北师大版九年级数学上册第二章一元二次方程全章导学案.docx
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北师大版九年级数学上册第二章一元二次方程全章导学案
§2.1.1花边有多宽
（一）
【学习目标】
1．会根据具体问题列出一元二次方程。
通过“花边有多宽”，“梯子的底端滑动多少米”等问题的分析，列出方程，体会方程的模型思想，培养把文字叙述的问题转换成数学语言的能力。
2．通过分析方程的特点，抽象出一元二次方程的概念，培养归纳分析的能力。
3．会说出一元二次方程的一般形式，会把方程化为一般形式。
【学习重难点】
重点：
一元二次方程的概念
难点：
如何把实际问题转化为数学方程
【学法指导】
通过具体问题列出方程，化简方程，分析方程特点，抽象、归纳出一元二次概念和一般形式。
【知识链接】
1.什么是一元一次方程？
什么是二元一次方程？
【问题导学】
自学课本46页至48页内容，独立思考解答下列问题：
1.情境问题：
列方程解应用题：
一个面积为120m2的矩形苗圃，它的长比宽多2m。
苗圃的长和宽各是多少？
解：
设____________________,
列方程得：
_________________
你能将方程化成ax2+bx+c=0的形式吗？
2.阅读课本P48，回答问题：
1）什么是一元二次方程？
2）什么是一元二次方程的一般形式？
二次项及二次项系数、一次项及一次项系数、常数项？
3.课前小练：
把下列方程化成一元二次方程的一般形式，并写出它的二次项系数、一次项系数和常数项。
（1）3x2=5x-1
（2）（x+2）（x-1）=6（3）4-7x2=0
【合作探究】
1.一元二次方程应用举例：
1）一块四周镶有宽度相等的花边的地毯，如图所示，它的长为8m，宽为5m，如果地毯中央长方形图案的面积为18m2，那么花边有多宽?
如果设花边的宽为xm，那么地毯中央长方形图案的长为__________m，宽为___________m，根据题意，可得方程________________________。
化成一般形式得_______________。
2）求五个连续整数，使前三个数的平方和等于后两个数的平方和。
列出方程并化简。
如果设中间的一个数为x，则其余4个数可分别表示为_____、_____、______、______，可列方程为______________________________________化成一般形式得_______________。
3）如图，一个长为10m的梯子斜靠在墙上，梯子的顶端距地面的垂直距离为8m，如果梯子的顶端下滑1m，那么梯子的底端滑动多少米?
列出方程并化简。
由勾股定理可知，滑动前梯子底端距墙______m.如果设梯子底端滑动xm，那么滑动后梯子底端距墙_____m.根据题意，可得方程：
_____________________,化成一般形式得_______________。
2.知识梳理：
1）一元二次方程的概念：
强调三个特征：
①它是______方程；②它只含______未知数；③方程中未知数的最高次数是__________.
一元二次方程的一般形式：
_______________________，在任何一个一元二次方程中，_______是必不可少的项．
2）几种不同的表示形式：
①ax2+bx+c=0（a≠0,b≠0,c≠0）
②___________（a≠0,b≠0,c=0）
③____________（a≠0,b=0,c≠0）
④___________（a≠0,b=0,c=0）
【课堂练习】
1.判断下列方程是不是一元二次方程,并说明理由。
（1）x2-y=1
（2）1/x2-3=2（3）2x+x2=3（4）3x-1=0
（5）（5x+2）（3x-7）=15x2（k为常数）
（6）a+bx+c=0（7）
2.当a、b、c满足什么条件时，方程（a-1）x2-bx+c＝0是关于x的一元二次方程?
这时方程的二次项系数、一次项系数分别是什么?
当a、b、c满足什么条件时，方程（a-1）x2-bx+c＝0是关于x的一元一次方程?
注意：
（1）对于ax2＋bx＋c＝0，当a＝0，b≠0时，方程就是一元一次方程，当一个方程是一元二次方程时，则隐含了条件：
a≠0.
