二次函数四边形存在问题.docx

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二次函数四边形存在问题

10道题解决二次函数四边形存在问题

[2017·四川成都中考]（12分）

如图1,在平面直角坐标系xOy中,抛物线C:

y=ax2+bx+c与x轴相交于A,B两点,顶点为D（0,4）,AB=4

设点F（m,0）是x轴的正半轴上一点,将抛物线C绕点F旋转180°,得到新的抛物线C'.

图1　　　　　　　　 　　　　图2

（1）求抛物线C的函数表达式;

（2）若抛物线C'与抛物线C在y轴的右侧有两个不同的公共点,求m的取值范围;

（3）如图2,P是第一象限内抛物线C上一点,它到两坐标轴的距离相等,点P在抛物线C'上的对应点为P',设M是C上的动点,N是C'上的动点,试探究四边形PMP'N能否成为正方形,若能,求出m的值;若不能,请说明理由.

[2016·辽宁葫芦岛中考]

如图,抛物线y=-

x2+bx+c与x轴交于点A,B,与y轴交于点C,点B坐标为（6,0）,点C坐标为（0,6）,点D是抛物线的顶点,过点D作x轴的垂线,垂足为点E,连接BD.

（1）求抛物线的解析式及点D的坐标;

（2）点F是抛物线上的动点,当∠FBA=∠BDE时,求点F的坐标;

（3）若点M是抛物线上的动点,过点M作MN∥x轴与抛物线交于点N,点P在x轴上,点Q在平面内,以线段MN为对角线作正方形MPNQ,请直接写出点Q的坐标.

[2016·四川眉山中考]

已知如图,在平面直角坐标系xOy中,点A,B,C分别为坐标轴上的三个点,且OA=1,OB=3,OC =4.

（1）求经过点A,B,C三点的抛物线的解析式;

（2）在平面直角坐标系xOy中是否存在一点P,使得以点A,B,C,P为顶点的四边形为菱形?

若存在,请求出点P的坐标;若不存在,请说明理由;

（3）若点M为该抛物线上一动点,在

（2）的条件下,请求出当|PM-AM|取最大值时点M的坐标,并直接写出|PM-AM|的最大值.

[2016·山东威海中考]

如图,抛物线y=ax2+bx+c的图象经过点A（-2,0）,B（4,0）,D（2,4）,与y轴交于点C,作直线BC,连接AC,CD.

 　　　　　　　　　　备用图1　　　备用图2

（1）求抛物线的函数表达式.

（2）E是抛物线上的点,求满足∠ECD=∠ACO的点E的坐标.

（3）点M在y轴上且位于点C上方,点N在直线BC上,点P为第一象限内抛物线上一点.若以点C,M,N,P为顶点的四边形是菱形,求菱形的边长.

[2016·锦州中考]

如图,在平面直角坐标系中,抛物线y=ax2+bx+

（其中a,b为常数,a≠0）经过点A（-1,0）和点B（3,0）,且与y轴交于点C,点D为对称轴与直线BC的交点.

（1）求该抛物线的表达式.

（2）抛物线上存在点P,使得△DPB∽△ACB,求点P的坐标.

（3）若点Q为点O关于直线BC的对称点,点M为直线BC上一点,点N为坐标平面内一点,是否存在这样的点M和点N,使得以Q,B,M,N为顶点的四边形是菱形?

若存在,请直接写出点N的坐标;若不存在,请说明理由.

[2017·烟台市]

如图1,抛物线y=ax2+bx+2与x轴交于A,B两点,与y轴交于点C,AB=4.矩形OBDC的边CD=1,延长DC交抛物线于点E.

 图1　　　　　　　　　　　　　　　图2

（1）求抛物线的表达式;

（2）如图2,点P是直线EO上方抛物线上的一个动点,过点P作y轴的平行线交直线EO于点G,作PH⊥EO,垂足为H.设PH的长为l,点P的横坐标为m,求l与m的函数关系式（不必写出m的取值范围）,并求出l的最大值;

（3）如果点N是抛物线对称轴上的一点,抛物线上是否存在点M,使得以M,A,C,N为顶点的四边形是平行四边形?

若存在,直接写出所有满足条件的点M的坐标;若不存在,请说明理由.

[2016·四川达州中考]

如图,已知抛物线y=ax2+2x+6（a≠0）交x轴于A,B两点（点A在点B左侧）,将直尺WXYZ与x轴负方向成45°放置,边WZ经过抛物线上的点C（4,m）,与抛物线的另一交点为点D,直尺被x轴截得的线段EF=2,且△CEF的面积为6.

（1）求该抛物线的解析式;

（2）探究:

在直线AC上方的抛物线上是否存在一点P,使得△ACP的面积最大?

若存在,请求出面积的最大值及此时点P的坐标;若不存在,请说明理由;

（3）将直尺以每秒2个单位的速度沿x轴向左平移,设平移的时间为t秒,平移后的直尺为W'X'Y'Z',其中边X' Y'所在的直线与x轴交于点M,与抛物线的其中一个交点为点N.请直接写出当t为何值时,可使得以C,D,M,N为顶点的四边形是平行四边形.

[2016·山东滨州中考]

如图,已知抛物线y=-

x2-

x+2与x轴交于A,B两点,与y轴交于点C.

（1）求点A,B,C的坐标.

（2）点E是此抛物线上的点,点F是其对称轴上的点,求以A,B,E,F为顶点的平行四边形的面积.

（3）此抛物线的对称轴上是否存在点M,使得△ACM是等腰三角形?

若存在,请求出点M的坐标;若不存在,请说明理由.

[2014·山东莱芜中考]

如图,过A（1,0）,B（3,0）作x轴的垂线,分别交直线y=4-x于C,D两点.抛物线y=ax2+bx+c经过O,C,D三点.

（1）求抛物线的表达式;

（2）点M为直线OD上的一个动点,过M作x轴的垂线交抛物线于点N,问是否存在这样的点M,使得以A,C,M,N为顶点的四边形为平行四边形?

若存在,求出此时点M的横坐标;若不存在,请说明理由;

（3）若△AOC沿CD方向平移（点C在线段CD上,且不与点D重合）,在平移的过程中△AOC与△OBD重叠部分的面积记为S,试求S的最大值.

[2014·山东济宁中考]

如图,抛物线y=

x2+bx+c与x轴交于A（5,0）,B（-1,0）两点,过点A作直线AC⊥x轴,交直线y=2x于点C.

（1）求该抛物线的解析式;

（2）求点A关于直线y=2x的对称点A'的坐标,判定点A'是否在该抛物线上,并说明理由;

（3）点P是抛物线上一动点,过点P作y轴的平行线,交线段CA'于点M,是否存在这样的点P,使四边形PACM是平行四边形?

若存在,求出点P的坐标;若不存在,请说明理由.