数学思想与方法期末考试范围答案全.docx
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数学思想与方法期末考试范围答案全
一、填空题
欧阳光明（2021.03.07）
1、古代数学大体可分为两种不同的类型：
一种是崇尚逻辑推理，以《几何原本》为代表；一种是长于计算和实际应用，以《九章算术》为典范。
2、在数学中建立公理体系最早的是几何学，而这方面的代表著作是古希腊欧几里得的《几何原本》。
3、《几何原本》所开创的公理化方法不仅成为一种数学陈述模式，而且还被移植到其它学科，并且促进他们的发展。
4、推动数学发展的原因主要有两个：
实践的需要；理论的需要；数学思想方法的几次突破就是这两种需要的结果。
5、变量数学产生的数学基础是解析几何，标志是微积分。
6、数学基础知识和数学思想方法是数学教学的两条主线。
7、随机现象的特点是在一定条件下，可能发生某种情况，也可能不发生某种情况。
8、等腰三角形的抽象过程，就是把一个新的特征：
两边相等，加入到三角形概念中去，使三角形概念得到强化。
9、学生理解或掌握数学思想方法的过程有如下三个主要阶段潜化阶段、明朗阶段、深入理解阶段。
10、数学的统一性是客观世界统一性的反映，是数学中各个分支固有的内在联系的体现，它表现为数学的各个分支相互渗透和相互结合的趋势。
11、强抽象就是指，通过把一些新特征加入到某一概念中去而形成新概念的抽象过程。
12、菱形概念的抽象过程就是把一个新的特征：
一组邻边相等，加入到平行四边形概念中去，使平行四边形概念得到了强化。
13、演绎法与归纳法被认为是理性思维中两种最重要的推理方法。
14、所谓类比，是指由一类事物具有某种属性，推测与其类似的某种事物也具有该属性的推测方法；常称这种方法为类比法，也称类比推理。
15、反例反驳的理论依据是形式逻辑的矛盾律。
16、猜想具有两个显著特点：
具有一定的科学性、具有一定的推测性。
17、三段论是演绎推理的主要形式。
三段论由大前提、小前提、结论三部分组成。
18、化归方法是指，把待解决的问题，通过某种转化过程，归结到一类已经能解决或较易解决的问题中，最终获得原问题解答的一种方法。
19、在化归过程中应遵循的原则是简单化原则、熟悉化原则、和谐化原则。
20、在计算机时代，计算方法已成为与理论方法、实验方法并列的第三种科学方法。
21、算法具有下列特点：
有限性、确定性、有效性。
22、算法大致可以分为多项式算法和指数型算法两大类。
23、匀速直线运动的数学模型是一次函数。
24、所谓数学模型方法是利用数学模型解答问题的一般数学方法。
25、分类必须遵循的原则是不重复、无遗漏、标准统一、按层次逐步划分。
26、所谓数形结合方法，就是在研究数学问题时，由数思形、见形思数，数形结合考虑问题的一种思想方法。
27、所谓特殊化是指在研究问题时，从一个对象的给定集合出发，进而考虑某个包含于该集合的较小集合的思想方法。
28、面对一个问题，经过认真的观察和思考，通过归纳或类比提出猜想，然后从两个方面入手：
演绎证明此猜想为真；或者寻找反例说明此猜想为假，并且进一步修正或否定此猜想。
29、化归方法的三个要素是：
化归对象、化归目标、化归途径。
30、根据学生掌握数学思想方法的过程有潜意识、明朗化、深刻理解三个阶段，可相应地将小学数学思想方法教学设计成多次孕育、初步理解、简单应用三个阶段。
31、数学思想方法是联系数学知识与数学能力的纽带，是数学科学的灵魂，它对发展学生的数学能力，提高学生的思维品质都具有十分重要的作用。
33、算法的有效性是指如果使用该算法从它的初始数据出发，能够得到这一问题的正确解。
34、数学的研究对象大致可以分成两大类：
数量关系、空间形式。
35、在实施数学思想方法教学时，应该注意三条原则化隐为显原则、循序渐进原则、学生参与原则。
36、初等代数的特点是用字母符号来表示各种数，并且最初研究的对象主要是代数式的运算和方程的求解。
