集合的表示.docx
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集合的表示
集合的表示
知识点一 列举法
把集合中的元素一一列举出来，并用大括号“{ }”括起来表示集合的方法叫做列举法．例如，方程（x＋1）（x－1）＝0的解集可以表示为{－1,1}．
1．列举法表示集合时的4个关注点
（1）元素与元素之间必须用“，”隔开．
（2）集合中的元素必须是明确的．
（3）集合中的元素不能重复．
（4）集合中的元素可以是任何事物．
知识点二 描述法
用集合所含元素的共同特征表示集合的方法称为描述法．具体方法：
在大括号内先写上表示这个集合元素的一般符号及取值（或变化）范围，再画一条竖线，在竖线后写出这个集合中元素所具有的共同特征．
2．描述法表示集合时的3个关注点
（1）写清楚集合中元素的符号，如数或点等；
（2）说明该集合中元素的共同特征，如方程、不等式、函数式或几何图形等；
（3）不能出现未被说明的字母．
[小试身手]
1．判断（正确的打“√”，错误的打“×”）
（1）由1,1,2,3组成的集合可用列举法表示为{1,1,2,3}．（ ）
（2）集合{（1,2）}中的元素是1和2.（ ）
（3）集合A＝{x|x－1＝0}与集合B＝{1}表示同一个集合．（ ）
答案：
（1）×
（2）× （3）√
2．下列各组集合，表示相等集合的是（ ）
①M＝{（3,2）}，N＝{（2,3）}；②M＝{3,2}，N＝{2,3}；③M＝{（1,2）}，N＝{1,2}
A．① B．②C．③ D．以上都不对
解析：
①M表示点（3,2），N表示点（2,3）;②由元素的无序性知是相等集合；③M表示一个元素点（1,2），N表示两个元素分别为1,2.
答案：
B
3．下列集合的表示方法正确的是（ ）
A．第二、四象限内的点集可表示为{（x，y）|xy≤0，x∈R，y∈R}
B．不等式x－1＜4的解集为{x＜5}
C．{全体整数}
D．实数集可表示为R
解析：
选项A中应是xy＜0；选项B的本意是想用描述法表示，但不符合描述法的规范格式，缺少了竖线和竖线前面的代表元素x；选项C的“{ }”与“全体”的意思重复．
答案：
D
4．下列表述正确的是（ ）
A．{0}＝∅B．{1,2}＝{2,1}
C．{∅}＝∅D．0∉N
解析：
∅中不含有任何元素，N中包含0.
答案：
B,
类型一 列举法表示集合
例1 用列举法表示下列给定的集合：
（1）大于1且小于6的整数组成的集合A；
（2）方程x2－9＝0的实数根组成的集合B；
（3）小于8的质数组成的集合C；
（4）一次函数y＝x＋3与y＝－2x＋6的图象的交点组成的集合D.
【解析】
（1）大于1且小于6的整数包括2,3,4,5，∴A＝{2,3,4,5}．
（2）方程x2－9＝0的实数根为－3,3，∴B＝{－3,3}．
（3）小于8的质数有2,3,5,7，∴C＝{2,3,5,7}．
（4）由
得
∴一次函数y＝x＋3与y＝－2x＋6的交点为（1,4），∴D＝{（1,4）}.
用列举法表示集合的三个步骤
（1）求出集合的元素．
（2）把元素一一列举出来，且相同元素只能列举一次．
（3）用大括号括起来．
[注意] 用列举法表示集合，要求元素不重复、不遗漏．
方法归纳
用列举法表示集合的三个注意点
（1）用列举法表示集合时，首先要注意元素是数、点，还是其他的类型，即先定性．
（2）列举法适合表示有限集，当集合中元素个数较少时，用列举法表示集合比较方便．
（3）搞清集合是有限集还是无限集是选择恰当的表示方法的关键．
跟踪训练1 用列举法表示下列集合：
（1）不大于10的非负偶数集；
（2）由
＋
（a，b∈R）所确定的实数集合；
（3）求方程组
的解集．
解析：
（1）∵不大于10是小于或等于10；非负是大于或等于0的意思，∴不大于10的非负偶数集是{0,2,4,6,8,10}．
（2）关键是根据绝对值的意义化简，设x＝
＋
，当a>0，b>0时，x＝2；当a<0，b<0时，x＝－2；当a，b异号时，x＝0，故用列举法表示为{－2,0,2}．
（3）解方程组
得
故此方程组的解集为{（1，－1）}．
（2）审题要讨论a、b的符号．
（3）元素是点．
类型二 描述法表示集合
例2 用描述法表示下列集合，并指明是有限集还是无限集．
（1）大于5小于10的所有有理数组成的集合；
（2）被3除余2的正整数组成的集合；
（3）反比例函数y＝
的自变量的值组成的集合；
（4）三角形的全体组成的集合．
【解析】
（1）设元素为x，则大于5小于10的有理数为5（2）设元素为x，则x＝3k＋2，k∈N＋，因此用描述法表示集合为{x|x＝3k＋2，k∈N＋}；无限集．
（3）函数y＝
的自变量应满足x≠1，组成的集合用描述法可表示为{x∈R|x≠1}；无限集．
（4）设元素为x，则用描述法表示为{x|x是三角形}；无限集.
