二元一次方程组的实际应用讲义.docx

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二元一次方程组的实际应用讲义

课题

一元二次方程组的应用—讲义

教学

目标

1、了解一元二次方程组的概念及其定义。

2、探索并掌握一元二次方程组的解法及其应用。

3、培养学生的观察辨析能力，丰富学生的数学活动经验和体验，促进学生观察、分析归纳、总结等能力的发展。

重点

1．探索并掌握一元二次方程解法的灵活性、多变性。

2．认识一元二次方程的概念并理解其性质

难点

1、一元二次方程的简单应用

2、一元二次方程解法的灵活性、多变性。

二元一次方程组应用题

例题讲解

（分配调运问题）某校师生到甲、乙两个工厂参加劳动，如果从甲厂抽9人到乙厂，则两厂的人数相同；如果从乙厂抽5人到甲厂，则甲厂的人数是乙厂的2倍，到两个工厂的人数各是多少？

解：

设到甲工厂的人数为x人，到乙工厂的人数为y人

题中的两个相等关系：

1、抽9人后到甲工厂的人数=到乙工厂的人数

可列方程为：

x-9=

2、抽5人后到甲工厂的人数=

可列方程为：

（行程问题）甲、乙二人相距6km，二人同向而行，甲3小时可追上乙；相向而行，1小时相遇。

二人的平均速度各是多少？

解：

设甲每小时走x千米，乙每小时走y千米

题中的两个相等关系：

1、同向而行：

甲的路程=乙的路程+

可列方程为：

2、相向而行：

甲的路程+=

可列方程为：

（百分数问题）某市现有42万人口，计划一年后城镇人口增加0.8％，农村人口增加1.1％,这样全市人口将增加1％，求这个市现在的城镇人口与农村人口？

解：

这个市现在的城镇人口有x万人，农村人口有y万人

题中的两个相等关系：

1、现在城镇人口+=现在全市总人口

可列方程为：

2、明年增加后的城镇人口+=明年全市总人口

可列方程为：

（1+0.8％）x+=

（分配问题）某幼儿园分苹果，若每人3个，则剩2个，若每人4个，则有一个少1个，问幼儿园有几个小朋友？

解：

设幼儿园有x个小朋友，苹果有y个

题中的两个相等关系：

1、萍果总数=每人分3个+

可列方程为：

2、萍果总数=可列方程为：

（浓度分配问题）要配浓度是45%的盐水12千克，现有10%的盐水与85%的盐水，这两种盐水各需多少？

解：

设含盐10%的盐水有x千克，含盐85%的盐水有y千克。

题中的两个相等关系：

1、含盐10%的盐水中盐的重量+含盐85%的盐水中盐的重量=

可列方程为：

10%x+=

2、含盐10%的盐水重量+含盐85%的盐水重量=

可列方程为：

x+y=

（金融分配问题）需要用多少每千克售4.2元的糖果才能与每千克售3.4元的糖果混合成每千克售3.6元的杂拌糖200千克？

解：

设每千克售4.2元的糖果为x千克，每千克售3.4元的糖果为y千克

题中的两个相等关系：

1、每千克售4.2元的糖果销售总价+=

可列方程为：

2、每千克售4.2元的糖果重量+=

可列方程为：

（几何分配问题）如图：

用8块相同的长方形拼成一个宽为48厘米的大长方形，每块小长方形的长和宽分别是多少？

解：

设小长方形的长是x厘米，宽是y厘米

题中的两个相等关系：

1、小长方形的长+=大长方形的宽

可列方程为：

2、小长方形的长=

可列方程为：

（材料分配问题）一张桌子由桌面和四条脚组成，1立方米的木材可制成桌面50张或制作桌脚300条，现有5立方米的木材，问应如何分配木材，可以使桌面和桌脚配套？

解：

设

题中的两个相等关系：

1、制作桌面的木材+=

可列方程为：

2、所有桌面的总数：

所有桌脚的总数=

可列方程为：

（和差倍问题）一个两位数，十位上的数字比个位上的数字大5，如果把十位上的数字与个位上的数字交换位置，那么得到的新两位数比原来的两位数的一半还少9，求这个两位数？

解：

设个位数字为x，十位数字为y。

题中的两个相等关系：

1、个位数字=-5，可列方程为：

2、新两位数=可列方程为：

（分配调运）一批货物要运往某地，货主准备租用汽运公司的甲、乙两种货车，已知过去租用这两种汽车运货的情况如左表所示，现租用该公司5辆甲种货车和6辆乙种货车，一次刚好运完这批货物，问这批货物有多少吨？

解：

设

题中的两个相等关系：

1、第一次：

甲货车运的货物重量+=36

可列方程为：

2、第二次：

甲货车运的货物重量+=26

可列方程为：

列二元一次方程组解应用题的一般步骤可概括为“审、找、列、解、答”五步，即：

（1）审：

通过审题，把实际问题抽象成数学问题，分析已知数和未知数，并用字母表示其中的两个未知数；

（2）找：

找出能够表示题意两个相等关系；

（3）列：

根据这两个相等关系列出必需的代数式，从而列出方程组；

（4）解：

解这个方程组，求出两个未知数的值；

（5）答：

在对求出的方程的解做出是否合理判断的基础上，写出答案.

