二次函数中考压轴题专项练习二次函数 三角形相似和全等的判定无答案.docx

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二次函数中考压轴题专项练习二次函数三角形相似和全等的判定无答案

二次函数中考压轴题专项练习

（二次函数+三角形判定）

类型一：

等腰三角形

例1.已知抛物线C1的顶点为A（－1，4），

与y轴的交点为D（0，3）．

（1）求C1的解析式；

（2）若直线l1：

y＝x＋m与C1仅有唯一

的交点，求m的值；

（3）若抛物线C1关于y轴对称的抛物线记作C2，平行于x轴的直线记作

l2：

y＝n.试结合图形回答：

当n为何值时，l2与C1和C2共有：

①两个交点；②三个交点；③四个交点；

（4）若C2与x轴正半轴交点记作B，试在x轴上求点P，使△PAB为等腰三角形．

搭配练习：

1.如图，抛物线

经过A（1,0）、B（4,0）两点。

（1）求抛物线解析式；

（2）若点Q是线段OB上一动点，连接BC，在线段BC上是否存在点M，使△CQM为等腰三角形且△BQM为直角三角形？

若存在，求

出点M的坐标；若不存在，请说明理由。

2.如图，抛物线y＝ax2＋bx＋c经过A（－1,0）、B（3,0）、C（0,3）三点，直线l是

抛物线的对称轴．

（1）求抛物线的函数关系式；

（2）设点P是直线l上的一个动点，当△PAC的周长最小时，求点P的坐标；

（3）在直线l上是否存在点M，使△MAC为等腰三角形，若存在，

直接写出所有符合条件的点M的坐标；若不存在，请说明理由．

类型二：

等边三角形

例2.如图，在平面直角坐标系中，△ABC是直角三角形，且∠ABC＝90°，∠ACB＝30°，点B的坐标为（0，3）．

（1）求点A、C的坐标；

（2）求经过A、B、C三点的抛物线的表达式；

（3）设点M是

（2）中抛物线的顶点，P、Q是抛物线上的两点，要使△MPQ为

等边三角形，求P、Q两点的坐标．

搭配练习：

1.已知抛物线的解析式为

，P是抛物线上的一个动点,R（1,1）

是抛物线对称轴上的一点.

（I）求抛物线的顶点及与y轴交点的坐标;

（2）l是过点（0,1）且平行于x轴的直线,l与抛物线的对称轴的交点为N,PM⊥MN,垂足为点M,连接PR,RM.

①当ΔRPM是等边三角形时,求P点的坐标;

②求证:

PR=PM

类型三：

直角三角形

例3.如图，已知抛物线C：

y＝－x2＋bx＋c经过A（3，0）和B（0，3）两点，将这条抛物线的顶点记为P，它的对称轴与x轴的交点记为Q.

（1）求抛物线C的表达式；

（2）求点P的坐标；

（3）将抛物线C沿x轴向右平移d（d>0）个单位，得到抛物线C′，抛物线C′与抛物线C交于点M，如果以点P、Q、M为顶点的三角形是直角三角形，求抛物线C′的表达式．

搭配练习：

1.已知抛物线W:

y=x2-4x+2的顶点为A，与x轴交于点B、C。

（1）求∠ABC的正切值。

（2）若点P是抛物线W上的一点，过P做直线PQ垂直x轴，将抛物线W关于直线PQ对称，得到抛物线W'，设抛物线W'的顶点为A’，问：

是否存在这样的点P，使得ΔAPA'为直角三角形？

若存在，求出对称后的抛物线W'

的表达式；若不存在，请说明理由。

类型四：

等腰直角三角形

例4.如图，已知正方形OABC的边长为2，顶点A、C分别在x轴、y轴的正半轴上，E点是BC的中点，F是AB延长线上一点，且FB＝1.

（1）求经过O、A、E三点的抛物线的表达式；

（2）点P在抛物线上运动，当点P运动到什么位置时，△OAP的面积为2，请求出点P的坐标；

（3）在抛物线上是否存在一点Q，使△AFQ是等腰直角三角形？

若存在，写出点Q的坐标；若不存在，请说明理由．

搭配练习：

1.如图，已知抛物线C1过点A（-1,0）、B（3,0）、C（0，-3）。

（1）求抛物线C1的解析式；

（2）设该抛物线的对称轴与x轴交于点P，D为第四象限内的一点，若ΔCPD为等腰直角三角形。

求出D点的坐标；

（3）在

（2）的前提下将抛物线C1沿x轴上方且平行于x轴的某条直线翻折得抛物线C2，能否存在C2使其过点D。

若能，求出满足条件的C2的解析式；若不能，请说明理由。

二次函数与三角形全等和相似

一.二次函数与全等

例1．抛物线y1=﹣x2+1交x轴于A、C两点（点A在点C左侧），交y轴于点B，将抛物线向左平移4个单位得到抛物线y2，两条抛物线交于点D．

（1）求抛物线y2的解析式；

（2）点P是坐标平面内一点，若△ADC与△CDP全等，直接写出点P坐标；

变式1．已知抛物线y=

x2+bx+6

经过A（2，0），设顶点为点P，与x轴的另一交点为点B．

（1）求b的值，求出点P、点B的坐标；

（2）如图，在直线y=x上是否存在点D，使四边形OPBD为平行四边形？

若存在，求出点D的坐标；若不存在，请说明理由；

（3）在x轴下方的抛物线上是否存在点M，使△AMP≌△AMB？

如果存在，求出点M的坐标；如果不存在，试说明理由．

变式2．已知：

在平面直角坐标系xOy中，抛物线y=ax2﹣bx+c与

直线y=mx+n相交于点A（0，3）且经过点B（m﹣b，﹣m2+mb+n），其中a，b，c，m，n为实数，且a≠0，m≠0．

（1）求a的值；

（2）当m=1，b=2时，若第二象限中的点P（x，y）是抛物线y=ax2﹣bx+c上的任意一点，设点P到直线y=mx+n的距离为d，求d关于x的函数解析式，并求d取最大值时点P的坐标；

