《创新设计》 届二轮专题复习 全国版 数学理科 WORD版材料 专题八 数学思想方法.docx

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《创新设计》届二轮专题复习全国版数学理科WORD版材料专题八数学思想方法

第1讲　函数与方程思想、数形结合思想

高考定位　函数与方程的思想一般通过函数与导数、三角函数、数列、解析几何等知识进行考查；数形结合思想一般在选择题、填空题中考查.

1.函数与方程思想的含义

（1）函数的思想，是用运动和变化的观点，分析和研究数学中的数量关系，是对函数概念的本质认识，建立函数关系或构造函数，运用函数的图象和性质去分析问题、转化问题，从而使问题获得解决的思想方法.

（2）方程的思想，就是分析数学问题中变量间的等量关系，建立方程或方程组，或者构造方程，通过解方程或方程组，或者运用方程的性质去分析、转化问题，使问题获得解决的思想方法.

2.函数与方程的思想在解题中的应用

（1）函数与不等式的相互转化，对于函数y＝f（x），当y＞0时，就转化为不等式f（x）＞0，借助于函数的图象和性质可解决有关问题，而研究函数的性质也离不开不等式.

（2）数列的通项与前n项和是自变量为正整数的函数，用函数的观点去处理数列问题十分重要.

（3）解析几何中的许多问题，需要通过解二元方程组才能解决，这都涉及二次方程与二次函数的有关理论.

3.数形结合是一种数学思想方法，包含“以形助数”和“以数辅形”两个方面，其应用大致可以分为两种情形：

①借助形的生动和直观性来阐明数之间的联系，即以形作为手段，数为目的，比如应用函数的图象来直观地说明函数的性质；

②借助于数的精确性和规范严密性来阐明形的某些属性，即以数作为手段，形作为目的，如应用曲线的方程来精确地阐明曲线的几何性质.

4.在运用数形结合思想分析和解决问题时，要注意三点：

第一要彻底明白一些概念和运算的几何意义以及曲线的代数特征，对数学题目中的条件和结论既分析其几何意义又分析其代数意义；第二是恰当设参、合理用参，建立关系，由数思形，以形想数，做好数形转化；第三是正确确定参数的取值范围.数学中的知识，有的本身就可以看作是数形的结合.

热点一　函数与方程思想的应用

[微题型1]　不等式问题中的函数（方程）法

【例1－1】

（1）f（x）＝ax3－3x＋1对于x∈[－1，1]，总有f（x）≥0成立，则a＝________.

（2）设f（x），g（x）分别是定义在R上的奇函数和偶函数，当x＜0时，f′（x）g（x）＋f（x）g′（x）＞0，且g（－3）＝0，则不等式f（x）g（x）＜0的解集是________.

解析　

（1）若x＝0，则不论a取何值，f（x）≥0显然成立；

当x＞0即x∈（0，1]时，f（x）＝ax3－3x＋1≥0可化为

a≥－.

设g（x）＝－，则g′（x）＝，

所以g（x）在区间上单调递增，在区间上单调递减，

因此g（x）max＝g＝4，从而a≥4.

当x＜0即x∈[－1，0）时，f（x）＝ax3－3x＋1≥0可化为a≤－，设g（x）＝－，

且g（x）在区间[－1，0）上单调递增，因此g（x）min＝g（－1）＝4，

从而a≤4，综上a＝4.

（2）设F（x）＝f（x）g（x），由于f（x），g（x）分别是定义在R上的奇函数和偶函数，得F（－x）＝f（－x）·g（－x）＝－f（x）g（x）＝－F（x），即F（x）在R上为奇函数.

又当x＜0时，F′（x）＝f′（x）·g（x）＋f（x）g′（x）＞0，

所以x＜0时，F（x）为增函数.

因为奇函数在对称区间上的单调性相同，所以x＞0时，F（x）也是增函数.

因为F（－3）＝f（－3）g（－3）＝0＝－F（3）.

所以，由图可知F（x）＜0的解集是（－∞，－3）∪（0，3）.

答案　

（1）4　

（2）（－∞，－3）∪（0，3）

探究提高　

（1）在解决不等式问题时，一种最重要的思想方法就是构造适当的函数，利用函数的图象和性质解决问题；

（2）函数f（x）＞0或f（x）＜0恒成立，一般可转化为f（x）min＞0或f（x）max＜0；已知恒成立求参数范围可先分离参数，然后利用函数值域求解.

