初中数学代数法解几何图形讲解doc.docx
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初中数学代数法解几何图形讲解doc
【1】如图1：
在三角形ABC中，E、F和G、H分别为AC边和BC边的三分点，求：
四边形MGHN的面积占三角形ABC面积的几分之几？
（图1） （图2）
（图3）
解：
设三角形ABC的面积为1。
（1）连接CN,如图2，则：
3a+b=1/3
a+3b=1/3
解得：
a+b=1/6
（2）连接CM，如图3，则：
3x+y=1/3
2x+3y=2/3
解得：
x=1/21
（3）S四边形MGHN=1/3-（a+b+x）
=1/3-（1/6+1/21）
=5/42
【2】如图：
在三角形ABC中，已知BE=3EC,BD=2DA,求：
三角形AOD和三角形EOC的面积之和占三角形ABC面积的几分之几？
解：
连接BO，设S△EOC=X,S△AOD=Y,三个三角形的面积如图所标示，则：
S△AOC=（2y+4x）*1/2-y=2x 或S△AOC=（3x+x）*1/2=2x
（y+2y+3x）=3*（2x+x） y=2x
S△EOC+S△AOD=（y+x）=2x+x=3x
S△ABC=6X+3y=6x+6x=12x
所求：
（S△EOC+S△AOD ）：
S△ABC=3x:
12x=1:
4
【3】如图：
在三角形ABC中，已知BE=3EC,D为AE的中点，求：
AF:
FC=?
；BD:
DF=?
解：
图中所标示的为5个三角形的面积，则：
a+b=1
b：
a=3:
4
a=4/7;b=3/7
所求：
AF:
FC=3/7:
4/7=3:
4
BD:
DF=3:
3/7=7:
1
【4】如图：
正方形ABCD的边长为1，E、F、G、H分别为各边的中点，求：
凹五边形AEFDN的面积？
解：
因为△MON相似于△DNF，MO:
DF=1:
2,
所以ON:
ND=1:
2
S△DNF=1/4*1/2*2/3
=1/12
所求：
S凹五边形AEFDNS=S△AEF+S△DNF
=1/2*1/2+1/12
=1/3
【5】如图：
直角三角形ABC的边长分别为5、12、13厘米，将AB边对折到AC边，求阴影部分的面积。
解：
因为三角形ABD与三角形ADB'全等，所以AB=AB'
AB'=5（cm），CB'=8（cm）
三个三角形的面积按比例分配为：
8、5、5份
所求：
三角形CDB'的面积=1/2*5*12*8/（8+5+5）
=40/3（cm²）
【6】如图：
长方形ABCD的面积为1，BE=3EA，BF=2FC，求：
阴影部分的面积=？
解：
a+x+y=1/2*2/3*1=1/3,
因为：
a+x=1/2*1/4*2/3=1/12
b+c=1/2
所以：
（a+x）:
（b+c）=1/12:
1/2
=1:
6
因为：
a与b同底AG边，a与（a+x）同高，b与（b+c）同高，
所以：
a:
b= （a+x）:
（b+c）=1:
6
又：
a+b=1/2*1/4*1=1/8
故：
a=1/8*1/（1+6）=1/56
所求：
x+y=1/3-1/56
=53/168
【7】两个长方形叠放在一起（如图），小长方形的宽为2米。
H为大长方形AB边的中点，角DAG=45°。
那么图中阴影部分的面积是多少平方米？
解：
因为角DAG=45°，所以三角形AEH、BHF、FCG、GDA均为等腰直角三角形，
设大阴影三角形的腰为a（m）,小阴影的腰为b（m）,则：
a²=2²+2²,b²+b²=2²
所求：
1/2*a²+1/2*b²=4+1=5（m²）
【8】正六边形A1A2A3A4A5A6的面积是2009平方厘米，B1、B2、B3、B4、B5、B6分别是正六边形各边的中点；那么图中阴影部分的面积是（ ）平方厘米。
解：
设正六边形A1A2A3A4A5A6的面积为“1”，则：
可知，三角形A1A2B6的面积为1/12,
三角形B6A3A6的面积为1/6（A6A3=2*A1A2）
梯形A1A2A3A6的面积为1/2,
所以：
三角形A2B6A3的面积为1/2-（1/12+1/6）=1/4
三角形B1B6A2面积:
三角形A2B6A3面积=1/2*1/12:
1/4=1:
6
所以，三角形B1oA2面积:
三角形A2oA3面积=1:
6
三角形A2oA3面积=1/12*6/7=1/14
空白部分的面积：
1/14*6=3/7
阴影部分面积：
1-3/7=4/7
所求：
2009*4/7=1148（cm²）
【9】如图，在三角形ABC中，AO:
OD=3:
1,BO:
OE=2:
1。
三角形AOB与三角形AOC的面积之比是多少？
解：
设三角形AOE的面积为x，三角形DOC的面积为a，则其余的面积如图所示：
2x:
（5a-2x）=3:
1
x:
a=15:
8
令：
x=15,a=8
S△AOB：
S△AOC=2*15:
3*8=5:
4
【10】如图，将任意四边形的各边延长1倍，若原来小四边形的面积为2平方厘米，大四边形的面积为多少平方厘米？
解:
从上面两个图中可以看出，大四边形的面积为3*（x+y）+3*（a+b）
因为（x+y）=2,（a+b）=2
所求：
3*2+3*2=12
【11】图中ABCD是梯形，三角形ADE面积是1．8，三角形ABF的面积是9,三角形BCF的面积是27．那么阴影部分面积是多少?
