北师大版九年级数学上册第二章一元二次方程全章导学案.docx

1、北师大版九年级数学上册第二章一元二次方程全章导学案2.1.1花边有多宽(一) 【学习目标】1会根据具体问题列出一元二次方程。通过“花边有多宽”，“梯子的底端滑动多少米”等问题的分析，列出方程，体会方程的模型思想，培养把文字叙述的问题转换成数学语言的能力。2通过分析方程的特点，抽象出一元二次方程的概念，培养归纳分析的能力。3会说出一元二次方程的一般形式，会把方程化为一般形式。【学习重难点】重点：一元二次方程的概念难点：如何把实际问题转化为数学方程【学法指导】 通过具体问题列出方程，化简方程，分析方程特点，抽象、归纳出一元二次概念和一般形式。【知识链接】1.什么是一元一次方程？什么是二元一次方程？

2、【问题导学】自学课本46页至48页内容，独立思考解答下列问题：1.情境问题：列方程解应用题：一个面积为120 m2的矩形苗圃，它的长比宽多2m。苗圃的长和宽各是多少？解：设_,列方程得：_你能将方程化成ax2+bx+c=0的形式吗？2.阅读课本P48，回答问题：1）什么是一元二次方程？2）什么是一元二次方程的一般形式？二次项及二次项系数、一次项及一次项系数、常数项？3.课前小练：把下列方程化成一元二次方程的一般形式，并写出它的二次项系数、一次项系数和常数项。（1）3x2=5x-1 （2）(x+2)(x-1)=6 （3）4-7x2=0【合作探究】1.一元二次方程应用举例：1）一块四周镶有宽度相等

3、的花边的地毯，如图所示，它的长为8m，宽为5m，如果地毯中央长方形图案的面积为18m2，那么花边有多宽?如果设花边的宽为xm，那么地毯中央长方形图案的长为_m，宽为_m，根据题意，可得方程_。化成一般形式得_。2）求五个连续整数，使前三个数的平方和等于后两个数的平方和。 列出方程并化简。如果设中间的一个数为x，则其余4个数可分别表示为_、_、_、_，可列方程为_化成一般形式得_。3）如图，一个长为10m的梯子斜靠在墙上，梯子的顶端距地面的垂直距离为8m，如果梯子的顶端下滑1m，那么梯子的底端滑动多少米? 列出方程并化简。由勾股定理可知，滑动前梯子底端距墙_m.如果设梯子底端滑动x m，那么滑动

4、后梯子底端距墙_m.根据题意，可得方程：_ ,化成一般形式得_。2.知识梳理：1）一元二次方程的概念：强调三个特征：它是_方程；它只含_未知数；方程中未知数的最高次数是_.一元二次方程的一般形式：_，在任何一个一元二次方程中，_是必不可少的项2）几种不同的表示形式：ax2+bx+c=0 (a0,b0,c0) _ (a0,b0,c=0)_ (a0,b=0,c0)_ (a0,b=0,c=0)【课堂练习】1.判断下列方程是不是一元二次方程,并说明理由。（1）x2-y=1 (2) 1/ x2-3=2 (3)2x+ x2=3 (4)3x-1=0 (5) (5x+2)(3x-7)=15 x2（k为常数）(

5、6)a +bx+c=0 (7)2.当a、b、c满足什么条件时，方程(a-1)x2-bx+c0是关于x的一元二次方程?这时方程的二次项系数、一次项系数分别是什么?当a、b、c满足什么条件时，方程(a-1)x2-bx+c0是关于x的一元一次方程?注意：(1) 对于ax2bxc0，当a0，b0时，方程就是一元一次方程，当一个方程是一元二次方程时，则隐含了条件：a0.(2)要准确找出一个一元二次方程的二次项系数、一次项系数和常数项，必须把它先化为一般形式3.下列关于x的方程中，属于一元二次方程的有几个（ ）， ， ， ， A6个 B 5个 C4个 D3个4.化成一般形式后，二次项系数、一次项系数、常项

6、分别为（ ）.（A）2，-5，-3 （B）2，-3，-5 （C）2，5，-3 （D）2，-5，3【拓展延伸】1.关于x的方程(k21)x2 2 (k1) x 2k 20,当k =_时，是一元二次方程,当k=_时，是一元一次方程2.当m=_时，方程是关于x的一元二次方程。【感悟与收获】1一元二次方程属于“整式方程”，其次，它只含有一个未知数，并且都可以化为_的形式其中_是定义的一部分，不可漏掉，否则就不是一元二次方程了。2一元二次方程必须化为一般形式_后，才能找它的项及系数。【课堂检测】1.下列叙述正确的是（ ）A.形如ax2+bx+c=0的方程叫一元二次方程.B.方程4x2+3x=6不含有常数