37、一个概括过程包括比较、区分、扩张和分析等几个主要环节。
38、深层类比又称实质性类比，它是通过对被比较的对象的处理相互依存的各种相似属性之间的多种因果关系的分析而得到的类比。
39、19世纪在公理法方面取得了突破性进展，在这个基础上，抽象的公理法进一步向形式化方向发展。
40、一个科学的分类标准必须能够将需要分类的数学对象进行不重复、无遗漏的划分。
41、传统数学教学只注重形式化数学知识的传授，而忽视对知识发生过程中的挖掘。
42、分类方法的原则是不重复、无遗漏、标准统一、按层次逐步划分。
43、数学模型按照对模型结构和参数的了解程度可以分为三类：
白箱模型、灰箱模型、黑箱模型。
45、数学模型具有抽象性、准确性和演绎性、预测性的特性。
46、公理方法就是从初始概念和公理出发，按照一定的规定定义出其它所有的概念，推导出其他一切命题的一种演绎方法。
47、概括通常包括两种：
经验概括和理论概括。
而经验概括是从事实出发，以对个别事物所作的观察陈述为基础，上升为普遍的认识——有对于个体特性的认识上升为对个体所属的种的特性的认识。
48、化归方法是将未知问题转化为已知问题。
49、公理方法是从尽可能少的初始概念和公理出发，应用严格的逻辑推理，使一门数学构建成为演绎系统的一种方法。
50、数学的第一次危机是有益于出现了无理数或不可通约性的发现而造成的。
52、所谓社会科学数学化就是指数学向社会学科的渗透，运用数学方法来揭示社会现象的一般规律。
54、分类方法具有三个要素：
母项，即被划分对象、子项，即划分后所得的类概念、根据，即划分的标准。
55、在古代的游戏与赌博活动中就有概率思想的雏形，但是作为一门科学则产生于17世纪中期前后，它的起源于一个所谓的点数问题有关。
56、在数学中建立公理体系最早的是几何学，而这方面的代表著作是古希腊学者欧几里德的《几何原本》。
57、《九章算术》是世界上最早系统地叙述分数运算的著作，它关于负数的论述也是世界上最早的。
58、数学知识与数学思想是数学教学的两条主线，数学基础知识是一条明线，他被写在教材中，数学思想方法则是一条暗线，需要教师挖掘、提炼并贯穿在教学过程中。
59、反驳反例是用特殊的否定一般的一种思维方式。
60、类比联想是人们运用类比法获得猜想的一种思想方法，他的主要步骤是联想、类比、猜测。
61、归纳猜想是运用归纳法得到的猜想，它的思维步骤是特例、归纳、猜测。
62、所谓统一性，就是部分与部分、部分与整体协调一致。
63、中国《九章算术》以算为主的算法体系与古希腊《几何原本》逻辑演绎的体系在数学历史发展过程中争奇斗妍、交相辉映。
二、判断题（只要答“是”或“否”）
是1、计算机是数学的创造物，又是数学的创造者。
否2、抽象得到的新概念与表述原来的对象的概念之间一定有种属关系。
否3、一个数学理论体系内的每一个命题都必须给出证明。
否4、《九章算术》不包括代数、几何内容。
是5、既没有脱离数学知识的数学思想方法，也没有不包括数学思想方法的数学知识。
否6、数学模型方法在生物学、经济学、军事学等领域没应用。
是7、在解决数学问题时，往往需要综合运用多种数学思想方法才能取得效果。
否8、如果某一类问题存在算法，并且构造出这个算法，就一定能求出该问题的精确解。
是9、对同一数学对象，若选取不同的标准，可以得到不同的分类。
否10、数学思想方法教学隶属数学教学范畴，只要贯彻通常的数学教学原则就可实现数学思想方法教学目标。
否11、由类比法推得的结论必然正确。
是12、有时特殊情况能与一般情况等价。
是13、完全归纳法实质上属于演绎推理的范畴。
否14、古希腊的柏拉图曾在他的学校门口张榜声明：
不懂几何的人不得入内。
这是因为他的学校里所学习的课程要用到很多几何知识。
否15、完全归纳法的一般推理形式是：
设S＝
具有性质P，因此推断集合S中的每一个对象都具有性质P。
否16、提出一个问题的猜想是解决这个问题的终结。