[微题型2]　数列问题的函数（方程）法

【例1－2】已知数列{an}满足a1＝3，an＋1＝an＋p·3n（n∈N*，p为常数），a1，a2＋6，a3成等差数列.

（1）求p的值及数列{an}的通项公式；

（2）设数列{bn}满足bn＝，证明：

bn≤.

（1）解　由a1＝3，an＋1＝an＋p·3n，

得a2＝3＋3p，a3＝a2＋9p＝3＋12p.

因为a1，a2＋6，a3成等差数列，

所以a1＋a3＝2（a2＋6），

即3＋3＋12p＝2（3＋3p＋6），

得p＝2，依题意知，an＋1＝an＋2×3n.

当n≥2时，a2－a1＝2×31，

a3－a2＝2×32，…，

an－an－1＝2×3n－1.

将以上式子相加得an－a1＝2（31＋32＋…＋3n－1），

所以an－a1＝2×＝3n－3，

所以an＝3n（n≥2）.

又a1＝3符合上式，故an＝3n.

（2）证明　因为an＝3n，所以bn＝.

所以bn＋1－bn＝－＝（n∈N*），

若－2n2＋2n＋1＜0，则n＞，

即当n≥2时，有bn＋1＜bn，

又因为b1＝，b2＝，故bn≤.

探究提高　数列最值问题中应用函数与方程思想的常见类型：

（1）数列中的恒成立问题，转化为最值问题，利用函数的单调性或不等式求解.

（2）数列中的最大项与最小项问题，利用函数的有关性质或不等式组求解.

（3）数列中前n项和的最值：

转化为二次函数，借助二次函数的单调性或求使an≥0（an≤0）成立时最大的n值即可求解.

[微题型3]　解析几何问题的方程（函数）法

【例1－3】设椭圆中心在坐标原点，A（2，0），B（0，1）是它的两个顶点，直线y＝kx（k＞0）与AB相交于点D，与椭圆相交于E、F两点.

（1）若＝6，求k的值；

（2）求四边形AEBF面积的最大值.

解　

（1）依题意得椭圆的方程为＋y2＝1，直线AB，EF的方程分别为x＋2y＝2，y＝kx（k＞0）.如图，设D（x0，kx0），E（x1，kx1），F（x2，kx2），其中x1＜x2，且x1，x2满足方程（1＋4k2）x2＝4，故x2＝－x1＝.①

由＝6知x0－x1＝6（x2－x0），

得x0＝（6x2＋x1）＝x2＝；

由D在AB上知x0＋2kx0＝2，

得x0＝.所以＝，

化简得24k2－25k＋6＝0，

解得k＝或k＝.

（2）根据点到直线的距离公式和①式知，点E，F到AB的距离分别为

h1＝＝，

h2＝＝.

又|AB|＝＝，

所以四边形AEBF的面积为

S＝|AB|（h1＋h2）

＝··＝

＝2≤2，

当4k2＝1（k＞0），即当k＝时，上式取等号.

所以S的最大值为2.

即四边形AEBF面积的最大值为2.

探究提高　解析几何中的最值是高考的热点，在圆锥曲线的综合问题中经常出现，求解此类问题的一般思路为在深刻认识运动变化的过程之中，抓住函数关系，将目标量表示为一个（或者多个）变量的函数，然后借助于函数最值的探求来使问题得以解决.

热点二　数形结合思想的应用

[微题型1]　利用数形结合思想讨论方程的根或函数零点

【例2－1】

（1）若函数f（x）＝|2x－2|－b有两个零点，则实数b的取值范围是________.

（2）设函数f（x）（x∈R）满足f（－x）＝f（x），f（x）＝f（2－x），且当x∈[0，1]时，f（x）＝x3.又函数g（x）＝|xcos（πx）|，则函数h（x）＝g（x）－f（x）在上的零点个数为（　　）

A.5B.6

C.7D.8

解析　

（1）由f（x）＝|2x－2|－b有两个零点，

可得|2x－2|＝b有两个不等的实根，

从而可得函数y＝|2x－2|的图象与函数y＝b的图象有两个交点，如图所示.