7、项.C.(2x)2=0是一元二次方程.D.一元二次方程中，二次项系数一次项系数及常数项均不能为0.2.把方程(3x+2)24(x-3)2化成一元二次方程的一般形式，并写出它的二次项系数、一次项系数和常数项.【课后作业】基础题：课本48页随堂练习1、2，知识技能2提高题：课本49页知识技能1、问题解决3【课后反思】2.1.1花边有多宽(二) 导学案【学习目标】1探索一元二次方程的解或近似解；2提高估算意识和能力；3. 通过探索方程的解，增进对方解的认识，发展估算意识和能力。【学习重难点】重点：探索一元二次方程的解或近似解难点：估算意识和能力的培养【学法指导】 通过小组合作，采用列表计算的方法估算

8、一元二次方程的近似解，理解方程解的意义。【知识链接】1什么叫一元二次方程？它的一般形式是什么？2指出下列方程的二次项系数，一次项系数及常数项。（1）2 x2x10 (2)x210 (3 x2x0 (4) x20 (5）（8-2x）(5-2x)=18【问题导学】1.P46花边问题中方程的一般形式：_，你能求出x吗？（1）x可能小于0吗？说说你的理由；（2）x可能大于4吗？可能大于2.5吗？为什么？（3）完成下表x00.511.522.52 x213x11（4）你知道地毯花边的宽x(m)是多少吗？还有其他求解方法吗？与同伴交流。【合作探究】通过估算求近似解的方法：先根据实际问题确定其解的大致范围，

9、再通过具体的列表计算进行两边“夹逼”，逐步求得近似解。例题1：P47梯子问题梯子底端滑动的距离x（m）满足 (x6)272102一般形式：_（1）你认为底端也滑动了1米吗？为什么？（2）底端滑动的距离可能是2m吗？可能是3m吗？（3）你能猜出滑动距离x(m)的大致范围吗？x的整数部分是几？（4）填表计算：x11.52x212x15进一步计算xx212x15十分位是几？照此思路可以估算出x的百分位和千分位。【课堂练习】见课本P51页随堂练习【拓展延伸】1一元二次方程有两个解为1和-1，则有 _，且有_.2若关于x的方程有一个根为-1，则m=_.3用平方根的意义求下列一元二次方程的准确解：（1）

10、（2） （3）（4） （5）感悟与收获：解形如(xm)2n(n0)的一元二次方程，可用_法，求得方程的根为：_. 【课堂小结】本节课我们通过解决实际问题，探索了一元二次方程的解或近似解，并了解了近似计算的重要思想“夹逼”思想估计方程的近似解可用列表法求，估算的精度不要求很高。【课堂检测】用直接开平方法解下列一元二次方程：（1） （2） （3）【课后作业】基础题： 51页知识技能1提高题：1.完成基础题；2.课本52页知识技能2，数学理解3【课后反思】2.2配方法（1） 导学案【学习目标】1会用开平方法解形如(xm)2n (n0)的方程；2理解一元二次方程的解法配方法3把一元二次方程通过配方转化

11、为(x十m)2n(n0)的形式，体会转化的数学思想。【学习重难点】重点：利用配方法解一元二次方程难点：把一元二次方程通过配方转化为(x十m)2n(n0)的形式【知识链接】1用直接开平方法解下列方程：（1）x29 （2）(x2)216 (3) (x+1)2144=0 (4) (2x+1)2=3 2什么是完全平方公式？利用公式计算：（1）(x6)2 （2）(x)2注意：它们的常数项等于_。3配方：填上适当的数，使下列等式成立：（1）x212x_(x6)2 （2）x24x_(x_)2（3）x28x_(x_)2从上可知：常数项配上_.【自主探究】预习课本53-54页,解方程：x212x150（配方法）