（3）将抛物线y=ax2﹣bx+c沿着它的对称轴x=﹣1向下平移1个单位长度，得到新抛物线，设新抛物线与y轴的交点为M，对称轴与x轴交于点N，动点R在对称轴上，问新抛物线上是否存在点Q，使以点N，Q，R为顶点的三角形与△MON全等？

若存在，直接写出所有符合条件的点Q的坐标；若不存在，请说明理由．

二.二次函数与相似

1.判断三角形相似

例2．如图，已知抛物线y=﹣

+bx+4与x轴相交于A、B两点，与y轴相交于点C，若已知B点的坐标为B（8，0）．

（1）求抛物线的解析式及其对称轴方程．

（2）连接AC、BC，试判断△AOC与△COB是否相似？

并说明理由．

变式1.如图，已知抛物线Y=-（x-1）2+1的图像与x轴交于A、B

两点（点A在点B左侧），与y轴交于点C.

（1）试判断△AOC与△COB是否相似;

（2）若点D是抛物线的顶点，DH垂直于x轴，垂足为H，试判断直

角三角形DHA与直角三角形COB是否相似？

说明理由．

变式2：

已知:

如图,抛物线y=-x2–bx+c与x轴、y轴分别相交于点A（-1，0）、B（0，3）两点，其顶点为D.

（1）求该抛物线的解析式；

（2）若该抛物线与x轴的另一个交点为E.求四边形ABDE的面积；

（3）△AOB与△BDE是否相似？

如果相似，请予以证明；如果不相似，请说明理由.

2.坐标轴上有一点使三角形相似

例3．如图，直线y=﹣x+3与x轴、y轴分别交于点B、点C，经过B、C两点的抛物线y=x2+bx+c与x轴的另一个交点为A，顶点为P．

（1）求该抛物线的解析式；

（2）连接AC，在x轴上是否存在点Q，使以P、B、Q为顶点的三角形与

△ABC相似？

若存在，请求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由．

变式1．如图，在平面直角坐标系xOy中，直线y=kx+3与x轴、y轴分别相交于点A、B，并与抛物线y=﹣x2+bx+的对称轴交于点C（2，2），抛物线的顶点是点D．

（1）求k和b的值；

（2）点G是y轴上一点，且以点B、C、G为顶点的三角形与△BCD相似，求点G的坐标；

3.抛物线的对称轴上有一点使三角形相似

例4．如图，抛物线y=﹣x2+bx+c与x轴分别交于点A、B，与y轴交于点C，且OA=1，OB=3，顶点为D，对称轴交x轴于点Q．

（1）求抛物线对应的二次函数的表达式；

（2）点P是抛物线的对称轴上一点，以点P为圆心的圆经过A、B两点，且与直线CD相切，求点P的坐标；

（3）在抛物线的对称轴上是否存在一点M，使得△DCM∽△BQC？

如果存在，求出点M的坐标；如果不存在，请说明理由．

4.抛物线上有一点使三角形相似

例5．如图，在平面直角坐标系中，直线y=

x+2与x轴交于点A，与y轴交于点C．抛物线y=ax2+bx+c的对称轴是x=﹣

且经过A、C两点，与x轴的另一交点为点B．

（1）求二次函数y=ax2+bx+c的表达式；

（2）若点P为直线AC上方的抛物线上的一点，连接PA，PC，BC．求四边形PABC面积的最大值，并求出此时点P的坐标；

（3）抛物线上是否存在点M，过点M作MN垂直x轴于点N，使得以点A，M，N为顶点的三角形与△ABC相似？

若存在，求出点M的坐标；若不存在，请说明理由．

变式1．在平面直角坐标系xOy中，已知抛物线y=﹣

与x轴交于A、B两点（点A在点B的左侧），交y轴的正半轴于点C，其顶点为M，MH⊥x轴于点H，MA交y轴于点N，sin∠MOH=

．

（1）求此抛物线的函数表达式；

（2）过H的直线与y轴相交于点P，过O，M两点作直线PH的垂线，垂足分别为E，

F，若

时，求点P的坐标；

（3）将

（1）中的抛物线沿y轴折叠，使点A落在点D处，连接MD，Q为

（1）中的抛物线上的一动点，直线NQ交x轴于点G，当Q点在抛物线上运动时，是否存在点Q，使△ANG与△ADM相似？

若存在，求出所有符合条件的直线QG的解析式；若不存在，请说明理由．

5.两个动点使三角形相似

例6.如图，四边形ABCO是平行四边形，AB=4，OB=2，抛物线过A、B、C三点，与x轴交于另一点D．一动点P以每秒1个单位长度的速度从B点出发沿BA向点A运动，运动到A停止，同时一动点Q从点D出发，以每秒3个单位长度的速度沿DC向点C运动，与点P同时停止．

（1）求抛物线的解析式；

（2）若抛物线的对称轴与AB交于点E，与x轴交于点F，当点P运动时间t为何值时，四边形POQE是等腰梯形？

（3）当t为何值时，以P、B、O为顶点的三角形与以点Q、B、O为顶点的三角形相似？