河北省普通高中学业水平合格性考试数学试题解析版.docx

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河北省普通高中学业水平合格性考试数学试题解析版

2020年9月河北省普通高中学业水平合格性考试数学试题

一、单选题

1.已知集合"={0,1,2},AT={1,2},则集=（）.

A.{1,2}B.{0}C.{0,1,2}D.{0,1}

【答案】C

【分析】由并集定义直接得到结果.

【详解】由并集定义可得：

MUN={0」,2}.

故选：

.直线2x+y—1=0的斜率是（）.

【答案】A

【分析】将直线化成斜截式即可求解.

【详解】解：

•••2x+y—1=0,

即y=-2x+l,

故直线的斜率为-2.

故选：

3.在等差数列{〃“}中，“2=1,%=0,则《0=（）.

A.-7B.-8C.9D.10

【答案】A

【分析】利用生，为求得公差d,由等差数列通项公式可求得结果.

【详解】设等差数列{q}的公差为d,则d=%-%=0—1=—1，

二a1。

=/+8d=1-8=-7.

故选：

4.若角。

的顶点为坐标原点，始边为.轴正半轴，且终边经过点尸（-12.5）,贝？

|sma=

（）.

125125

A.—B.—C.——De——

13131313

【答案】B

【分析】根据任意角的三角函数的定义，由题中条件，可直接得出结果.

【详解】因为角。

终边经过点尸（—12,5）,

臼；pisina——]=—

所以后干第13,

故选：

）.

.已知向量况=（L2）,丽二（3,4）,则荏=（

A.（-2,-2）B.（2,2）C.（-4,-6）D.（4,6）

【答案】B

【分析】根据向量线性运算的坐标表示，由题中条件，可直接得出结果.

【详解】因为向量砺=（1,2）,砺=（3,4）,

则荏=而—况=（2,2）.

故选：

6.函数/（x）=sin（7LY+2）的最小正周期是（）.

A.2兀B.兀C.2D.1

【答案】C

【分析】利用最小正周期的公式直接计算即可.

【详解】函数"X）=sin（⑪+2）的最小正周期是丁=2=2.

故选：

7.在等比数列｛q｝中，q=-8,%=1,则该数列的公比1=（）.

A.2B.—2C.-D.——

【答案】D

【分析】根据题中条件，由等比数列的通项公式，即可求出结果.

【详解】因为在等比数列｛q｝中，[=-8,%=1,

故选：

8.若两个单位向量晨B互相垂直，则。

+〃=（）.

A.-1B.72C.2D.6

【答案】B

【分析】先依题意确定M=M=lgB=o,再利用1+4=,（£+”展开计算即可.

【详解】两个单位向量31互相垂直，故口卜M=1m4=o,则

a+b=J（++@=yja~+b^+2a-b=Jl+1+0=>/2•故选：

9.下列函数中，在（O,+e）上是增函数的是（）.

A.y=e~xB.y=x5C.y=ln-D.y=smx

【答案】B

【分析】利用基本初等函数的单调性逐项判断各选项中的函数在区间（0,+。

）上的单调性，由此可得出合适的选项.

【详解】对于A选项，函数在（0,+。

）上是减函数；对于B选项，函数了=炉在（0、+巧上是增函数：

对于C选项，函数y=hJ=-Inx在（0,+8）上是减函数;X

对于D选项，函数y=sinx在（0,+8）上不单调.

故选：

10.如图，在正方体A5cO—A瓦GR中，E是CQ的中点，则异面直线AE是AR

所成角的余弦值等于（）.

【答案】c

【分析】以。

点为坐标原点，建立空间直角坐标系，分别求出两异面直线的方向向量,

利用向量夹角公式，即可求出结果.