（2）要准确找出一个一元二次方程的二次项系数、一次项系数和常数项，必须把它先化为一般形式．
3.下列关于x的方程中，属于一元二次方程的有几个（）
①
，②
，
③
④
，
⑤
，⑥
A．6个B．5个C．4个D．3个
4.
化成一般形式后，二次项系数、一次项系数、常项分别为（）.
（A）2，-5，-3（B）2，-3，-5（C）2，5，-3（D）2，-5，3
【拓展延伸】
1.关于x的方程（k2－1）x2＋2（k－1）x＋2k＋2＝0,当k=______时，是一元二次方程．,当k=_______时，是一元一次方程．
2.当m=_________时，方程
是关于x的一元二次方程。
【感悟与收获】
1．一元二次方程属于“整式方程”，其次，它只含有一个未知数，并且都可以化为_______________________的形式．其中________是定义的一部分，不可漏掉，否则就不是一元二次方程了。
2．一元二次方程必须化为一般形式___________________________后，才能找它的项及系数。
【课堂检测】
1.下列叙述正确的是（）
A.形如ax2+bx+c=0的方程叫一元二次方程.
B.方程4x2+3x=6不含有常数项.
C.（2－x）2=0是一元二次方程.
D.一元二次方程中，二次项系数一次项系数及常数项均不能为0.
2.把方程（3x+2）2＝4（x-3）2化成一元二次方程的一般形式，并写出它的二次项系数、一次项系数和常数项.
【课后作业】
基础题：
课本48页随堂练习1、2，知识技能2
提高题：
课本49页知识技能1、问题解决3
【课后反思】
§2.1.1 花边有多宽
（二）导学案
【学习目标】
1．探索一元二次方程的解或近似解；
2．提高估算意识和能力；
3.通过探索方程的解，增进对方解的认识，发展估算意识和能力。
【学习重难点】
重点：
探索一元二次方程的解或近似解
难点：
估算意识和能力的培养．
【学法指导】
通过小组合作，采用列表计算的方法估算一元二次方程的近似解，理解方程解的意义。
【知识链接】
1．什么叫一元二次方程？
它的一般形式是什么？
2．指出下列方程的二次项系数，一次项系数及常数项。
（1）2x2―x＋1＝0
（2）―x2＋1＝0（3x2―x＝0
（4）―
x2＝0（5）（8-2x）（5-2x）=18
【问题导学】
1.P46花边问题中方程的一般形式：
________________________，你能求出x吗？
（1）x可能小于0吗？
说说你的理由；
（2）x可能大于4吗？
可能大于2.5吗？
为什么？
（3）完成下表
x
0
0.5
1
1.5
2
2.5
2x2―13x＋11
（4）你知道地毯花边的宽x（m）是多少吗？
还有其他求解方法吗？
与同伴交流。
【合作探究】
通过估算求近似解的方法：
先根据实际问题确定其解的大致范围，再通过具体的列表计算进行两边“夹逼”，逐步求得近似解。
例题1：
P47梯子问题
梯子底端滑动的距离x（m）满足（x＋6）2＋72＝102
一般形式：
______________________
（1）你认为底端也滑动了1米吗？
为什么？
（2）底端滑动的距离可能是2m吗？
可能是3m吗？
（3）你能猜出滑动距离x（m）的大致范围吗？
x的整数部分是几？
（4）填表计算：
x
1
1.5
2
x2＋12x―15
进一步计算
x
x2＋12x―15
十分位是几？
照此思路可以估算出x的百分位和千分位。
【课堂练习】
见课本P51页随堂练习
【拓展延伸】
1．一元二次方程
有两个解为1和-1，则有
____________，且有
________.
2．若关于x的方程
有一个根为-1，则m=_____________.
