秋季新版苏科版八年级数学上学期25等腰三角形的轴对称性素材2.docx
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秋季新版苏科版八年级数学上学期25等腰三角形的轴对称性素材2
要点全析:
等腰三角形
1.等腰三角形(isoscelestriangle)
有两条边相等的三角形叫做等腰三角形.如图14-3-1,△ABC中,AB=AC,则△ABC是等腰三角形.相等的两条边叫腰,另一条边BC叫底边,两腰所夹的角叫顶角,如∠BAC,底边和腰的夹角∠ABC和∠ACB叫底角.
如图14-3-2中,∠C=90°,AC=BC,那么,AC、BC为腰,AB边为底,∠A、∠B为底角,∠C为顶角.
【说明】要理解等腰三角形的定义,需注意以下几点:
(1)等腰三角形的底不一定在下方,而顶角不一定在上方,如图14-3-2中,AB为底,∠C为顶角.它是根据两腰的位置来确定的.
(2)等腰三角形的三边仍要满足条件:
任意两边之和大于第三边(或任意两边之差小于第三边).若图14-3-1中,AB=AC=m,BC=a,则2m>a,即m>a/2时,才能构成三角形,否则不成立.如边长分别为2,2.5的三条线段不能构成三角形,因为2+2<5.
例如:
(1)下列各组数据为边长时,能否组成三角形?
①a=2,b=3,c=5;②a=4,b=3,c=2;
③a=1,b=2,c=2;④a=2005,b=2004,c=2008.
(2)已知等腰三角形的两边为6cm,7cm,求其周长.
(3)已知等腰三角形的两边长为2cm,7cm,求其周长.
解:
(1)①由于2+3=5,即a+b=c,而不满足a+b>c,
∴ 不能组成三角形.
②由于2+3=5>4,即b+c>a,所以a、b、c可以组成三角形.
③由于1+2>2,即a+b>c,所以a、b、c可以组成三角形.
④由于a+b>c,因此a、b、c可以组成三角形.
(2)因等腰三角形的两边长分别为6cm、7cm
当腰长为6cm时,周长为6+6+7=19(cm)
当腰长为7cm时,周长为6+7+7=20(cm).
∴ 等腰三角形的周长为19cm或20cm.
(3)因等腰三角形的两边长分别为2cm,7cm,所以腰长为7cm,而不能是2cm.若为2cm,则2+2=4<7,不能组成三角形.因此周长为7+7+2=16(cm),
∴ 等腰三角形的周长为16cm.
2.等腰三角形的性质1
等腰三角形的两个底角相等(简写成“等边对等角”)
如图14-3-3,△ABC中,AB=AC,则∠B=∠C
证法一:
(利用轴对称)过点A作△ABC的对称轴AD.
∵ AB=AC,∴ 点A在BC的垂直平分线上.
又∵ AD为△ABC的对称轴,
∴ △ABD≌△ACD(轴对称性质).
∴ ∠B=∠C
证法二:
(作顶角平分线)过点A作AD平分∠BAC交BC于D,如图14-3-3,
在△ABD和△ACD中
∴ △ABD≌△ACD(SAS).
∴ ∠B=∠C
【说明】还可以作底边BC的中线和高来证明.
3.等腰三角形的性质2(简称“三线合一”)
等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高线相互重合.
如图14-3-6,在△ABC中,AB=AC,AD为顶角的平分线,那么AD既是中线,又是高线,这三条线重合.在使用时,在这三条线段中,只要作出其中一条,另外两条也就可以认为作出来了.
即△ABC中,AB=AC,
若AD平分∠BAC,则AD⊥BC,BD=CD;
若BD=CD,则AD⊥BC,∠BAD=∠CAD;
若AD⊥BC,则BD=DC,∠BAD=∠CAD.
因此,等腰三角形中的这条线非常重要,一旦作出,边、角的等量关系就都有了.
【说明】
(1)“三线合一”仅限于等腰三角形中才有,其他三角形中没有.
(2)在一般三角形中,这三条线是不会重合的.
如图14-3-7,在△ABC中,AD为高,AE为中线,AF平分∠BAC,因此,这三条线不重合.只有等腰时,三条线才会重合;反过来,若某一三角形中三线重合,则该三角形为等腰三角形.
(3)在今后的证明题中,经常会使用“三线合一”进行证明.
例如:
△ABC中,AB=AC,BD⊥AC交AC于D,如图14-3-8.求证:
∠BAC=2∠DBC
证法一:
在△BCD中,∵ BD⊥AC,∴ ∠BDC=90°.
∴ ∠DBC=90°-∠C.