是17、贯穿在整个数学发展历史过程中有两个思想，一是公理化思想，一是机械化思想。
否18、算术反映的是物体集合之间的函数关系。
是19、《九章算术》是世界上最早系统地叙述分数运算的著作，他关于负数的论述也是世界上最早的。
否20、抽象和概括是两种完全不同的方法。
是21、分类可使知识条理化、系统化。
否22、在建立数学模型的过程中，不必经过数学抽象这一环节。
是23、演绎的根本特点就是当他的前提为真时，结论必为真。
是24、抽象得到的新概念与表述原来的对象概念之间不一定有种属关系。
否25、数学模型方法是近代才产生的。
否26、在小学数学教学中，本教材所涉及到的数学思想方法并不多见。
是27、所谓特殊化是指在研究问题时，从对象的一个给定集合出发，近而考虑某个包含与盖集合的较小集合的思想。
是28、数学基础知识和数学思想方法是数学教学的两条主线。
是29、新颁布的《数学课程标准》中的特点之一“再创造”体现了我国数学课程改革与发展的新理念。
是30、法国的布尔巴基学派利用数学结构实现了数学的统一。
否31、数学公理化方法在其他学科也能起到作用，所以它是万能的。
否32、算法具有无限性、不确定性与有效性。
是33、最早使用数学模型方法的当数中国古人。
是34、理论方法、实验方法和计算方法并列为三种科学方法。
否35、表层类比和深层类比其涵义是一样的。
是36、猜想具有两个显著的特点：
一定的科学性和一定的推测性。
是37、数学史上著名的“哥尼斯堡七桥问题”最后由欧拉用一笔画方
解决了其无解。
否38、数学模型具有预测性、准确性和演绎性，但不包括抽象性。
三、简答题
1、为什么说《几何原本》是一个封闭的演绎体系？
答：
①因为在《几何原本》中，除了推导时所需要的逻辑规则外，每个订立的证明所采用的论据均是公设、公理或前面已经证明过的定理，并且引入的概念也基本上是符合逻辑上对概念下定义的要求，原则上不再依赖其他东西。
因此《几何原本》是一个封闭的演绎体系。
②另外《几何原本》的理论体系会比任何与社会生产生活有关的应用问题，因此对于社会生活的各个领域来说，它也是封闭的。
③所以，《几何原本》是一个封闭的演绎体系。
2、试对《九章算术》思想方法的一个特点“算法化的内容”加以说明。
答：
①《九章算术》在每一章内都先列举若干实际问题，并对每个问题给出答案，然后再给出“术”，作为一类问题的共同解法。
②以后遇到同类问题，只要按“术”给出的程序去做就一定能求出问题的答案。
③历代数学家受到追求实用、讲究算法的传统思想的影响，使他们对《九章算术》的注、校，主要集中在对“术”进行研究，即不断改进算法。
因此，我们说，内容的算法化是《九章算术》思想方法上的特点之一。
3、简述确定性现象、随机现象的特点以及确定性数学的局限性。
①确定性现象的特点是：
在一定的条件下，其结果完全被决定，或者完全肯定，或者完全否定，不存在其他可能。
即这种现象在一定的条件下必然会发生某种结果，或者必然不会发生某种结果。
②随机现象的特点是：
在一定的条件下，可能发生某种结果，也可能不发生某种结果。
③对于随即现象，由于条件和结果之间不存在必然性联系，因此不能用确定数学来加以定量描述；此外，由于随机现象并不是杂乱无章的现象，就个体而言，似乎没有什么规律存在，但当同类现象大量出现时，从总体上却呈现出一种规律性，而确定数学无法定量地揭示这种规律性。
4、简述计算机在数学方面的三种新用途。
在数学方面，计算机至少有三种新的用途，第一，用来证明一些数学命题，而通常证明这类命题，需要进行异常巨大的计算与演绎工作；第二，用来预测某些数学问题的可能结果；第三，用来作为一种验证某些数学问题结果的正确性的方法。
5、简述数学抽象的特征。
答：
数学抽象有以下特征：
①无物质性；②层次性；③数学抽象过程要凭借分析或直觉；④数学抽象不仅有概念抽象还有方法抽象。
6、简述化归方法在数学教学中的应用。
答：
①利用划归方法学习新知识；②利用划归方法指导解题；③利用划归