二元一次方程组几种题型的巩固练习：

一、数字问题

例1、一个两位数，比它十位上的数与个位上的数的和大9；如果交换十位上的数与个位上的数，所得两位数比原两位数大27，求这个两位数．

二、利润问题

例2、一件商品如果按定价打九折出售可以盈利20%；如果打八折出售可以盈利10元，问此商品的定价是多少？

三、配套问题

例3、某厂共有120名生产工人，每个工人每天可生产螺栓25个或螺母20个，如果一个螺栓与两个螺母配成一套，那么每天安排多名工人生产螺栓，多少名工人生产螺母，才能使每天生产出来的产品配成最多套？

四、行程问题

例4、在某条高速公路上依次排列着A、B、C三个加油站，A到B的距离为120千米，B到C的距离也是120千米．分别在A、C两个加油站实施抢劫的两个犯罪团伙作案后同时以相同的速度驾车沿高速公路逃离现场，正在B站待命的两辆巡逻车接到指挥中心的命令后立即以相同的速度分别往A、C两个加油站驶去，结果往B站驶来的团伙在1小时后就被其中一辆迎面而上的巡逻车堵截住，而另一团伙经过3小时后才被另一辆巡逻车追赶上．问巡逻车和犯罪团伙的车的速度各是多少？

五、货运问题

典例5、某船的载重量为300吨，容积为1200立方米，现有甲、乙两种货物要运，其中甲种货物每吨体积为6立方米，乙种货物每吨的体积为2立方米，要充分利用这艘船的载重和容积，甲、乙两重货物应各装多少吨？

六、工程问题

例6、某服装厂接到生产一种工作服的订货任务，要求在规定期限内完成，按照这个服装厂原来的生产能力，每天可生产这种服装150套，按这样的生产进度在客户要求的期限内只能完成订货的

；现在工厂改进了人员组织结构和生产流程，每天可生产这种工作服200套，这样不仅比规定时间少用1天，而且比订货量多生产25套，求订做的工作服是几套？

要求的期限是几天？

.

能力提升

1、某停车场的收费标准如下：

中型汽车的停车费为6元/辆，小型汽车的停车费为4元/辆.现在停车场有50辆中、小型汽车，这些车共缴纳停车费230元，问中、小型汽车各有多少辆？

2、某蔬菜公司收购蔬菜进行销售的获利情况如下表所示：

销售方式

直接销售

粗加工后销售

精加工后销售

每吨获利（元）

100

250

450

现在该公司收购了140吨蔬菜，已知该公司每天能精加工蔬菜6吨或粗加工蔬菜16吨（两种加工不能同时进行）．

（1）如果要求在18天内全部销售完这140吨蔬菜，请完成下列表格：

销售方式

全部直接销售

全部粗加工后销售

尽量精加工，剩余部分直接销售

获利（元）

（2）如果先进行精加工，然后进行粗加工，要求在15天内刚好加工完140吨蔬菜，则应如何分配加工时间？

3、为满足市民对优质教育的需求，某中学决定改变办学条件，计划拆除一部分旧校舍，建造新校舍，拆除旧校舍每平方米需80元，建新校舍每平方米需700元.计划在年内拆除旧校舍与建造新校舍共7200平方米，在实施中为扩大绿地面积，新建校舍只完成了计划的80%，而拆除旧校舍则超过了计划的10%，结果恰好完成了原计划的拆、建总面积.

（1）求：

原计划拆、建面积各是多少平方米？

（2）若绿化1平方米需200元，那么在实际完成的拆、建工程中节余的资金用来绿化大约是多少平方米？

4、二果问价：

九百九十九文钱，甜果苦果买一千。

甜果九个十一文，苦果七个四文钱。

试问甜苦果几个，又问各该几个钱。

（注：

文钱，也称文,古代的一种货币单位）

5、一列快车长168米，一列慢车长184米，如果两车相同而行，从相遇到离开需4秒；如果同向而行，从快车追及慢车到离开需16秒，求两车的速度。

6、某船的载重为260吨，容积为1000 m3.现有甲、乙两种货物要运，其中甲种货物每吨体积为8m3，乙种货物每吨体积为2m3，若要充分利用这艘船的载重与容积，甲、乙两种货物应各装多少吨？

（设装运货物时无任何空隙）

7、某市为更有效地利用水资源，制定了用水标准：

如果一户三口之家每月用水量不超过Mm3，按每m3水1.30元计算；如果超过Mm3，超过部分按每m3水2.90元收费，其余仍按每m3水1.30元计算.小红一家三人，1月份共用水12m3，支付水费22元.问该市制定的用水标准M为多少？