找准集合的代表元素，说明元素的条件，用描述法表示相应集合．
方法归纳
描述法表示集合的步骤
（1）确定集合中元素的特征．
（2）给出其满足的性质．
（3）根据描述法的形式写出其满足的集合．,
跟踪训练2 用描述法表示下列集合：
（1）
；
（2）被5除余1的正整数组成的集合；
（3）坐标平面内坐标轴上的点集．
解析：
（1）集合
用描述法表示为
.
（2）根据被除数＝商×除数＋余数，故此集合可表示为{x|x＝5n＋1，n∈N}．
（3）注意到坐标轴上点的横坐标或纵坐标至少有一个为0，故可表示为{（x，y）
}．
找到元素的规律
、
、
，…
，n∈N*易忽略．
类型三 集合表示法的选择
例3 用适当的方法表示下列集合：
（1）方程组
的解集；
（2）100以内被3除余1的正整数；
（3）到两坐标轴距离相等的点的集合；
（4）所有的正方形．
【解析】
（1）可知方程组的解为x＝1，y＝1.故可写成{（1,1）}，或{（x，y）|x＋y＝2，且3x＋2y＝5}．①
（2）可以写成{x|x＝3n＋1，n∈N*，且1≤x≤100}，或{100以内被3除余1的正整数}．②
（3）可以写成{（x，y）|x±y＝0}．③
（4）可以写成{正方形}．④
①容易错写成{1,1}或{x＝1，y＝1}等，要注意代表元素的选取．
②若用描述法，一定要把限制条件n∈N*，x＝3n＋1,1≤x≤100都写出来．
③容易错写成{y＝x}．
④用描述法表示集合有两种，即文字描述和符号描述．
方法归纳,
用描述法表示集合时，首先应弄清楚集合的属性，是数集、点集还是其他类型的集合．一般地，数集用一个字母代表其元素，而点集则用一个有序数对来表示．若描述部分出现表示元素的符号以外的字母，则要对新字母说明其含义并指出其取值范围，如本例中的
（2）．对于元素个数确定的集合或元素个数不确定但元素间存在明显规律的集合，可采用列举法．应用列举法时要注意：
元素之间用“，”隔开，而不是用“、”，元素不能重复，不考虑元素顺序．,
跟踪训练3 用适当的方法表示下列集合，并判断是有限集，还是无限集．
（1）由大于5，且小于9的所有自然数组成的集合；
（2）被5除余2的所有正整数组成的集合；
（3）不等式2x＋3≥0的解组成的集合；
（4）抛物线y＝x2上的所有点组成的集合．
解析：
（1）{6,7,8}，有限集
（2）{x|x＝5n＋2，n∈N}，无限集
（3）{x|2x＋3≥0}，无限集
（4）{（x，y）|y＝x2}，无限集,
元素有限的一般用列举法.
[基础巩固]（25分钟，60分）
一、选择题（每小题5分，共25分）
1．集合{x∈N＋|x－3<2}用列举法可表示为（ ）
A．{0,1,2,3,4} B．{1,2,3,4}
C．{0,1,2,3,4,5}D．{1,2,3,4,5}
解析：
∵x－3<2.∴x<5，又∵x∈N＋，
∴x＝1,2,3,4.
答案：
B
2．由大于－3且小于11的偶数所组成的集合是（ ）
A．{x|－3B．{x|－3C．{x|－3D．{x|－3解析：
偶数集为{x|x＝2k，k∈Z}，则大于－3且小于11的偶数所组成的集合为{x|－3答案：
D
3．下面对集合{1,5,9,13,17}用描述法表示，其中正确的一个是（ ）
A．{x|x是小于18的正奇数}
B．{x|x＝4k＋1，k∈Z，k<5}
C．{x|x＝4t－3，t∈N，t<5}
D．{x|x＝4s－3，s∈N*，s<6}
解析：
集合中的元素除以4余1，故可以用4k＋1（0≤k≤4，k∈Z）或4k－3（1≤k≤5，k∈Z）来表示.
答案：
D
4．下面四个命题：
（1）集合N中的最小元素是1.