原理清理知识结构。
7、简述用MM方法解决实际问题的基本步骤，并用框图加以表示。
答：
用MM方法解决实际问题的基本步骤为：
①从现实原型抽象概括出数学模型；
②在数学模型上进行逻辑推理、论证或演算，求得数学问题的解；
③从数学模型再过渡到现实原型，即将研究数学模型所得到的结论，返回到现实原型上去，求得实际问题的解答。
8、试用框图表示用特殊化方法解决问题的一般过程。
答：
特殊化解决问题的过程可用框图表示为：
这个框图告诉我们：
①若我们面对的问题A解决起来比较困难，可以先将A转化为特殊的A’，因为A’与A相比较，外延变小，因此，内涵势必增多，所以由A’所导出的结论B’，它包含的内涵一般也会比较多。
②把信息B’反馈到问题A中，就会为问题解决提供一些新的信息，再去推导结论B就会比较容易一些。
③若解决问题A仍有困难，则可对A再次进行特殊化，进一步增加信息量，如此反复多次，最终推得结论B，使问题A得以解决。
9、简述化归方法的和谐化原则。
和谐化是数学内在美的主要内容之一。
①美与真在数学命题和数学解题中一般是统一的。
因此，②我们在解题过程中，可根据数学问题的条件或结论以及数、式、形等的结构特征，利用和谐美去思考问题，获得解题信息，③从而确立解题的总体思路，达到以美启真的作用。
10、什么是算法的有限性特点？
试举一个不符合算法有限性特点的例子。
一个算法必须在有限步内终止。
例如，十进制小数的除法的算法。
若取数4.5和3作为初始数据,计算过程为得到的结果为1.5.但是对初始数据20和3,计算过程为无论怎样延续这个过程都不能结束,同时也不会中断.如果在某一处中断过程,我们只能得到一个近似的、步准确的结果。
而且如果在某一处中断计算过程已经不是执行原来的算法。
可见，十进制小数除法对于20和3这组数不符合算法的“有限性”特点。
11、简述培养数学猜想能力的途径。
答：
猜想能力培养可以通过数学教学，如①新知识的学习，②数学规律的寻求，③解题思路的探索等途径来实现。
12、简述特殊化方法在数学教学中的应用。
答：
①利用特殊值（图形）解选择题；②利用特殊化探求问题结论；③利用特例检验一般结果；④利用特殊化探索解题思路。
13、什么是类比猜想？
并举一个例子说明。
答：
①人们运用类比法，根据一类事物所具有的某种属性，得出与其类似
的事物也具有这种属性的一种推测性的判断，即猜想，这种思想方法称为类比猜想。
②例如，分式与分数非常相似，只不过是用字母替代数而已。
因此，我们
可以猜想，分式与分数在定义、基本性质、约分、通分、四则运算等方面是对应相似的。
14、什么是归纳猜想？
并举一个例子说明。
答：
①人们运用归纳法，得出对一类现象的某种一般性认识的一种推测性的判断，即猜想，这种思想方法称为归纳猜想。
②例如，人们在度量了很多园的周长和半径以后，发现它们的比值总是近似地等于3.14，于是提出了圆周率是3.14的猜想。
后来，数学家从理论上证明了圆周率的数值是
，果然和3.14很接近。
15、简述将“化隐为显”列为数学思想方法教学的一条原则的理由。
答：
由于数学思想方法往往隐含在数学知识的背后，知识教学虽然蕴含着思想方法，但如果不是有意识地把数学思想方法作为教学对象，在数学学习时，学生常常只注意到处于表层的数学知识，而注意不到处于深层的思想方法。
因此，进行数学思想方法教学时必须以数学知识为载体，把隐藏在知识背后的思想方法显示出来，使之明朗化，才能通过知识教学过程达到思想方法教学的目的。
16、数学思想方法教学为什么要遵循循序渐进原则？
试举例说明。
答：
①数学思想方法的形成难于知识的理解和一般技能的掌握，它需要学生深入理解事物之间的本质联系。
②薛申对每种数学思想方法的认识都是在反复理解和运用中形成的，是从个别到一般，从具体到抽象，从感性到理性，从低级到高级的沿着螺旋式方向上升的。
③例如，学生理解属性结合方法可从小学的画示意图找数量关系着手孕育；在学习数轴时，要求学生会借助数轴来表示相反数、绝对值、比较有利书的大小等。
