩散方向。
设水汽扩散系数D=2.410』m2s'，气孔截面积
A=8.010J1m2，L=2.510^m，%=0.022kgm^，0.011kgm^，由菲克定
律知该气孔1h内向外扩散的水汽质量为
1Q
mDA（4-J）t=3.010kg
虽然m很小，但一片叶子气孔数可达10》，说明一片树叶1h内可散失3g水，一棵大树有很多树叶，其散失的水分相当可观。
由此可见，绿化不仅可为人类提供充足氧气，也可使空气湿润，并调节气温。
6结论
扩散是由于分子热运动而产生的质量迁移现象，主要是由于密密度差引起的，实
际的扩散现象都是较为复杂的。
扩散现象本身在自然界及人们的现实生活中都有重要的应用，而随着科学技术的快速发展，扩散现象也越来越广泛的被应用到工农业生产以及医学领域［15］。
扩散现象与人们的生活息息相关，加深对扩散现象的研究及对其的控制，利用其特有的性质和优点，会为其应用发展提供更广阔的发展空间。
参考文献：
[1]肖国屏．热学[M]．北京：
高等教育出版社，1989：
23-25.
[2]肖国屏．热学[M]．北京：
高等教育出版，1989：
89-101.
[3]罗蔚茵，许煜寰．热学基础[M]．广东：
中山大学出版社，1990：
45-49.
[4]吴瑞贤，杜定旭，杨友梅．热学教程[M]．四川：
四川大学出版社，1986：
24-26.
[5]秦允豪．热学[M]．江苏：
南京大学出版社，1990：
19-25.
[6]张敏，朱波，王启芬.单向碳纤维复合材料微观形貌与性能相关性研[J]•纤维复合材料，2007,
（2）：
24.
[7]ZhangXiong，Wenqing.EDExaminationofCoil一CarbonNanotubes[J].JournalofZhejiangAgriculturalUniversity，1998（4）：
82-87.
[8]M.J.Yacaman，M.M.Yoshida，L.Rendon.Catalyticgrowthofcarbonmicrotubuleswithfullerenestructure[J].Appl.Phys.Lett.，1993，（62）：
202-204.
[9]周曦亚，曾群.低温快烧制备CaO-AI2O3-SQ2系微晶玻璃的组成与微观结构[J].玻璃与搪瓷，
2004，32（6）：
7-10.
[10]吴剑锋.低温烧结BaO-AI2O3-SiO2系微晶玻璃的析晶特性及应用研究[D]•国防科学技术大
学硕士学位论文，2006．
[11]邱文革，黄少强，陈江涛.玻璃纤维及二氧化硅微粒表面的化学镀银工艺[J].材料保护，2005,
（8）．
[12]冯博，杨辉，吴春春，陆文伟.掺杂比与热处理温度对锑锡氧化物结构和导电性能的影响[J]•电
子元件与材料，2004，（3）．
[13]AIvarezI，GuiIIardt，OIaIedg，etaI．LargescaIesoIarproductionoffuIIerenesandcarbonnonatubes[J]．SynthMet，1999，103（13）：
2476-2477.
[14]M.J.Yacaman，M.M.Yoshida，L.Rendon．CataIyticgrowthofcarbonmicrotubuIeswithfuIIerene
structure[J]．AppI.Phys.Lett.，1993，（62）：
345-351.
[15]G.B，Adams，J.B.Page．Thetoxinsofcyanbacteria[J]．Science，1992，（256）：
1792.
升级会员 