（2）方程（x－1）3（x＋2）（x－5）＝0的解集含有3个元素．（3）0∈∅.（4）满足1＋x>x的实数组成的集合为R.其中正确命题的个数是（ ）
A．0B．1
C．2D．3
解析：
（1）集合N中的最小元素是0，错误；
（2）重复的元素按1个记，正确；（3）空集中不含有任何元素，错误；（4）1＋x>x恒成立的解集为R.
答案：
C
5．若集合A＝{－1,1}，B＝{0,2}，则集合{z|z＝x＋y，x∈A，y∈B}中的元素的个数为（ ）
A．5B．4
C．3D．2
解析：
利用集合中元素的互异性确定集合．
当x＝－1，y＝0时，z＝x＋y＝－1；当x＝1，y＝0时，z＝x＋y＝1；当x＝－1，y＝2时，z＝x＋y＝1；当x＝1，y＝2时，z＝x＋y＝3，由集合中元素的互异性可知集合{z|z＝x＋y，x∈A，y∈B}＝{－1,1,3}，即元素个数为3.
答案：
C
二、填空题（每小题5分，共15分）
6．若A＝{－2,2,3,4}，B＝{x|x＝t2，t∈A}，用列举法表示集合B为________．
解析：
由题意可知集合B是由A中元素的平方构成的，故B＝{4,9,16}．
答案：
{4,9,16}
7．已知集合A＝{x|x2＋px＋q＝0}＝{2}，则p＋q＝________.
解析：
由
得：
∴p＋q＝0.
答案：
0
8．集合{x∈N|2x－5<0}中所有元素的和为____________________________________．
解析：
由2x－5<0得x<
，
∵x∈N，
∴x＝0,1,2，
∴元素之和为3.
答案：
3
三、解答题（每小题10分，共20分）
9．用列举法表示下列集合：
（1）满足－2≤x≤2且x∈Z的元素组成的集合A；
（2）方程（x－2）2（x－3）＝0的解组成的集合M；
（3）方程组
的解组成的集合B；
（4）15的正约数组成的集合N.
解析：
（1）∵－2≤x≤2，x∈Z，
∴x＝－2，－1,0,1,2，∴A＝{－2，－1,0,1,2}；
（2）∵2和3是方程的根，∴M＝{2,3}；
（3）解方程组
得
∴B＝{（x，y）|（3,2）}；
（4）∵15的正约数有1,3,5,15四个数字，
∴N＝{1,3,5,15}．
10．用适当的方法表示下列集合．
（1）方程x（x2＋2x＋1）＝0的解集；
（2）在自然数集中，小于1000的奇数构成的集合．
解析：
（1）因为方程x（x2＋2x＋1）＝0的解为0或－1，所以解集为{0，－1}．
（2）在自然数集中，奇数可表示为x＝2n＋1，n∈N，故在自然数集中，小于1000的奇数构成的集合为{x|x＝2n＋1，且n<500，n∈N}．
[能力提升]（20分钟，40分）
11．设a，b∈R，集合{1，a＋b，a}＝
，则b－a等于（ ）
A．1B．－1
C．2D．－2
解析：
由题知a＋b＝0且b＝1，则b－a＝2.
答案：
C
12．已知集合A＝
，用列举法表示集合A为________．
解析：
（6－x）是12的因数，并且x∈N，解得x为0,2,3,4,5.
答案：
{0,2,3,4,5}
13．下列三个集合：
①{x|y＝x2＋1}；
②{y|y＝x2＋1}；
③{（x，y）|y＝x2＋1}．
（1）它们是不是相同的集合？
（2）它们各自的含义是什么？
解析：
（1）它们是不相同的集合．
（2）集合①是函数y＝x2＋1的自变量x所允许的值组成的集合．因为x可以取任意实数，所以{x|y＝x2＋1}＝R.集合②是函数y＝x2＋1的所有函数值y组成的集合．
由二次函数图象知y≥1，
所以{y|y＝x2＋1}＝{y|y≥1}．
集合③是函数y＝x2＋1图象上所有点的坐标组成的集合．
14．已知集合A＝{x|ax2＋bx＋1＝0，a∈R，b∈R}，求
（1）当b＝2时，A中至多有一个元素，求a的取值范围；
（2）当b＝－2时，A中至少有一个元素，求a的取值范围．
解析：
（1）当a＝0时，A＝
，当a＝1时，A＝{－1}，当a>1时，A＝∅.
故a的取值范围为a≥1或a＝0.
（2）当a＝0时，A＝
，当a＝1时，A＝{1}，当a<1时，Δ>0，A中有两个元素，符合题意．
故a的取值范围为a≤1或a＝0，即a≤1.
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