3．用平方根的意义求下列一元二次方程的准确解：
（1）
（2）
（3）
（4）
（5）
感悟与收获：
解形如（x＋m）2＝n（n≥0）的一元二次方程，可用_____________法，求得方程的根为：
___________________________.
【课堂小结】
本节课我们通过解决实际问题，探索了一元二次方程的解或近似解，并了解了近似计算的重要思想——“夹逼”思想．估计方程的近似解可用列表法求，估算的精度不要求很高。
【课堂检测】
用直接开平方法解下列一元二次方程：
（1）
（2）
（3）
【课后作业】
基础题：
51页知识技能1
提高题：
1.完成基础题；2.课本52页知识技能2，数学理解3
【课后反思】
§2.2 配方法
（1）导学案
【学习目标】
1．会用开平方法解形如（x＋m）2＝n（n≥0）的方程；
2．理解一元二次方程的解法——配方法．
3．把一元二次方程通过配方转化为（x十m）2＝n（n≥0）的形式，体会转化的数学思想。
【学习重难点】
重点：
利用配方法解一元二次方程
难点：
把一元二次方程通过配方转化为（x十m）2＝n（n≥0）的形式
【知识链接】
1．用直接开平方法解下列方程：
（1）x2＝9
（2）（x＋2）2＝16（3）（x+1）2－144=0（4）
（2x+1）2=3
2．什么是完全平方公式？
利用公式计算：
（1）（x＋6）2
（2）（x－
）2
注意：
它们的常数项等于______________________________。
3．配方：
填上适当的数，使下列等式成立：
（1）x2＋12x＋_____＝（x＋6）2
（2）x2―4x＋______＝（x―____）2
（3）x2＋8x＋______＝（x＋_____）2
从上可知：
常数项配上______________________________.
【自主探究】
预习课本53-54页,解方程：
x2＋12x－15＝0（配方法）
解：
移项，得：
________________
配方，得：
__________________.（两边同时加上__________的平方）
即：
_____________________
开平方，得：
_____________________
即：
______________________
所以：
_________________________
【知识梳理】
配方法：
通过配成_____________的方法得到了一元二次方程的根，这种解一元二次方程的方法称为配方法。
【合作探究】
例1：
解方程：
x2＋8x―9＝0
分析：
先把它变成______________的形式再用______________法求解。
解：
移项，得：
___________________
配方，得：
__________________
（两边同时加上________________）
即：
_____________________
开平方，得：
_____________________
即：
______________________
所以：
_________________________
注意：
用配方法解一元二次方程的基本思路：
将方程转化为_____________的形式，它的一边是一个_________，另一边是一个常数。
当_________时，两边___________便可求出它的根；当_____________时，原方程无解.
【课堂练习】
1．
（1）x2―2x＋_____＝（x―___）2
（2）x2＋x＋_____＝（x＋_____）2
（3）x2―x＋_______＝（x―____）2（4）x2―x＋_______＝（x―___）2
2．用配方法解下列方程：
（1）x
一l0x十25＝7；
（2）（3）
【拓展延伸】
1．1）若x2+4=0，则此方程解的情况是____________.
2）若2x2－7=0，则此方程的解的情况是__________.
3）若5x2=0，则方程解为_________
2．由上题总结方程ax2+c=0（a≠0）的解的情况是：
①当ac＞0时__________________；
②当ac=0时__________________；
③当ac＜0时__________________.