【详解】以。

点为坐标原点，分别以D4,DC,所在直线为1轴，）'轴，Z轴,

设正方体ABCD-的极长为2,

由题意，可得4（2,0,0）,%（2,0,2）,七（0,2,1）,"（0,0,2）,

所以港二（-2,2,—1）,丽=（-2,0,2）,

因此cos=

“•丽_4-2

ADk04+4+Ix"+46

所以异面直线是AD,所成角的余弦值等于叵.6

故选：

【点睛】方法点睛：

求空间角的常用方法：

（1）定义法，由异面直线所成角、线面角、二面角的定义，结合图形，作出所求空间角，再结合题中条件，解对应三角形，即可求出结果；

（2）向量法：

建立适当的空间直角坐标系，通过计算向量夹角（直线方向向量与直线方向向量、直线方向向量与平面法向量，平面法向量与平面法向量）余弦值，即可求出结果.

11.已知4=logo5=，b=log、逐,C=lg2,则（）.

A.a

【答案】D

【分析】将。

力,c与特殊值进行比较，即可求出的大小.

【详解】解：

4=logo,53=l°g！

3=log-3>匕8？

2=1,

=log2>/2=ilog,2=1,

c=lg2

即a>/?

>c.

故选：

12.经过坐标原点，且圆心坐标为（T，l）的圆的一般方程是（）.

A.x2+y2-2x-2y=0B.x2+y2-2x+2y=0

C.x2+y2+2x-2y=0D.x2+y2+2x+2y=0

【答案】c

【分析】根据题意，求出圆的半径，即可得圆的标准方程，变形可得其一般方程.

【详解】根据题意，圆的圆心为（-1,1）,且过原点，

且其半径）•=J（_1）2+F=JJ,

则其标准方程为（X+1）2+（y-1）2=2,

变形可得其一般方程是%2++2x-2y=0,

故选：

13.已知函数/X=<.，则//-=（）.

x-l,x>0[\?

>））

A.—B.--C.—D.--

2222

【答案】D

2（2A

【分析】根据函数的解析式求得/-再求——z即为所求.W5\5）

1\1

【详解】解：

/w=--i=）3

故选：

【分析】利用/

（2）和x>2时/（x）的符号，可排除错误选项得到结果.

【详解】•."

（2）=1111=0,••.排除BD；

当x>2时，0<—!

—<1,.•./（x）=ln—!

—<0,排除C.x-1x-l

故选：

15.某班从包括2名男生和2名女生的4名候选人中随机选2人加入校学生会,女生均被选中的概率是（）.

【分析】列举出所有可能的情况，根据古典概型概率公式计算可得结果.

【详解】记2名男生为A8,2名女生为X，〉'，

挑选2人加入校学生会有（46）,（Ax）,（Ay）,（5,x）,（仇y）,（x,y），情况；

其中2名女生均被选中的情况仅有（x,y），

•••2名女生均被选中的概率〃=」.6

故选：

16.若实数X,y满足丁+4/=1，则肛的最大值是（

【答案】B

【分析】根据题中条件，利用基本不等式，可直接求出结果.

【详解】因为实数X,）‘满足/+4）；=1,为使冲取得最大值，必有X,y同号,

因为丁+4丁=122尸才=44，，当且仅当x=2y,即＜）?

号成立，

所以外工；,因此的最大值为1.

故选：

【点睛】易错点睛：

利用基本不等式求最值时，要注意其必须满足的三个条件：

（1）“一正二定三相等皿一正”就是各项必须为正数；

（2）“二定”就是要求和的最小值，必须把构成和的二项之积转化成定值；要求积的最大值，则必须把构成积的因式的和转化成定值；

（3）“三相等”是利用基本不等式求最值时，必须验证等号成立的条件，若不能取等号则这个定值就不是所求的最值，这也是最容易发生错误的地方.

.假期中某校50名骨干教师参加社区志愿者活动的次数如图所示，则这50名骨干教师参加社区志愿者活动的人均次数是（）.

参加人数

A.1.8B.2C.3」D.3

【答案】C

【分析】根据题中条件，确定这50名骨干教师参加社区志愿者活动的总次数，进而可求出平均值.

【详解】由题意可得，这50名骨干教师参加社区志愿者活动的总次数为

10x2+25x3+15x4=155，

■LL

因此这50名骨干教师参加社区志愿者活动的人均次数是二=3.1.