解：
三角形ABF面积：
三角形FBC面积=9：
27=1：
3
AF:
FC=1:
3
x:
y=1:
3
1.8:
a=1:
3,a=5.4
根据梯形中的蝶形定理，（y+a）=9，故：
y=9-5.4=3.6
x=3.6/3=1.2
所求：
1.2+3.6=4.8
【12】如图，长方形ABCD的面积是2平方厘米，EC=2DE，F是DG的中点．阴影部分的面积是多少平方厘米?
解：
（x+y）:
（5x+y）=1:
2
6x+2y=1/2*2
解得：
x=1/12
所求：
5x=5/12
【13】如图1、2中，正方形ABCD的边长为1，E、F、G、H分别为各边的中点，那么图1和图2中阴影部分的面积之比为多少？
（图1） （图2） （图3）
解：
图1中阴影部分由8个红色部分组成，红色部分的面积为1/4个正方形面积的1/4，
所以，图1中红色阴影部分的面积为（1/4）*（1/4）=1/16；
图2中阴影部分由8个绿色部分组成。
图3中，根据蝶形定理，1个红色部分+1个黑色部分=2个黑色部分+1个绿色部分，且黑色部分与绿色部分也相等，
所以，图2中绿色部分面积=2/3红色部分面积=1/16*2/3
所求，（1/16）:
[（1/16）*（2/3）]=3:
2
【14】如图，AC=3AE,AB=3AF,BC=3CD,三角形MNP是三角形ABC面积的几分之几？
解：
S灰色:
S红色=CD:
BD=1:
2
S红色:
S蓝色=AE:
CE=1:
2
S灰色:
S红色:
S蓝色=1:
2:
4
所以：
S红色=2/（1+2+4）=2/7
同理：
S三角形AMC=2/7
S三角形BPC=2/7
所求：
S三角形MNP=1-3*2/7=1/7
【15】三角形ABC的面积为320平方厘米，四边形GFMC和HGFD都是梯形，已知D为BC边上的中点，AB=3BE，AM=4FM，求阴影部分的面积。
解：
（1）四边形GFMC和HGFD都是梯形，则FG//EC,GH//AD
在三角形AMC中，AM=4FM，所以AC=4GC
同理，在三角形ADC中，DC=4CH
所以，三角形CGH与CAD相似，三角形CGH的面积:
三角形CAD的面积=（1/4）²
三角形CGH的面积=（320*1/2）/16=10
（2）过D点作直线DK//CE，则K为BE的中点，所以BK=KE=1/6AB,KE=1/5AK,MD=1/5AD
所以，AM=4/5AD,AF=（4/5）*（3/4）AD=3/5AD
三角形AMC的面积=160*（4/5）=128
三角形AFG与AMC相似，三角形AFG的面积:
三角形AMC的面积=（3/4）²
三角形AFG的面积=128*（9/16）=72
（3）S阴=160-（10+72）=78（cm²）
【16】如图，三角形ADE与三角形CDE和正方形ABCD的面积之比为2：
3：
8，三角形BDE的面积为4平方厘米，求四边形ABCE的面积。
解：
延长AD,BC,从E点向两条延长线作垂线，设正方形的边长为a,
（1）因为，灰色：
黄色：
绿色=2：
3：
4，
所以,EF:
CG:
AB=2:
3:
4,
即，CG=3/4a,EF=1/2a,
（2）三角形ABE的面积=1/2*a*（a+3/4a）=7/8a*a
三角形ABE的面积=1/2（a*a）+1/2[a*（1/2a）]+4=3/4a*a+4
7/8a*a=3/4a*a+4
a*a=32
所求：
32*（2/8+3/8+1）=52（cm²）
【17】已知AB//HF,AD//GI,ABCD为平行四边形，HDIE面积为5，GEFB面积为3，求三角形AEC的面积。
解：
设平行四边形AGEH、EFCI的面积分别为a、b，三角形AEC的面积为s.
则：
1/2a+3+1/2b+s=1/2（a+3+b+5）
解得：
s=1
【18】如图，点P在正方形ABCD外，PB=10cm，△APB的面积是60cm2，△BPC的面积是30cm2,则正方形ABCD的面积是（ ）cm2．
【解】设AB=X,P点到BC的距离为a.则P点到AB的距离为2a.
a^2+（2a）^2=10^2.
a^2=20.
1/2*a*x=30
ax=60
（ax）^2=3600
x^2=3600/20=180.
【19】在等腰三角形ABC中，AB=AC，P点在BC边上的高AD上，且AP:
PD=1:
2，BP的延长线交AC于E，若三角形ABC的面积为10，则三角形ABE的面积和三角形DEC的面积分别为多少？
解：
根据题意设各部分面积分别为如图所示
则有：
1/3+2x=1/2-3x
x=1/30
三角形ABE的面积:
（1/6+1/30）*10=2
三角形DEC的面积:
（1/3+1/15）*10=4
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