17、微积分产生主要可以归结为哪四类问题？
答：
主要有如下四类问题：
1第一类是：
以植物体位移的距离为时间的函数，求物体瞬时速度和
加速度；反过来，已知物体的加速度为时间的函数，求速度和距离。
②第二类是：
求曲线切线的斜率和方程。
③第三类是：
求函数的最大值与最小值。
第四类是：
求曲线的长度,曲边梯形的面积,曲面围成图形的重心。
这四类问题的核心是求一个常量无法确定的量——变量——问题
18、变量数学产生的意义是什么？
答：
①变量数学的产生，为自然科学更精确地描述物质世界提供了有效工具；②变量数学的产生，促进数学自身的发展和严密；③变量数学的产生，使辩证法进入数学。
19、简述概括与抽象的关系。
答：
①概括方法与抽象方法是不同的，但是它们又有十分密切的联系。
抽象是舍弃事物的一些属性而收括固定出其固有的另一些属性的思维过程，抽象得到的新概念与表述原来的对象的概念之间不一定由种属关系。
②概括是在思维中由认识个别事物的本事属性，发展到认识具有这种本质属性的一切事物，从而形成关于这类事物的普遍概念。
由概括得出的新概念是表述概括对象概念的一个属概念。
③概括和抽象虽有差别，但又是互相联系、密不可分的。
抽象是概括的基础，没有抽象就不能认识任何事物的本质属性，就无法概括。
概括也是抽象思维过程中所必须的一个环节，前述“收括”操作实际上也是一个概括过程，有人就吧“收括”称之为概括，由于对共同点的概括才能得出对象的本质属性，从而完成抽象过程。
20、在实施数学思想方法教学时应注意哪些问题。
答：
把数学思想方法的教学纳入教学目标；
重视数学知识发生、发展的过程，认真设计数学思想方法教学的目标；
做好数学思想方法教学的铺垫工作和巩固工作；
不同数学思想方法应有不同的教学要求；
注意不同数学思想方法的综合应用。
21、我国数学教育存在哪些问题？
答：
①数学教学重结果轻过程；重解题训练，轻智利、情感开发；不重视创新能力培养，虽然学生考试分数高，但是学习能力低下；②重模仿轻探索，学习缺少主动性，缺乏判断力和独立思考能力；③学生学业负担过重。
原因是课堂教学效率不高，教学围绕升学考试指挥棒转，不断重复训练各种题型和模拟考试，不少教师心存以量求质的想法，造成学生学业负担过重。
22、《几何原本》贯穿哪两条逻辑要求？
答：
《几何原本》贯彻了两条逻辑要求。
①第一，公理必须是明显的，
因而是无需加以证明的，其是否真实应受推出的结果的检验，但它仍是不加证明而采用的命题；初始概念必须是直接可以理解的，因而无需加以定义。
②第二，由公理证明定理时，必须遵循逻辑规律和逻辑规则；同样，通过初始概念以直接或间接方式对派生概念下定义时，必须遵守下定义的逻辑规则。
23、简述公理化方法发展。
答：
公理化方法是一个由个别上升到特殊再上升到一般的过程，最后形成了数学中普遍适用的科学方法。
它的发展关系可以用下列图示表明：
①个别—特殊—一般；②欧氏空间—各种几何—一般意义空间；
③具体公理方法—抽象公理方法—形式化公理方法。
24、常量数学应用的局限性是什么？
答：
①在建立了太阳中心理论后，17世纪的人们面临了如何改进计算行星位置，以及如何解释地球上静止的物体保持不动、下降的物体还落在地球上等之类的问题。
②这类问题的核心是物体的运动。
面对这类带有运动特征的问题，人们已有的数学知识：
算术、初等代数、初等几何和三角等构成的初等数学，显得无效。
③由于初等数学都是以不变的数量（即常量）和固定的图形为其研究对象（因此这部分内容也称为常量数学）。
运用这些知识可以有效地描述和解释相对稳定的事物和现象。
可是，对于这些运动变化的事物和现象，它们显然无能为力。
25、简述计算的意义
答：
①推动了数学的应用；②加快了科学的数学化；③促进了数学的发展。
26、简述数学思想方法教学的几个主要阶段。
答：