故选：

18.已知直线〃，，〃和平面。

，则下列命题中正确的是（）.

A.如果机_La,〃_La,那么加

B.如果mnila,那么〃“/〃

C.如果小〃a,nila»那么〃7//〃

D.如果机_La,nila,那么〃?

_L〃

【答案】D

【分析】根据空间中线线、线面位置关系，逐项判定，即可得出结果.

【详解】若〃7_La,〃_La,根据线面垂直的性质：

垂直于同一个平面的两条直线相互平行，可得A错；

若mJLa,nila,则存在n

J_n,所以mJ_〃，故B错;

D正确：

若m//a,Mia,则“与〃可能平行、相交或异面，故C错；故选：

19.如图所示，N分别是6c的边A5,AC上的点，且赤=2耐，

1—?

—

c.-AC--AB

NC=2AN.则向量=（）.

1—，?

—

B.-AB+-AC

1—?

—

D.-AC+-AB

【答案】C

【分析】根据平面向量基本定理，由平面向量的线性运算，利用题中条件直接计算，即可得出结果.

【详解】因为函7=2砺,NC=2AN

所以砺=丽—国7=」薪—2而.

故选：

•tail2450-tail215°

A.®B.立

【答案】D

【分析】化简、拼凑，利用二倍角公式的逆应用计算即可.

［详解］一、tanl_=£x^tanl^=£tan3（）o=2/3tan2450-tairl5°21-tan215026

故选：

21.如果某正方体的八个顶点都在同一个半径为1的球面上，那么该正方体的体积是（）.

8&.~9~

【答案】B

【分析】根据正方体外接球的直径等于体对角线的长，由题中条件，求出正方体的棱长,进而可求出正方体的体积.

因为正方体的八个顶点都在同一个半径为1的球面上,所以该球是正方体的外接球，记该正方体为A5C。

-a4c；r,其外接球为球。

又因为正方体外接球的直径等于体对角线的长，

设该正方体A5CQ—AdGR的棱长为。

，则体对角线的长为

BQ=yjer+a2+cr=2x1，

解得〃=毡，所以该正方体的体枳为v=/=｝叵.39

故选:

22.△A6C的内角A,B,C的对边分别为。

，b,若。

4=60。

，则。

=（）.

A.2smeB.2sin8C.73sinCD.小smB

【答案】A

【分析】根据正弦定理，由题中条件，可直接得出结果.

【详解】因为在△A6C中，a=5A=60°,

由正弦定理可得：

一二=一J，即&—二」一，

sinAsmCSin60°sinC

所以c=2sinC.

故选：

23.若圆锥的底面半径和高都等于球的半径，则圆锥的体积与球的体积之比是（）.

【答案】D

【分析】设球的半径为r，根据题中条件，由圆锥和球的体枳公式，分别求出体积，即可得出结果.

【详解】设球的半径为广，则该球的体积为匕=§笈

又圆锥的底面半径和高都等于球的半径，

所以该圆锥的体积为K=（兀/"=1万〃，

■33

匕

因此圆锥的体积与球的体积之比是y=

故选：

【分析】先化简函数，再求〃x）=0的根即得结果.

【详解】依题意，令/（xbsni7cosz+cos^sin:

usin7十7=0得,2626\26；

—+—=k7r.kgZ,解得工=2女兀一四，keZ.

263

故选：

25.已知函数〃x）是定义在R上的奇函数，当xNO时，/（x）=log2（x+l）,则不等式的解集是（）.

A.[-3,3]B.[―4、4]

C.（-00,-3]U[3,-Ko）D.（-oo,-4]u[4,+co）

【答案】A

【分析】根据X>0的解析式，可得/（M在[0,+8）上单调递增，进而判断出了（X）在

R上单调递增，并求出/（3）=2,/（-3）=-2,再根据函数的单调性即可求解不等式.

