第10讲相似三角形及判定 教师版.docx

1、第10讲 相似三角形及判定 教师版第10讲相似三角形及判定 （一）、夯实基础一、相似三角形 1、相似三角形定义：一般地，对应角相等，对应边成比例的两个三角形，叫做相似三角形。2、相似三角形的性质：相似三角形的对应角相等，对应边成比例。3、相似比（相似系数）：相似三角形对应边的比。二、两个三角形相似的判定 1、平行线判定：平行于三角形一边的直线和其他两边相交，所构成的三角形与原三角形相似。2、判定：有两个角对应相等的两个三角形相似。3、判定：两边对应成比例，且夹角相等的两个三角形相似。4、判定：三边对应成比例的两个三角形相似。5、主要的相似模型：型、型（反型）、母子型（反型的一种）、型模型演变图

2、（二）、题型训练考点一、相似三角形 【例1】 （）以下四个命题：所有的平行四边形都相似所有的矩形都相似；所有的菱形都相似；所有的正方形都相似；其中正确的命题有 。【例2】 （）如图，ABC中，点D在线段BC上，且ABCDBA，则下列结论一定正确的是（A）A. B. C. D. 【例3】 （）如图所示的两个三角形相似，则与的度数分别为（B）A=30，=30 B=105，=30 C=30，=105 D=105，=45【例4】 （）在ABC中，点D在AB上，点E在AC上，且ADE与ABC相似，AD=EC，BD=10，AE=4，则AB的长为（D）A B12 C2+10 D12或2+10答案：解：A=A

3、，AD=EC，BD=10，AE=4，若=时，ADEABC，即=，解得：AD=2，则AB=AD+DB=2+10；若=时，ADEACB，即=，解得：AD=2，则AB=AD+DB=2+10=12，AB的长为12或2+10故选：D【例5】（）如图，在钝角三角形ABC中，AB=6cm，AC=12cm，动点D从A点出发到B点止，动点E从C点出发到A点止。点D运动的速度为1cm/秒，点E运动的速度为2cm/秒。如果两点同时运动，那么当以点A、D、E为顶点的三角形与ABC相似时，运动的时间是 3秒或4.8秒 。【解答】解：如果两点同时运动，设运动t秒时，以点A、D、E为顶点的三角形与ABC相似，则AD=t，C

4、E=2t，AE=AC-CE=12-2t当D与B对应时，有ADEABCAD：AB=AE：AC，t：6=（12-2t）：12，t=3；当D与C对应时，有ADEACBAD：AC=AE：AB，t：12=（12-2t）：6，t=4.8故当以点A、D、E为顶点的三角形与ABC相似时，运动的时间是3秒或4.8秒举一反三1（）给出下列四个命题：所有的等腰三角形都是相似三角形；所有的直角三角形都是相似三角形；所有的等腰直角三角形都相似；所有的等边三角形都是相似三角形。其中真命题的序号是 .2（）如图，ABCAED，ADE=80，A=60，则C等于（C） A. B. C. D. 3（）如图，RtABC中，C=90

5、，D是AC边上一点，AB=5，AC=4，若ABCBDC，则CD=（D）A2 B C D4.（）在ABC中，AC=6，AB=9，D是AC边上一点，且AD：DC=1：2，若E为AB边上的点，ABC与以A，D，E为顶点的三角形相似，则AE的长度为（C）A3 B4.5 C或3 D2或4.55.（）如图，在ABC中，B=90AB=6cm，BC=8cm，动点P以2cm/秒的速度从A点出发，沿AC向C移动，同时，动点Q以1cm/秒的速度从C点出发，沿CB向B移动当其中有一点到达终点时，它们都停止移动，设移动时间为t秒（1）当t=2.5秒时，求CPQ的面积； 求CPQ的面积S（cm2）关于时间t（秒）的函数关

6、系式；（2）在P，Q移动的过程中，当CPQ为等腰三角形时，直接写出t的值【解答】解：（1）在RtABC中，B=90，AB=6cm，BC=8cm，由勾股定理得：AC=10cm，由题意得：AP=22.5=5，CQ=2.5，过P作PDBC于D，PDAB，AP=5cm，AC=10cm，P为AC中点，D为BC中点，PD=AB=6cm=3cm，SCPQ=CQPD=2.5cm3cm=3.75cm2；过Q作QEAC于E，由题意得：AP=2t，CP=10-2t，则CEQ=B=90，C=C，CEQCBA，QE=t，SCPQ=CPQE=（10-2t）t，S=-t2+3t（0t5）；（2）分为三种情况：当PC=CQ时

7、，即10-2t=t，t=，当t=秒，CPQ是等腰三角形当PQ=CQ时，QECP，PE=CE=（10-2t）=5-t，t=，当t=秒时，CPQ是等腰三角形，当PQ=CP时，PDBC，CD=QD=CQ=t，t=当t=秒时，CPQ是等腰三角形，即当CPQ为等腰三角形时，t的值是秒或秒或秒考点二、两个三角形相似的判定 【例1】 （）如图，点P在ABC的边AC上，要判断ABPACB，添加一个条件，不正确的是（D）AABP=C BAPB=ABC CAB2=APAC DABBC=ACBP【例2】 （）如图，添加一个条件：ADE=ACB ，使ADEACB，（写出一个即可）【例3】 （）如图，D、E分别是ABC