在△ABC中,∵ AB=AC,∴ ∠ABC=∠ACB.
∴∠BAC=180°-(∠ABC+∠ACB)=180°-2∠ACB=2(90°-∠C).
∴∠BAC=2∠DBC
证法二:
借助于三线合一的性质,过A作AM⊥BC于M,则AM平分∠BAC,
∴∠BAC=2∠BAM=2∠CAM.
又∵BD⊥AC交AC于D,AM⊥BC交BC于M,
∴∠DBC=90°-∠C
又∵AM⊥BC,∴ ∠CAM=90°-∠C,∴ ∠DBC=∠CAM
4.等腰三角形的性质3(轴对称性)
等腰三角形是轴对称图形,底边上的中线(顶角平分线、底边上的高)所在的直线就是它的对称轴.
如图14-3-9,△ABC中,AB=AC,AD平分∠BAC,则△ABC的对称轴为AD所在的直线,△ABD≌△ACD.
过D作DE⊥AB,交AB于E,作DF⊥AC,交AC于F.
由△ABD≌△ACD可知DE=DF.
同理,过D分别作AB、AC边上的中线和角平分线,它们都相等.因此,得到等腰三角形的一个重要结论.
重要结论:
过等腰三角形底边的中点向两腰所作的高线、中线以及角平分线,其与两腰所截得的线段都分别对应相等.
5.等腰三角形的性质4(两腰上的对应线段相等)
等腰三角形两腰上的中线、高线和两底角平分线对应相等.
例如:
如图14-3-10,△ABC中,AB=AC,若BD、CE分别为AC、AB边上的高线,则BD=CE.
证明:
∵ AB=AC,∴ ∠ABC=∠ACB(等边对等角).
又∵ BD⊥AC,CE⊥AB,∴ ∠BDC=∠CEB=90°.
在△BCD和△CBE中,
∴ △BCD≌△CBE(AAS).
∴ BD=CE.
或S△ABC=0.5×AB·CE=0.5×AC·BD.
∵AB=AC,∴ BD=CE.此法较为简便.
同样道理,可分别作出两腰上的中线,两底角的平分线,也分别对应相等.
6.等腰三角形的判定定理(等角对等边)
如果一个三角形有两个角相等,那么这两个角所对的边也相等(简写成“等角对等边”).
例如:
如图14-3-11,△ABC中,若∠B=∠C,则AB=AC
证明:
过点A作AD平分∠BAC,交BC于点D,
则∠BAD=∠CAD.
在△ABD和△ACD中,
∴ △ABD≌△ACD(AAS).∴AB=AC
因此,这一结论可直接利用.
【说明】
(1)在使用“等边对等角”或“等角对等边”时,一定要注意是在同一个三角形中才有这一对应关系,不在同一三角形中的边、角没有这一对应关系.
(2)有了这一结论,为今后证明线段相等又添了一种重要的解题途径.
例如:
如图14-3-12,△ABC中,AB=AC,BD、CE相交于O点.且BE=CD求证:
OB=OC.
证明:
∵ AB=AC,
∴ ∠ABC=∠ACB(等边对等角).
在△BCE和△CBD中
∴ △BCE≌△CBD(SAS).
∴ ∠BCE=∠CBD,即∠OBC=∠BCO
∴ OB=OC(等角对等边).
【说明】证两条线段相等,若这两条线段在同一个三角形中,可利用等腰三角形的判定定理来证明.
7.已知底边和底边上的高,求作等腰三角形
已知线段a、b,求作等腰三角形ABC,使底边BC=a,高为b.
作法:
(1)作线段BC=a;
(2)作线段BC的垂直平分线MN与BC交于点D;
(3)在MN上截取AD=b;
(4)连接AB、AC,△ABC就是所求的等腰三角形.
【说明】
(1)由作法知MN为BC的垂直平分线,∴ AB=AC
∴ △ABC为等腰三角形,如图14-3-13.
(2)以前所作的三角形分别为:
已知三边,两边夹角,两角夹边和已知斜边、直角边求作三角形,今天又学习了已知底边和底边上的高求作等腰三角形,共有五种情况,今后还将学习一些更为复杂的作法,都是以这五种为基础进行作图的.
8.等边三角形(equilateraltriangle)
(1)定义:
三条边都相等的三角形,叫等边三角形.如图14-3-14,△ABC中,AB=BC=CA,则△ABC为等边三角形.
(2)性质:
①等边三角形的三个内角都相等,并且每一个角都等于60°.如图14-3-14中,若△ABC为等边三角形,则∠A=∠B=∠C=60°.
②除此之外,还具有等腰三角形的一切性质,如三线合一,轴对称等.