12、解：移项，得：_配方，得：_.（两边同时加上_的平方）即：_开平方，得：_即：_所以：_【知识梳理】配方法：通过配成_的方法得到了一元二次方程的根，这种解一元二次方程的方法称为配方法。【合作探究】例1：解方程：x28x90分析：先把它变成_的形式再用_法求解。解：移项，得：_配方，得：_（两边同时加上_）即：_开平方，得：_即：_所以：_注意：用配方法解一元二次方程的基本思路：将方程转化为_ 的形式，它的一边是一个_，另一边是一个常数。当_时，两边_便可求出它的根；当_时，原方程无解.【课堂练习】1（1）x22x_(x_)2 （2）x2x_(x_)2(3) x2 x_(x_)2 (4) x2

13、x_(x_)22用配方法解下列方程：(1) x一l0x十257； (2) （3） 【拓展延伸】11）若x2+4=0，则此方程解的情况是_.2）若2x27=0，则此方程的解的情况是_.3）若5x2=0，则方程解为_2由上题总结方程ax2+c=0(a0)的解的情况是：当ac0时_；当ac=0时_；当ac0时_.3关于x的方程(x+m)2=n,下列说法正确的是( )A.有两个解x= B.两个解x= mC.当n0时，有两个解x= D.当n0时，方程无实根【感悟与收获】（1）什么叫配方法？_（2）配方法的基本思路是什么？_（3）怎样配方？_【课堂检测】1一元二次方程x22xm=0，用配方法解该方程，配方

14、后的方程为（ ）A.(x1)2=m2+1 B.(x1)2=m1 C.(x1)2=1m D.(x1)2=m+12用配方法解方程：【课后作业】基础题：课本55页随堂练习，知识技能1提高题：课本55页知识技能2、3【课后反思】 2.2配方法（2） 导学案【学习目标】1会利用配方法解简单的数字系数的一元二次方程2进一步理解配方法的解题思路，掌握用配方法解一元二次方程的基本步骤【学习重难点】 重点：用配方法求解一元二次方程 难点：理解配方法的解题思路【知识链接】1把下列各式配成完全平方式：（1） （2）（3） （4）2已知方程ax2+c=0(a0)有实数根，则a与c的关系是（ ）A.c=0 B.c=0或

15、a、c异号 C.c=0或a、c同号 D.c是a的整数倍3用配方法解下列方程：（1） （2）【自主探究】1.用配方法解方程2x24x1=0方程两边同时除以2得_移项得_配方得_即:_方程两边开方得_即：_x1=_,x2=_【知识梳理】用配方法解一元二次方程的步骤：（1）变形：把一元二次方程化成_；两边同除以_，使_ _化为1。（2）移项，将方程中的 _移到方程的左边。（3）配方：方程两边同时加上_，将左边配成 _ _ 的形式；（4）开方：方程两边同时_ _，使方程降次，得到_ _方程。（5）解得：解一元一次方程，最终得出原方程的_。例2：解方程：3x28x30 解：两边都除以_，得：_移项，得：

16、_配方，得：（方程两边都加上_的平方）_开平方，得：_所以: _【课堂练习】用配方法解下列方程： (1) （2）【感悟与收获】用配方法解一元二次方程的步骤：（1）_（2）_（3）_（4）_(5)_【课堂检测】用配方法解下列方程时，配方错误的是（ ）A，化为 B，化为C，化为 D，化为【课后拓展延伸】一小球以15m/s的初速度竖直向上弹出，它在空中的高度h（m）与时间t（s）满足关系：h15t5t2。小球何时能达到10m高？【课后作业】基础题：课本57页随堂练习1，课本58页知识技能1提高题：课本58页问题解决2，联系拓广3【课后反思】2.2配方法（3） 导学案【学习目标】1利用方程解决实际问题

17、2进一步掌握用配方法解题的技能3会解决简单的开放性问题，即如何设计方案问题【学习重难点】重点：利用方程解决实际问题难点：开放性问题的解决，即如何设计方案【知识链接】1求（1）x2 = n (n0)的解， （2）（x+m）2 = n (n0)的解2配方：（1）x23x_(x_)2 （2）x25x_(x_)23用配方法解一元二次方程的步骤是什么？4用配方法解下列一元二次方程：（1）3x212x (2) 【合作探究】1.在一块长为16m，宽12m的矩形荒地上，要建造一个花园，并使花园所占面积为荒地面积的一半，你能给出设计方案吗？小明：我的设计方案如右图所示，其中花园四周小路的宽度相等。（1）设花园四