小红一家超标使用了多少m3的水？

8、某乐园的门票价格规定如下表所列.某校初一

（1）、

（2）两个班共104人去游长风乐园其中

（1）班人数较少，不到50人，

（2）班人数较多，有50多人.经估算，如果两班都以班为单位分别购票，则一共应付1240元；如果两班联合起来，作为一个团体购票，则可以节省不少钱.问两班各有多少名学生？

购票人数

1——50人

51——100人

100人以上

每人门票价

13元

11元

9元

二元一次方程组应用专练---巩固练习

1、有两种药水，一种浓度为60％，另一种浓度为90％，现要配制浓度为70％的药水300克，问各种各需多少克？

2、甲乙两盒中各有一些小球，如果从甲盒中拿出10个放入乙盒，则乙盒球就是甲盒球数的6倍，若从乙盒中拿出10个放入甲盒，乙盒球数就是甲盒球数的3倍多10个，求甲乙两盒原来的球数各是多少？

3、一个两位数字，个位数字比十位数字大5，如果把这两数字的位置对换，那么所得的新数与原数的和是143，求这个两位数．

4、甲、乙两人在东西方向的公路上行走，甲在乙的西边300米，若甲、乙两人同时向东走30分钟后，甲正好追上乙；若甲、乙两人同时相向而行，2分钟后相遇，问甲、乙两人的速度是多少？

5、某铁桥长1000米，一列火车从桥上通过，从车头到桥到车尾离桥共用一分钟时间，整列火车完全在桥上的时间为40秒钟，求火车车身的总长和速度．

6、某牛奶加工厂现有100吨鲜牛奶准备加工后上市销售，该工厂的加工能力是，如果制成奶片每天可加工鲜奶10吨，如果制成酸奶每天可加工鲜奶30吨，受人员限制，两种加工方式不可同时进行，受气温条件限制，这批牛奶必须在4天内全部加工完毕．该厂应安排几天制奶片，几天制酸奶，才能使任务在4天内正好完成？

如果制成奶片销售每吨奶可获利2000元，制成酸奶销售每吨奶可获利1200元，那么该厂出售这些加工后的鲜牛奶共可获利多少元？

7、某酒店客房部有三人间、双人间客房，收费数据如下表．

普通（元／间／天）

豪华（元／间／天）

三人间

150

300

双人间

140

400

　为吸引游客，实行团体入住五折优惠措施．一个50人的旅游团优惠期间到该酒店入住，住了一些三人普通间和双人普通间客房．若每间客房正好住满，且一天共花去住宿费1510元，则旅游团住了三人普通间和双人普通间客房各多少间？

8、甲乙两人以不变的速度在环形路上跑步，相向而行每隔两分钟相遇一次；同向而行，每隔6分相遇一次，已知甲比乙跑的快，求甲乙每分钟跑多少圈？

9、我区某学校原计划向内蒙察右旗地区的学生捐赠3500册图书，实际共捐赠了4125册，其中初中学生捐赠了原计划的

，高中学生捐赠了原计划的

，问初中学生和高中学生各比原计划多捐赠了图书多少册？

10、某学校现有校舍面积20000m

，计划拆除部分旧校舍，改建新教学楼，使校舍面积增加30％，若建造新教学楼的面积为拆除的旧校舍面积的4倍，那么应该拆除多少旧校舍，新教学楼面积是多少？

（单位为m

）

作物品种

每公顷需劳动力

每公顷需投入资金

水稻

4人

1万元

棉花

8人

1万元

蔬菜

5人

2万元

11、某农场有300名职工，耕种51公顷土地，计划种植水稻、棉花和蔬菜，已知种植各作物每公顷所需劳动力人数及投入的资金如下表：

已知该农场计划投入资金67万元，应该怎样安排

这三种作物的种植面积，才能使所有职工都有工作，而且投入的资金正好够用？

12、某电视台在黄金时段的2分钟广告时间内，计划插播长度为15秒和30秒的两种广告．15秒广告每播1次收费0.6万元，30秒广告每播1次收费1万元．若要求每种广告播放不少于2次．问：

⑴两种广告的播放次数有几种安排方式？

⑵电视台选择哪种方式播放收益较大？

13、某地生产一种绿色蔬菜，若在市场上直接销售，每吨利润为1000元；经粗加工后销售，每吨利润可达4500元；经精加工后销售，每吨利润涨至7500元．当地一家农工商公司收购这种蔬菜140吨，该公司的加工厂的生产能力是：

如果对蔬菜进行粗加工，每天可加工16吨；如果进行精加工，每天可加工6吨，但两种加工方式不能同时进行，受季节条件的限制，公司必须在15天之内将这批蔬菜全部加工或加工完毕，为此公司研制了三种加工方案：

方案一：

将蔬菜全部进行粗加工；方案二：

尽可能多地对蔬菜进行精加工，没有来得及加工的蔬菜在市场上全部销售；方案三：

将部分蔬菜进行精加工，其余蔬菜进行粗加工，并恰好在15天完成．你认为选择哪种方案获利最多？

为什么？