3．关于x的方程（x+m）2=n,下列说法正确的是（）
A.有两个解x=±B.两个解x=±－m
C.当n≥0时，有两个解x=±D.当n≤0时，方程无实根
【感悟与收获】
（1）什么叫配方法？
_________________________________________________
（2）配方法的基本思路是什么？
____________________________________________
（3）怎样配方？
__________________________________________________________
【课堂检测】
1．一元二次方程x2－2x－m=0，用配方法解该方程，配方后的方程为（）
A.（x－1）2=m2+1B.（x－1）2=m－1C.（x－1）2=1－mD.（x－1）2=m+1
2．用配方法解方程：
【课后作业】
基础题：
课本55页随堂练习，知识技能1
提高题：
课本55页知识技能2、3
【课后反思】
§2.2 配方法
（2）导学案
【学习目标】
1．会利用配方法解简单的数字系数的一元二次方程．
2．进一步理解配方法的解题思路，掌握用配方法解一元二次方程的基本步骤．
【学习重难点】
重点：
用配方法求解一元二次方程
难点：
理解配方法的解题思路
【知识链接】
1．把下列各式配成完全平方式：
（1）
（2）
（3）（4）
2．已知方程ax2+c=0（a≠0）有实数根，则a与c的关系是（）
A.c=0B.c=0或a、c异号C.c=0或a、c同号D.c是a的整数倍
3．用配方法解下列方程：
（1）
（2）
【自主探究】
1.用配方法解方程2x2－4x－1=0
①方程两边同时除以2得_________
②移项得__________________
③配方得__________________
即:
____________________________
④方程两边开方得_______________
即：
____________________________
⑤x1=__________,x2=__________
【知识梳理】
用配方法解一元二次方程的步骤：
（1）变形：
把一元二次方程化成________；两边同除以_________，使______化为1。
（2）移项，将方程中的_________移到方程的左边。
（3）配方：
方程两边同时加上_________________，将左边配成_________的形式；
（4）开方：
方程两边同时_____，使方程降次，得到______方程。
（5）解得：
解一元一次方程，最终得出原方程的____。
例2：
解方程：
3x2＋8x―3＝0
解：
两边都除以____，得：
__________________
移项，得：
__________________
配方，得：
（方程两边都加上________________的平方）___________________________
开平方，得：
__________________
所以:
____________________________________
【课堂练习】
用配方法解下列方程：
（1）
（2）
【感悟与收获】
用配方法解一元二次方程的步骤：
（1）__________________________
（2）___________________________
（3）___________________________
（4）___________________________
（5）____________________________
【课堂检测】
用配方法解下列方程时，配方错误的是（）．
A．
，化为
B．
，化为
C．
，化为
D．
，化为
【课后拓展延伸】
一小球以15m/s的初速度竖直向上弹出，它在空中的高度h（m）与时间t（s）满足关系：
h＝15t―5t2。
小球何时能达到10m高？
【课后作业】
基础题：
课本57页随堂练习1，课本58页知识技能1
提高题：
课本58页问题解决2，联系拓广3
【课后反思】
§2.2 配方法（3）导学案
【学习目标】
1．利用方程解决实际问题
2．进一步掌握用配方法解题的技能
3．会解决简单的开放性问题，即如何设计方案问题
【学习重难点】
重点：
利用方程解决实际问题
难点：
开放性问题的解决，即如何设计方案
【知识链接】
1．求
（1）x2=n（n>0）的解，
（2）（x+m）2=n（n>0）的解
2．配方：
（1）x2―3x＋_______＝（x―____）2
（2）x2―5x＋_______＝（x―____）2
3．用配方法解一元二次方程的步骤是什么？
4．用配方法解下列一元二次方程：
（1）3x2―1＝2x
（2）
【合作探究】
1.在一块长为16m，宽12m的矩形荒地上，要建造一个花园，并使花园所占面积为荒地面积的一半，你能给出设计方案吗？
小明：
我的设计方案如右图所示，其中
花园四周小路的宽度相等。