①潜意识阶段--在这个阶段学生只注意数学知识的学习，注意知识积累，而未曾注意到对这些知识起到横向联系和固定作用的思想方法，或者只是处于一种“朦朦胧胧”、“若有所悟”的状况；②明朗化阶段--随着运用同一种数学思想方法解决不同的数学问题的实践机会的增多，隐藏在数学知识后面的思想方法就会逐渐引起学生的注意和思考，直至产生某种程度的领悟。
当经验和领悟积累到一定程度时，这种事实上已经被应用多次的思想方法就会凸现出来，学生开始理解解题过程中所使用的方法与策略，并且概括总结出这一思想方法；③深刻理解阶段--在这个阶段，学生基本上能正确运用某种数学思想方法进行探索和思考，以求得问题的解决。
同时，在解决问题的实践过程中，学生又将加深了对数学思想方法的理解，并养成了有意识地、自觉地运用数学思想方法解决问题的思维习惯。
27、为什么说数学模型方法是一种迂回式化归？
答：
①运用数学模型方法解决问题时，不是直接求出实际问题的解，因为这样做往往是行不通的或者花费过分昂贵。
②而是先将实际问题化归为一个合适的数学模型，然后通过求数学模型的解间接求出原实际问题的解，走的是一条迂回的道路。
③因此，我们说数学模型方法是一种迂回式化归。
28、模型化的方法、开放性的归纳体系及算法化的内容之间的关系
答：
模型化的方法与开放性的归纳体系及算法化的内容之间是互相适应并且互相促进的。
虽然，各个数学模型之间也有一定的联系，但是它们更具有相对独立性。
一个数学模型的建立与其它数学模型之间并不存在逻辑依赖关系。
正因为如此，所以可以根据需要随时从社会实践中提炼出新的数学模型。
另一方面，由于运用模型化的方法研究数学，新的数学模型从何产生？
只有寻找现实原型、立足于现实问题的研究，这就不可能产生封闭式的演绎体系。
解决实际问题还提出了这样的要求：
对由模型化方法求得的结果必须能够检验其正确性和合理性，为了能够求得实际可用的结果，于是算法化的内容也就应运而生。
29、简述表层类比，并用举例说明。
答：
①表层类比是根据两个被比较对象的表面形式或结构上的相似
所进行的类比。
这种类比可靠性较差，结论具有很大的或然性。
在数列极限存在的条件下是正确的。
③又如，由三角形内角平分线性质，类比得到三角形外角平分线性质，就是一种结构上的类比。
30、简单说明社会科学数学化的主要原因？
答：
第一，社会管理需要精确化的定量依据；第二，社会科学理论体系的发展需要精确化；第三，出现了一些适合研究社会历史现象的新的数学分支；第四，电子计算机的发展与应用。
31、何谓化归方法？
它遵循哪三个原则？
答：
所谓化归方法，就是将一个问题进行变形，使其归结为另一已能解决的问题，既然已可解决，那么也就解决了。
化归方法遵循三个原则：
简单化原则、熟悉化原则、和谐化原则。
33、什么是公理方法和公理体系？
答：
简要地说就是从初始概念和公理出发，按照一定的规律定义出其他所有的概念，推导出其他一切命题的一种演绎方法。
公里体系由初始命题、公理、逻辑规则、定理等构成。
34、第一次数学危机最终如何解决了？
答：
第一次数学危机并没有轻易地很快解决。
最后约在公元前370年，才由柏拉图的学生欧多克斯解决了。
他创立了新的比例理论，微妙地处理了可公度和不可公度。
他处理不可公度的方法，被欧几里得《几何原本》第二卷（比例论）收录。
这个问题到19世纪戴德金及康托尔等人建立了现代实数理论才算彻底解决。
35、为什么数形结合方法在数学中有着非常广泛的应用？
答：
①数学研究的是现实世界的数量关系和空间形式，而现实世界本身是同时兼备数与形两种属性的，既不存在有数无形的客观对象，也不存在有形无数的客观对象。
②因此，在数学发展的进程中，数和形常常结合在一起，在内容上互相联系，在方法上互相渗透，在一定条件下互相转化。
③充分运用数形结合方法解决数学问题，对于沟通代数、三角、几何各分支之间的联系，提高分析问题、解决
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