【详解】解：

•.•xNO时，/（x）=log2（x+l）,

.•J（x）在[0.+8）上单调递增，

又・・・/（x）是定义在R上的奇函数，

•・J（x）在R上单调递增，

易知/（3）=log2（3+l）=log24=2,/（-3）=-/（3）=-2,

由|/（x）|<2,

解得：

-2

由/（x）在H上单调递增，

解得：

-3Wx<3,.•.|/（刈02的解集是[-3,3].

故选：

【点睛】关健点点睛：

本题考杳的核心是利用函数的单调性解不等式，解题的关健是利用函数的奇偶性判断出函数的单调性，

26.如图，直四棱柱A6CQ—Aa的底面A68是正方形，且44=245=2,

E,尸分别为4A，CQ的中点，则下列结论正确的是（）.

A.平面截此四楼柱所得截面是菱形，且截面面积为遍

B.平面EF5截此四棱柱所得裁面是矩形，且截面面积为2退

C.直线6。

与平面所成角的正弦值是正

D.直线5。

与平面石尸8所成角的余弦值是且

【答案】D

【分析】作出截面并求出截面面枳即可判断A、B：

利用空间向量法求线面角可判断C、D.

【详解】连接。

E、DJ,

则RE//BF,DF//BE,即8,旦。

"四点共面，

所以平面EF5截此四棱柱所得截面是菱形，

连接6R,则或座”=2•所•82=gxJJxJT^=JL故A、B不正确；

以。

为坐标原点，。

4。

。

，。

2所在的直线为工，）'，2轴建立空间直角坐标系,

则5（1,1,0）,0（0,0,0）,£。

0,1），尸（0,1」），丽=0,1,0）,BE=（0-1,1）,BF=（-1,0,1）,

设平面EFB的一个法向量为n=（x,y,z），

BEn=0

一，即4

BFn=0

_y+Z=O

，令z=l，则x=l,y=l,

-x+z=0

设直线8。

与平面耳8所成角为8,0<6>

一「6万|2J6

所以sing=cosDBm=i,=-,=-/==—,

\DB^n\yj2xyj33

故选：

27.关于函数/（"=（1-51口力（1+5111刈+285.丫，］£［一兀,可，有以下四个结论:

①/（X）是偶函数

②“X）在［-兀⑼是增函数，在似兀］是减函数

③/（九）有且仅有1个零点

④/（元）的最小值是-1,最大值是3

其中正确结论的个数是（）.

A.1B.2C.3D.4

【答案】C

【分析】先化简函数得/（x）=（cosx+l『—l,再利用奇偶性定义和换元法研究及合函数单调性、零点及最值对选项逐一判断即可.

【详解】函数

f（x）=（l-sina）（1+siiix）+2cosx=cos2x+2cosx=（cosa+1）--1,

f（-x）=cos2（-x）+2cos（-x）=cos2x+2cosx=/（x）,故是偶函数,①正

确；

令f=cosx在［—兀,0］是增函数，在［0,兀］是减函数，），=/«）=产+2/=。

+1『一1在上递增，根据复合函数单调性可知"X）在［—兀,0］是增函数，在［0,可是减

函数，②正确:

y=/（r）=（r+l）2-l,re[-1,1],则f=—1时，最小值为-i,/=1时，最大值为3,

④正确：

令=+-1=0得/=0或1=一2（舍去），即/=（：

05%=0，则

x=^+2k^keZ）,/（x）有无数个零点，故③错误.所以有3个正确结论.

乙

故选：

【点睛】本题的解题关键是借助换元法进行转化，将三角函数问题转化成二次函数的单调性、零点及最值问题.

28.为了解全年级1180名学生的数学成绩分布情况，在一次数学调研测试后，某教师随机抽取了80份试卷并对试卷得分（满分：

150分）进行了整理，得到如下频率分布表：

分

数

段

[60,70

）[70,80

）[80,90

）[90,10（

）[100,11（

））[110,12（

1）[120,13（

>）[130,14（

））[140,150]

频

数

频

率

0.025

0.050

0.100

0.125

0.250

0.200

0.100

0.075

若规定及格分数是90分，则全年级此次数学测试及格率的估计值是（）.