8、的边AC、AB上的点AE=1.5，AC=2，BC=3，且，求DE的长答案： 【例4】（）如图，ABC和ADE中，BAD=CAE，ABC=ADE（1）写出图中两对相似三角形（不得添加字母和线）（2）请选择其中的一对三角形，说明其相似的理由 【解答】（1）解：ABCADE，ABDACE；（2）ABDACE证明：由（1）知ABCADE，ABAE=ACAD，BAD=CAE，ABDACE【例5】（）如图，在正方形ABCD中，E为边AD的中点，点F在边CD上，且CF=3FD，ABE与DEF相似吗？为什么？答案：略【例6】（）如图，在边长为1的格点图形中，与ABC相似的是（A）A B C D【例7】（）如图

9、，APD=90，AP=PB=BC=CD，则下列结论成立的是（B）APABPCA BABCDBA CPABPDA DABCDCA【例8】（）如图，ABC的三个顶点都在O上，BAC的平分线交BC于点D，交O于点E，则与ABD相似的三角形有（B）A3个 B2个 C1个 D0个【例9】（）如图，在四边形ABCD中，ADBC，ABC=90，AD=2cm，BC=6cm，AB=7cm，点P是从点B出发在射线BA上的一个动点，运动的速度是1cm/s，连结PC、PD若PAD与PBC是相似三角形，则满足条件的点P个数是（A）A5个 B4个 C3个 D2个【解答】解：ADBC，ABC=90，PAD+ABC=180，

10、PAD=90，设AP=x，则BP=7x，分两种情况：当时，即，解得：x=；当时，即，解得：x=3，或x=4；当P点在A点左侧时还有二种情况，x=或x=，综上所述：当AP=或3或4或或时，PAD与PBC是相似三角形；即满足条件的点P个数是5个故选：A举一反三1. （）如图所示，给出下列条件：B=ACD；ADC=ACB；AC2=ADAB其中单独能够判ABCACD的有（C）A B C D2. （）如图所示，已知DAB=CAE，再添加一个条件就能使ADEABC，则这个条件可能是D=B（写出一个即可）3. （）如图，在四个44的正方形网格中，三角形相似的是（D）A和 B和 C和 D和4. （）如图，矩形

11、ABCD中，AD=a，AB=b，要使BC边上至少存在一点P，使ABP、APD、CDP两两相似，则a，b间的关系式一定满足（）A Ba2b2 C Da24b2【解答】解：若设PC=x，则BP=a-x，ABPPCD，即，即x2-ax+b2=0方程有解的条件是：a2-4b20，（a+2b）（a-2b）0，则a-2b0，a2b故选：D5. （）如图，ACB=ADC=90，BC=a，AC=b，AB=c，要使ABCCAD，只要CD等于（）A B C D6. （）如图，已知ABC与BED都是顶角为36的等腰三角形，点D是边AC上一点，且满足BC2=CDAC，DE与AB相交于点F，则图中有（）对相似三角形A6

12、 B7 C8 D97. （）如图，AB是半圆O的直径，D，E是半圆上任意两点，连结AD，DE，AE与BD相交于点C，要使ADC与ABD相似，可以添加一个条件下列添加的条件其中错误的是（D）AACD=DAB BAD=DE CAD2=BDCD DADAB=ACBD【解答】解：A、因为ADC=BDA，ACD=DAB，所以DACDBA，所以A选项添加的条件正确；B、由AD=DE得DAC=E，而B=E，所以DAC=B，加上ADC=BDA，所以DACDBA，所以B选项添加的条件正确；C、由AD2=DBCD，即AD：DB=DC：DA，加上ADC=BDA，所以DACDBA，所以C选项添加的条件正确；D、由AD

13、AB=ACBD得=，而不能确定ABD=DAC，即不能确定点D为弧AE的中点，所以不能判定DACDBA，所以D选项添加的条件错误故选：D8. （）如图，在梯形ABCD中，ADBC，A=90，AB=7cm，AD=2cm，BC=3cm，动点P从点A出发沿着线段AB方向以1cm/s的速度向点B运动，到达点B运动结束，设点P的运动时间为t秒，若以P、A、D为顶点的三角形与以P、B、C为顶点的三角形相似，则t的值不可能是（D）A1 B6 C D （三）、课下继续夯实1（）如图，D是AB上的一点ABCACD，且AD=2，BD=4，ADC=65，B=43，则A= 72 ，AC= 2（）给出下列结论：任意两个等边三角形相似顶角对应相等的两个等腰三角形相似两条边对应成比例的两个直角三角形相似其中正确的是（A）A B C D3.（