第10讲相似三角形及判定 教师版.docx

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第10讲相似三角形及判定教师版

第10讲　相似三角形及判定

（一）、夯实基础

一、相似三角形

1、相似三角形定义：

一般地，对应角相等，对应边成比例的两个三角形，叫做相似三角形。

2、相似三角形的性质：

相似三角形的对应角相等，对应边成比例。

3、相似比（相似系数）：

相似三角形对应边的比。

二、两个三角形相似的判定

1、平行线判定：

平行于三角形一边的直线和其他两边相交，所构成的三角形与原三角形相似。

2、判定：

有两个角对应相等的两个三角形相似。

3、判定：

两边对应成比例，且夹角相等的两个三角形相似。

4、判定：

三边对应成比例的两个三角形相似。

5、主要的相似模型：

型、型（反型）、母子型（反型的一种）、型

模型演变图

（二）、题型训练

考点一、相似三角形

【例1】（☆）以下四个命题：

①所有的平行四边形都相似

②所有的矩形都相似；

③所有的菱形都相似；

④所有的正方形都相似；

其中正确的命题有④。

【例2】（☆☆）如图，△ABC中，点D在线段BC上，且△ABC∽△DBA，则下列结论一定正确的是（　A　）

A.B.C.D.

【例3】（☆☆）如图所示的两个三角形相似，则α与β的度数分别为（　B　）

A．α=30°，β=30°B．α=105°，β=30°C．α=30°，β=105°D．α=105°，β=45°

【例4】（☆☆）在△ABC中，点D在AB上，点E在AC上，且△ADE与△ABC相似，AD=EC，BD=10，AE=4，则AB的长为（　D　）

A．B．12C．2+10D．12或2+10

答案：

解：

∵∠A=∠A，AD=EC，BD=10，AE=4，

∴若=时，△ADE∽△ABC，即=，

解得：

AD=2，

则AB=AD+DB=2+10；

若=时，△ADE∽△ACB，即=，

解得：

AD=2，

则AB=AD+DB=2+10=12，

∴AB的长为12或2+10．

故选：

D．

【例5】（☆☆☆）如图，在钝角三角形ABC中，AB=6cm，AC=12cm，动点D从A点出发到B点止，动点E从C点出发到A点止。

点D运动的速度为1cm/秒，点E运动的速度为2cm/秒。

如果两点同时运动，那么当以点A、D、E为顶点的三角形与△ABC相似时，运动的时间是3秒或4.8秒。

【解答】解：

如果两点同时运动，设运动t秒时，以点A、D、E为顶点的三角形与△ABC相似，

则AD=t，CE=2t，AE=AC-CE=12-2t．

①当D与B对应时，有△ADE∽△ABC．

∴AD：

AB=AE：

AC，

∴t：

6=（12-2t）：

12，

∴t=3；

②当D与C对应时，有△ADE∽△ACB．

∴AD：

AC=AE：

AB，

∴t：

12=（12-2t）：

6，

∴t=4.8．

故当以点A、D、E为顶点的三角形与△ABC相似时，运动的时间是3秒或4.8秒．

举一反三

1．（☆☆）给出下列四个命题：

①所有的等腰三角形都是相似三角形；

②所有的直角三角形都是相似三角形；

③所有的等腰直角三角形都相似；

④所有的等边三角形都是相似三角形。

其中真命题的序号是③④.

2．（☆☆）如图，△ABC∽△AED，∠ADE=80°，∠A=60°，则∠C等于（　C　）

A.B.C.D.

3．（☆☆）如图，Rt△ABC中，∠C=90°，D是AC边上一点，AB=5，AC=4，若△ABC∽△BDC，则CD=（　D　）

A．2B．C．D．

4.（☆☆）在△ABC中，AC=6，AB=9，D是AC边上一点，且AD：

DC=1：

2，若E为AB边上的点，△ABC与以A，D，E为顶点的三角形相似，则AE的长度为（　C　）

A．3B．4.5C．或3D．2或4.5

5.（☆☆☆）如图，在△ABC中，∠B=90°AB=6cm，BC=8cm，动点P以2cm/秒的速度从A点出发，沿AC向C移动，同时，动点Q以1cm/秒的速度从C点出发，沿CB向B移动．当其中有一点到达终点时，它们都停止移动，设移动时间为t秒．