(3)判定:
①三个角都相等的三角形是等边三角形.
②有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形.
下面证明以上两条判定.
判定①:
如图14-3-15,已知△ABC中,∠A=∠B=∠C求证:
△ABC是等边三角形.
证明:
∵ ∠B=∠C,∴ AB=AC
又∵ ∠A=∠B∴ AC=BC
∴ AB=AC=BC,∴ △ABC是等边三角形.
判定②:
如图14-3-15,已知△ABC中,AB=AC,∠B=60°.求证:
△ABC是等边三角形.
证明:
∵ AB=AC,∴ ∠B=∠C.
又∵ ∠B=60°,∴ ∠B=∠C=60°.
又∵ ∠A+∠B+∠C=180°,
∴ ∠A=180°-(∠B+∠C)=60°.
∴ ∠A=∠B=∠C,∴ AB=BC=AC.
∴ △ABC为等边三角形.
(4)应用:
例如:
如图14-3-16,△ABC为等边三角形,D、E为直线BC上的两点,且BD=BC=CE,求∠DAE的度数.
分析:
要求∠DAE的度数,需分开求,先求∠BAC,再求∠DAB和∠CAE,由△ABC为等边三角形知∠BAC=60°,又∵ BD=BC,而BC=BA,则BD=BA,∴ △ABD为等腰三角形,∴ ∠D=∠DAB=0.5×∠ABC=30°.同理可知,∠CAE=30°.
解:
∵ △ABC为等边三角形,
∴ AB=BC=AC,∠BAC=∠ABC=∠ACB=60°.
又∵ BD=BC,∴ BD=BC=AB.
∴ ∠DAB=∠D,又∵ ∠ABC=∠D+∠DAB,
∴ ∠ABC=2∠DAB=60°,∴ ∠DAB=30°.
同理,∠CAE=30°.
∴ ∠DAE=∠DAB+∠BAC+∠CAE=30°+60°+30°=120°.
【说明】本题中用到了等边三角形的性质.
再如:
如图14-3-17,已知△ABC为等边三角形,D、E、F分别为△ABC三边上的点,且BD=CE=AF,直线AD、BE、CF两两相交于点R、Q、P.
求证:
△PQR是等边三角形.
分析:
本题既用到了等边三角形的性质,又用到了其判定.要证△PQR为等边三角形,证三边相等难度较大,可考虑证其三角相等.也可先证∠PQR=60°,而∠PQR=∠ACQ+∠QAC,又因为∠ACQ+∠BCF=60°,只需证∠BCF=∠DAC,由此可联想证△BCF与△CAD全等.
证明:
∵ △ABC为等边三角形,
∴ ∠BAC=∠ABC=∠BCA=60°,AB=BC=CA.
又∵ BD=CE=AF,
∴ BF=DC=AE
在△ABE和△BCF和△CAD中,
∴ △ABE≌△BCF≌△CAD(SAS).
∴ ∠ABE=∠BCF=∠CAD.
∵ ∠ACQ+∠BCF=60°,∴ ∠ACQ+∠CAQ=60°.
∴ ∠AQF=∠ACQ+∠CAQ=60°,即∠PQR=60°.
同理,∠RPQ=∠PRQ=60°.
∴△PQR为等边三角形.
【说明】
(1)此题证明思路比较清晰,只是步骤书写较繁,书写应认真;
(2)在证明过程中用到了三个三角形全等的连等形式,可仿照两个三角形全等的方式使用.
9.含30°角的直角三角形的性质
在直角三角形中,如果一个锐角等于30°,那么它所对的直角边等于斜边的一半.
如图14-3-18,在Rt△ABC中,∠C=90°,∠A=30°,则BC=0.5×AB,这一性质反过来也成立.即在Rt△ABC中,∠C=90°,若BC=0.5×AB,则∠A=30°.因此Rt△ABC中,∠C=90°,∠A=30°
BC=AB/2
这一性质在解题中经常用到.
例如:
如图14-3-19,在Rt△ABC中,∠BAC为直角,高AD交BC于D,∠B=30°,BC=12米,
求CD,BD的长.
解:
∵ 在Rt△ABC中,∠BAC=90°,∠B=30°,
∴ ∠C=60°,BC=2AC
∴ AC=BC/2=6(米).
在Rt△ACD中,∵ AD⊥BC,∠C=60°,
∴ ∠CAD=30°.
∴ DC=AC/2=0.5××6=3(米).
∴ BD=BC-DC=9-6=12-3=9(米).
【说明】在本题中两次用到直角三角形的这一性质,并且用的方式都一样.