（1）设花园四周小路的宽度均为xm，可列怎样
的一元二次方程？
（2）求出一元二次方程的解？
（3）这两个解都合要求吗？
为什么？
2．小亮：
我的设计方案如图所示，其中花园每个角上
的扇形都相同。
你能帮小亮求出图中的x吗？
（1）设花园四角的扇形半径均为xm，可列
怎样的一元二次方程？
（2）估算一元二次方程的解是什么？
（∏取3）
（3）符合条件的解是多少？
3、你还有其他设计方案吗？
请设计出来与同伴交流。
【课堂练习】
课本62页随堂练习1变式训练：
课本55页问题解决2
【拓展延伸】
课本63页联系拓广
【课堂检测】
课本79页问题解决14题
【感悟与收获】
1.本节内容的设计方案不只一种，只要符合条件即可。
2.一元二次方程的解一般有________个，要根据_________舍去不合题意的解。
【课后作业】
基础题：
课本62页问题解决1
提高题：
课本62页问题解决2、3
【课后反思】
§2.3 公式法导学案
【目标、重点、难点】
1．一元二次方程的求根公式的推导；
2．会用求根公式解一元二次方程。
3.求根公式的条件：
b2－4ac
0。
【回顾与复习】
1、用配方法解一元二次方程的步骤有哪些？
2、用配方法解方程：
（1）2x2+3=7x
（2）3x2+2x+1=0
（3）ax2＋bx＋c＝0（a≠0）
导学案
【总结】
1、一般地，对于一元二次方程ax2＋bx＋c＝0（a≠0），当b2－4ac≥0时，它的根是x＝
注意：
当b2－4ac<0时，一元二次方程无实数根。
2、公式法：
上面这个式子称为一元二次方程的求根公式。
利用求根公式解一元二次方程的方法叫做公式法。
【例题讲析】
例：
解方程：
2x2＋7x＝4
（2）x2-
x+2=0
（3）2x2-5x+4=0
小结：
用公式法解一元二次方程的步骤：
化成一般形式；
确定a,b,c的数值；
求出b2－4ac的数值，并判别其是否是非负数；
若b2－4ac≥0，用求根公式求出方程的根，
若b2－4ac<0，直接写出原方程无解，不要代入求根公式。
【课堂练习】
1、练习：
不解方程判断下列方程是否有解：
（1）2x2+3=7x
（2）x2-7x=18
（3）3x2+2x+1=0（4）9x2+6x+1=0
（5）16x2+8x=3（6）2x2-9x+8=0
总结：
根的判别式：
______________
1）当b2－4ac____0时，一元二次方程有两个不相等的实数根；
2）当b2－4ac_____0时，一元二次方程有两个相等的实数根；
3）当b2－4ac______0时，一元二次方程无实数根。
2、见书P65课堂练习1
【拓展与延伸】
1、关于x的方程x2-2x+m=0有实数根，则m______
2、已知方程5x2+kx-10=0的一个根是-5，求它的另一个根及k的值。
【感悟与收获】
（1）求根公式：
（2）利用求根公式解一元二次方程的步骤：
【随堂检测】
1、下列一元二次方程中，有实根的方程是（）
（1）x2-x+1=0
（2）x2-2x+3=0
（3）x2+x-1=0（4）x2+4=0
2、用公式法解方程：
【课后作业】
基础题：
书P66知识技能1
同步P38同步练习1、2、3、4
提高题；
1）书P65-66课堂练习2
知识技能1问题解决2、3
2）同步P38同步4、拓展1、2、3
§2.4 分解因式法导学案
【目标、重点、难点】
1．能根据具体一元二次方程的特征，灵活选择方程的解法。
体会解决问题方法的多样性。
2．会用分解因式（提公因式法、公式法）解某些简单的数字系数的一元二次方程
【预习小练】
1、用配方法解一元二次方程的关键是将方程转化为_________________的形式。
2、用公式法解一元二次方程应先将方程化为_________________，再用求根公式__________________求解,根的判别式：
______________。
1）当b2－4ac____0时，一元二次方程有两个实数根；
2）当b2－4ac______0时，一元二次方程无实数根。
3、选择合适的方法解下列方程：
①x2-6x=7
②10（x＋1）2－25（x＋1）＋10＝0
4、分解因式：
（1）5x2－4x
（2）x－2－x（2－x）
（3）（x+1）2－25（4）4x2－12xy+9y2
5、一个数的平方与这个数的3倍有可能相等吗？
如果相等，这个数是几？
你是怎样求出来的？
6、用分解因式法解下列方程：
1）3x（x－1）=0;
2）（2x－1）（x+1）=0
导学案
【总结】
1、分解因式法：
利用分解因式来解一元二次方程的方法叫分解因式法。
2、因式分解法的理论根据是：
如果ab=0,则a=0或b=0。
例1：
解下列方程：
1）5x2＝4x 2）x－2＝x（x－2）
3）（x＋1）2－25＝0。
4）4（2x-1）2＝9（x+4）2；
5）
总结：
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