（1）①当t=2.5秒时，求△CPQ的面积；

    ②求△CPQ的面积S（cm2）关于时间t（秒）的函数关系式；

（2）在P，Q移动的过程中，当△CPQ为等腰三角形时，直接写出t的值．

【解答】解：

（1）①在Rt△ABC中，∠B=90°，AB=6cm，BC=8cm，由勾股定理得：

AC=10cm，

由题意得：

AP=2×2.5=5，CQ=2.5，

过P作PD⊥BC于D，

∴PD∥AB，

∵AP=5cm，AC=10cm，

∴P为AC中点，

∴D为BC中点，

∴PD=AB=×6cm=3cm，

∴S△CPQ=CQ•PD=×2.5cm×3cm=3.75cm2；

②过Q作QE⊥AC于E，

由题意得：

AP=2t，CP=10-2t，

则∠CEQ=∠B=90°，

∵∠C=∠C，

∴△CEQ∽△CBA，

∴，

∴QE=t，

∴S△CPQ=•CP•QE=（10-2t）•t，

S=-t2+3t（0＜t＜5）；

（2）分为三种情况：

①当PC=CQ时，即10-2t=t，

t=，

当t=秒，△CPQ是等腰三角形．

②当PQ=CQ时，

∵QE⊥CP，

∴PE=CE=•（10-2t）=5-t，

∵，

∴，

t=，

∴当t=秒时，△CPQ是等腰三角形，

③当PQ=CP时，

∵PD⊥BC，

∴CD=QD=CQ=t，

∵，

∴，

t=

∴当t=秒时，△CPQ是等腰三角形，

即当△CPQ为等腰三角形时，t的值是秒或秒或秒．

考点二、两个三角形相似的判定

【例1】（☆☆）如图，点P在△ABC的边AC上，要判断△ABP∽△ACB，添加一个条件，不正确的是（　D　）

A．∠ABP=∠CB．∠APB=∠ABCC．AB2=AP•ACD．AB•BC=AC•BP

【例2】（☆☆）如图，添加一个条件：

　∠ADE=∠ACB　，使△ADE∽△ACB，（写出一个即可）

【例3】（☆☆）如图，D、E分别是△ABC的边AC、AB上的点．AE=1.5，AC=2，BC=3，且，求DE的长．

答案：

【例4】（☆☆）如图，△ABC和△ADE中，∠BAD=∠CAE，∠ABC=∠ADE．

（1）写出图中两对相似三角形（不得添加字母和线）．

（2）请选择其中的一对三角形，说明其相似的理由．

【解答】

（1）解：

△ABC∽△ADE，△ABD∽△ACE；

（2）△ABD∽△ACE．

证明：

由

（1）知△ABC∽△ADE，

∴，

∴AB×AE=AC×AD，

∴，

∵∠BAD=∠CAE，

∴△ABD∽△ACE．

【例5】（☆☆）如图，在正方形ABCD中，E为边AD的中点，点F在边CD上，且CF=3FD，△ABE与△DEF相似吗？

为什么？

答案：

略

【例6】（☆☆）如图，在边长为1的格点图形中，与△ABC相似的是（　A　）

A．B．C．D．

【例7】（☆☆）如图，∠APD=90°，AP=PB=BC=CD，则下列结论成立的是（　B　）

A．△PAB∽△PCAB．△ABC∽△DBAC．△PAB∽△PDAD．△ABC∽△DCA

【例8】（☆☆）如图，△ABC的三个顶点都在⊙O上，∠BAC的平分线交BC于点D，交⊙O于点E，则与△ABD相似的三角形有（　B　）

A．3个B．2个C．1个D．0个

【例9】（☆☆）如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，∠ABC=90°，AD=2cm，BC=6cm，AB=7cm，点P是从点B出发在射线BA上的一个动点，运动的速度是1cm/s，连结PC、PD．若△PAD与△PBC是相似三角形，则满足条件的点P个数是（　A　）