A.70%B.72.5%C.80%D.82.5%

【答案】D

【分析】根据频率分布表，直接求出分数大于等于90分对应的频率，即可得出结果.

【详解】由频率分布表可得，分数大于等于90分对应的频率为

0.125+0.250+0200+0.100+0.075+0.075=0.825,

则全年级此次数学测试及格率的估计值是82.5%.

故选：

29.为了解全年级1180名学生的数学成绩分布情况，在一次数学调研测试后，某教师随机抽取了80份试卷并对试卷得分（满分：

150分）进行了整理，得到如下频率分布表:

分

数

段

[60,70

）[70,80

）[80,90

）[90,10（

）[100,11（

））[110,12（

））[120,13（

））[130,14（

））[140,15（

频

数

频

率

0.025

0.050

0.100

0.125

0.250

0.200

0.100

0.075

此次数学测试全年级学生得分的中位数的估计值是（）.

A.108B.108.5C.109D.109.5

【答案】A

【分析】根据频率分布表，由中位数的概念，可直接得出结果.

【详解】中位数两边的频率之和相等，都等于0.5,

因为0.025+0.050+0.100+0.125=0.300，

又［100,110）对应的频率为0.250,

02所以此次数学测试全年级学生得分的中位数的估计值是100+10xk=l°8.

0.23

故选：

30.为了解全年级1180名学生的数学成绩分布情况，在一次数学调研测试后，某教师

随机抽取了80份试卷并对试卷得分（满分：

150分）进行了整理，得到如下频率分布表:

分

数

段

[60,70

）[70,80

）[80,90

）[90,10（

）[100,11（

））[110,12（

））[120,13（

））[130,14（

））[140,15（

频

数

频

率

0.025

0.050

0.100

0.125

0.250

0.200

0.100

0.075

若同一组数据用该区间的中点值作代表，则此次数学测试全年级平均分的估计值是（）.

A.110B.108.5C.105D.102.5

【答案】B

【分析】根据频率分布表，由每组的中点值乘以该组的频率再求和，即可得出结果.

【详解】由题意可得，此次数学测试全年级平均分的估计值是

65x0.025+75x0.050+85x0.100+95x0.125+105x0.250+115x0.200

+125x0」00+135x0.075+145x0.075=108.5.

故选：

二、解答题

31.已知函数/（x）=V+2x,g（x）=2ax+4

（I）解不等式/（x）Ng（x）；

（n）用max{〃M}表示P,4中的较大值，当。

>0时，求函数

H（x）=max{/（x）,g（x）}的最小值.

【答案】（I）答案见解析；（II）最小值为0.

【分析】（【）先化不等式为（x+2）（x—2。

）之0,分别讨论a

=-1,a>-l三种情况，即可得出结果；

/、[x2+2x,xg（-co,-2]

（ID根据题中条件，得到"（x）=

2ax+4a,xe（-2,2a）

以及分段函数性质，即可求出最值.

【详解】（I）由/（x）Ng（x）,得/+（2—2。

当a=—1时，不等式可化为（x+2『N0,显然恒成立，所以解集为R；

当。

>一1时，解不等式可得：

xW—2或xN2a；

综上，当”一1时，不等式的解集为（一8,2可。

>—1时，不等式的解集为（一8,—2]d[2<7,+8）.

当xW—2或x之2a时，"（x）=f+2x是开口向上的二次函数，且对称轴为x=-l,所以"（x）=W+2x在（口,一2]上单调递减，在[2a.+s）上单调递增，

又“（—2）=0,//（2（7）=4«2+4«=46/（^+1）>0,

所以"（x）.=0；

当一2cx<2。

时，H（x）=2av+4«=2«（x+2）>0.

综上，”（x）的最小值为0.

【点睛】思路点睛：

求解含参数一元二次不等式时，一般需要先讨论二次项系数是否为零，当二次项系数为零时，转化为一元一次不等式求解；当二次项系数不为零时，求出不等式对应的方程的根，比较两根的大小，确定参数的不同范闱，进而即可求解.

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