第十九讲一阶微分方程可降阶微分方程的练习题答案.docx

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第十九讲一阶微分方程可降阶微分方程的练习题答案

第十九讲:

一阶微分方程、可降阶微分方程的练习题答案

一、单项选择题（每小题4分，共24分）

1．微分方程是（B）

A．一阶线性方程B．一阶齐次方程

C．可分离变量方程D．二阶微分方程

解:

变形

原方程是一阶齐次方程,选B

2．下列微分方程中，是可分离变量的方程是（C）

A．B．

C．

D．

解:

是可分离变量方程,选C

3．的通解是（B）

A．

B．

C．

D．

解：

选B

4．满足的特解是（A）

A．B．

C．D．

解：

由得,

故选A

5．满足的特解

是（B）

A．

B．

C．

D．

解：

由,知

故特解为选B

6．可降阶微分方程的通解是（D）

A．B．

C．D．

解：

（1）方程不显含:

令,

.

选D

二、填空题

7．的通解是

解：

令.

，

8．满足的特解

是

解：

（1）

（2）由

特解

9．满足的特解是

解：

（1）

（2）

特解

10．求的通解为

解：

通解

11．的通解

解：

（可用可分离变量做）

12．的通解

解：

三、计算题

13．求曲线所满足的微分方程.

解：

通过求导,设法消去任意常数,

这是所求的微分方程

14．求的通解.

解：

（1）判别方程的类型:

可分离变量方程

（2）

.即:

15．求满足

的特解.

解：

（1）

可分离变量方程

（2）

（3）,又

.特解

16．求的通解.

解：

（1）.一阶齐次方程

（2）令

或为通解.

17．求

满足的特解.

解：

（1）变形:

.一阶线性方程

（2）

（3）,

特解:

18．求的通解.

解：

（1）变形:

.一阶线性方程.

（2）

故为所求的通解.

19．求的通解.

解

（1）降阶法:

方程不显含.

令

（2）.一阶可分离变量方程

∫

（3）

20．求满足

的特解.

解：

（1）降阶法,方程不显含.

令

（2）当时,初始条件

舍去

当时,

特解

四、证明题

21．设曲线上任一点处切线与直线垂直,且曲线过点,证明曲线是以原点为圆心,半径为2的圆.

证：

（1）列出微分方程,设曲线,画出示意图.

∵直线OM:

的斜率为,曲线切线斜率为.

∴依题意:

（2）解微分方程:

由

故有曲线:

证毕

五、综合题

22．有连接,两点的一条凸曲线,它位于AB弦的上方,为该曲线上的任一点,已知该曲线弧与AP之间的面积（如图阴影部分）为,求该曲线方程.

解：

（1）列出方程,设阴影部分面积为S

S=曲边梯形OADPC面积－梯形OAPC面积

一阶线性方程

（2）

通解

（3）

故所求的曲线方程为

23．设可导,且满足

求.

解：

（1）把积分方程化为微分方程.

=1

且

（2）解微分方程

（3）由得

故有特解

24．设,且

求的具体表达式

解

（1）把偏微分方程化为常微分方程

由轮换对称性知:

即有

这是可降阶的二阶微分方程.

（2）令,