结合函数的图象，可得0＜b＜2，故填（0，2）.

（2）根据题意，函数y＝f（x）是周期为2的偶函数且0≤x≤1时，f（x）＝x3，则当

－1≤x≤0时，f（x）＝－x3，且g（x）＝|xcos（πx）|，所以当x＝0时，f（x）＝g（x）.当x≠0时，若0

再根据函数性质画出上的图象，在同一个坐标系中作出所得关系式等号两边函数的图象，如图所示，有5个根.所以总共有6个.

答案　

（1）（0，2）　

（2）B

探究提高　用图象法讨论方程（特别是含参数的指数、对数、根式、三角等复杂方程）的解（或函数零点）的个数是一种重要的思想方法，其基本思想是先把方程两边的代数式看作是两个熟悉函数的表达式（不熟悉时，需要作适当变形转化为两个熟悉的函数），然后在同一坐标系中作出两个函数的图象，图象的交点个数即为方程解（或函数零点）的个数.

[微题型2]　利用数形结合思想解不等式或求参数范围

【例2－2】

（1）若不等式≤k（x＋2）－的解集为区间[a，b]，且b－a＝2，则k＝________.

（2）若不等式|x－2a|≥x＋a－1对x∈R恒成立，则a的取值范围是________.

解析　

（1）如图，分别作出直线y＝k（x＋2）－与半圆y＝.由题意，知直线在半圆的上方，由b－a＝2，可知b＝3，a＝1，所以直线y＝k（x＋2）－过点（1，2），则k＝.

（2）作出y＝|x－2a|和y＝x＋a－1的简图，依题意知应有2a≤2－2a，故a≤.

答案　

（1）　

（2）

探究提高　求参数范围或解不等式问题经常联系函数的图象，根据不等式中量的特点，选择适当的两个（或多个）函数，利用两个函数图象的上、下位置关系转化数量关系来解决问题，往往可以避免繁琐的运算，获得简捷的解答.

[微题型3]　利用数形结合思想求最值

【例2－3】

（1）已知P是直线l：

3x＋4y＋8＝0上的动点，PA、PB是圆x2＋y2－2x－2y＋1＝0的两条切线，A、B是切点，C是圆心，则四边形PACB面积的最小值为________.

（2）（2015·全国Ⅰ卷）已知F是双曲线C：

x2－＝1的右焦点，P是C的左支上一点，A（0，6），当△APF周长最小时，该三角形的面积为________.

解析　

（1）从运动的观点看问题，当动点P沿直线3x＋4y＋8＝0向左上方或右下方无穷远处运动时，直角三角形PAC的面积SRt△PAC＝|PA|·|AC|＝|PA|越来越大，从而S四边形PACB也越来越大；当点P从左上、右下两个方向向中间运动时，S四边形PACB变小，显然，当点P到达一个最特殊的位置，即CP垂直直线l时，S四边形PACB应有唯一的最小值，

此时|PC|＝＝3，

从而|PA|＝＝2.

所以（S四边形PACB）min＝2××|PA|×|AC|＝2.

（2）设双曲线的左焦点为F1，连接PF1，根据双曲线的定义可知|PF|＝2＋|PF1|，则△APF的周长为|PA|＋|PF|＋|AF|＝|PA|＋2＋|PF1|＋|AF|＝|PA|＋|PF1|＋|AF|＋2，

由于|AF|＋2是定值，要使△APF的周长最小，则|PA|＋|PF1|最小，即P，A，F1三点共线，如图所示.

由于A（0，6），F1（－3，0），

直线AF1的方程为：

＋＝1，

即x＝－3，

代入双曲线方程整理可得

y2＋6y－96＝0，解得y＝2或y＝－8（舍去），

所以点P的纵坐标为2.

所以S△APF＝S△AFF1－S△PFF1＝×6×6－×6×2＝12.

答案　

（1）2　

（2）12

探究提高　破解圆锥曲线问题的关键是画出相应的图形，注意数形结合的相互渗透，并从相关的图形中挖掘对应的信息加以分析与研究.直线与圆锥曲线的位置关系的转化有两种，一种是通过数形结合建立相应的关系式，另一种是通过代数形式转化为二元二次方程组的解的问题进行讨论.

1.当问题中涉及一些变化的量时，就需要建立这些变化的量