A．5个B．4个C．3个D．2个

【解答】解：

AD∥BC，∠ABC=90°，

∴∠PAD+∠ABC=180°，

∴∠PAD=90°，

设AP=x，则BP=7﹣x，

分两种情况：

①当时，即，

解得：

x=；

②当时，即，

解得：

x=3，或x=4；

③当P点在A点左侧时还有二种情况，x=或x=，

综上所述：

当AP=或3或4或或时，△PAD与△PBC是相似三角形；

即满足条件的点P个数是5个．

故选：

A．

举一反三

1.（☆☆）如图所示，给出下列条件：

①∠B=∠ACD；②∠ADC=∠ACB；③；④AC2=AD•AB．

其中单独能够判△ABC∽△ACD的有（　C　）

A．①②③④B．①②③C．①②④D．①②

2.（☆☆）如图所示，已知∠DAB=∠CAE，再添加一个条件就能使△ADE∽△ABC，则这个条件可能是∠D=∠B．（写出一个即可）

3.（☆☆）如图，在四个4×4的正方形网格中，三角形相似的是（　D　）

A．①和②B．②和④C．②和③D．①和③

4.（☆☆☆）如图，矩形ABCD中，AD=a，AB=b，要使BC边上至少存在一点P，使△ABP、△APD、△CDP两两相似，则a，b间的关系式一定满足（　　）

A．B．a2≥b2C．D．a2≥4b2

【解答】解：

若设PC=x，则BP=a-x，

∵△ABP∽△PCD，

∴，即，

即x2-ax+b2=0方程有解的条件是：

a2-4b2≥0，

∴（a+2b）（a-2b）≥0，则a-2b≥0，

∴a≥2b．

故选：

D．

5.（☆☆）如图，∠ACB=∠ADC=90°，BC=a，AC=b，AB=c，要使△ABC∽△CAD，只要CD等于（　　）

A．B．C．D．

6.（☆☆）如图，已知△ABC与△BED都是顶角为36°的等腰三角形，点D是边AC上一点，且满足BC2=CD•AC，DE与AB相交于点F，则图中有（　　）对相似三角形．

A．6B．7C．8D．9

7.（☆☆）如图，AB是半圆O的直径，D，E是半圆上任意两点，连结AD，DE，AE与BD相交于点C，要使△ADC与△ABD相似，可以添加一个条件．下列添加的条件其中错误的是（　D　）

A．∠ACD=∠DABB．AD=DEC．AD2=BD•CDD．AD•AB=AC•BD

【解答】解：

A、因为∠ADC=∠BDA，∠ACD=∠DAB，所以△DAC∽△DBA，所以A选项添加的条件正确；

B、由AD=DE得∠DAC=∠E，而∠B=∠E，所以∠DAC=∠B，加上∠ADC=∠BDA，所以△DAC∽△DBA，所以B选项添加的条件正确；

C、由AD2=DB•CD，即AD：

DB=DC：

DA，加上∠ADC=∠BDA，所以△DAC∽△DBA，所以C选项添加的条件正确；

D、由AD•AB=AC•BD得=，而不能确定∠ABD=∠DAC，即不能确定点D为弧AE的中点，所以不能判定△DAC∽△DBA，所以D选项添加的条件错误．

故选：

D．

8.（☆☆）如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，∠A=90°，AB=7cm，AD=2cm，BC=3cm，动点P从点A出发沿着线段AB方向以1cm/s的速度向点B运动，到达点B运动结束，设点P的运动时间为t秒，若以P、A、D为顶点的三角形与以P、B、C为顶点的三角形相似，则t的值不可能是（　D　）

A．1B．6C．D．

（三）、课下继续夯实

1．（☆☆）如图，D是AB上的一点．△ABC∽△ACD，且AD=2，BD=4，∠ADC=65°，∠B=43°，则

∠A=　72°　，AC=　　．

2．（☆☆）给出下列结论：

①任意两个等边三角形相似

②顶角对应相等的两个等腰三角形相似

③两条边对应成比例的两个直角三角形相似

其中正确的是（　A　）

A．①②B．①③C．②③D．①②③

3.（☆