18、周小路的宽度均为xm，可列怎样的一元二次方程？（2）求出一元二次方程的解？（3）这两个解都合要求吗？为什么？2小亮：我的设计方案如图所示，其中花园每个角上的扇形都相同。你能帮小亮求出图中的x吗？（1）设花园四角的扇形半径均为xm，可列怎样的一元二次方程？（2）估算一元二次方程的解是什么？（取3）（3）符合条件的解是多少？3、你还有其他设计方案吗？请设计出来与同伴交流。【课堂练习】课本62页随堂练习1 变式训练：课本55页问题解决2【拓展延伸】课本63页联系拓广【课堂检测】课本79页问题解决14题【感悟与收获】1.本节内容的设计方案不只一种，只要符合条件即可。2.一元二次方程的解一般有_个，要根

19、据_舍去不合题意的解。【课后作业】基础题：课本62页问题解决1提高题：课本62页问题解决2、3 【课后反思】2.3公式法 导学案【目标、重点、难点】1一元二次方程的求根公式的推导；2会用求根公式解一元二次方程。3.求根公式的条件：b24ac0。【回顾与复习】1、用配方法解一元二次方程的步骤有哪些？2、用配方法解方程： (1)2x2+3=7x (2)3x2+2x+1=0（3）ax2bxc0(a0) 导学案【总结】1、一般地，对于一元二次方程ax2bxc0(a0)，当b24ac0时，它的根是x注意：当b24ac0时，一元二次方程无实数根。2、公式法：上面这个式子称为一元二次方程的求根公式。利用求根

20、公式解一元二次方程的方法叫做公式法。【例题讲析】例：解方程：2x27x4（2）x2-x+2=0 (3) 2x2-5x+4=0小结：用公式法解一元二次方程的步骤：化成一般形式；确定a,b,c的数值；求出b24ac的数值，并判别其是否是非负数；若b24ac0，用求根公式求出方程的根，若b24ac0，直接写出原方程无解，不要代入求根公式。【课堂练习】1、练习：不解方程判断下列方程是否有解：(1) 2x2+3=7x （2）x2-7x=18 （3）3x2+2x+1=0（4）9x2+6x+1=0 (5)16x2+8x=3 (6) 2x2-9x+8=0总结：根的判别式：_1）当b24ac_0时，一元二次方程

21、有两个不相等的实数根；2）当b24ac_0时，一元二次方程有两个相等的实数根；3）当b24ac_0时，一元二次方程无实数根。2、见书P65课堂练习1【拓展与延伸】1、关于x的方程x2-2x+m=0有实数根，则m_2、已知方程5x2+kx-10=0的一个根是-5，求它的另一个根及k的值。【感悟与收获】（1）求根公式：（2）利用求根公式解一元二次方程的步骤：【随堂检测】1、下列一元二次方程中，有实根的方程是（ ） （1）x2-x+1=0 （2）x2-2x+3=0（3）x2+x-1=0 （4）x2+4=02、用公式法解方程：【课后作业】基础题：书P66知识技能1 同步P38同步练习1、2、3、4提高

22、题；1）书P65-66课堂练习2知识技能1问题解决2、32）同步P38同步4、拓展1、2、32.4分解因式法 导学案【目标、重点、难点】1能根据具体一元二次方程的特征，灵活选择方程的解法。体会解决问题方法的多样性。2会用分解因式（提公因式法、公式法）解某些简单的数字系数的一元二次方程【预习小练】1、用配方法解一元二次方程的关键是将方程转化为_的形式。 2、用公式法解一元二次方程应先将方程化为_，再用求根公式_求解, 根的判别式：_。1）当b24ac_0时，一元二次方程有两个实数根；2）当b24ac_0时，一元二次方程无实数根。3、选择合适的方法解下列方程：x2-6x=7 10(x1)225(x1)1004、分解因式：（1）5 x24x（2）x2x(2x) (3) (x+1)225 (4) 4x212xy+9y25、一个数的平方与这个数的3倍有可能相等吗？如果相等，这个数是几？你是怎样求出来的？6、用分解因式法解下列方程：1）3x(x1)=0; 2) (2x1)(x+1)=0 导学案【总结】1、分解因式法：利用分解因式来解一元二次方程的方法叫分解因式法。2、因式分解法的理论根据是：如果ab=0,则a=0或b=0。 例1：解下列方程：1）5x24x 2）x2x(x2)3）(x1)2250。4）4(2x-1)29(x+4)2；5）总结：