北师大 数学必修3统计同步讲义 第8节 相关性.docx
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北师大数学必修3统计同步讲义第8节相关性
§8相关性
右图横轴标目中1.0为多喝茶组、2.0为少喝茶组、
3.0为不喝茶组。
图中可见，饮茶对提高人体血清铁（Fe）
和锌（Zn）的含量有明显的作用，且饮茶量越大，效果越明显；
但对锰（Mn）的作用较小，饮茶量与效果的关系不明显。
饮茶与人体血清微量元素的关系图
通过上面的分析,你是否能够初步了解饮茶与人体健康间的相互关系了呢?
❶研习教材重难点
研习点1:
.散点图
在必修1中我们学习了函数，函数中两个变量之间有着一定的关系，如函数y＝2x中因变量y随着自变量x的变化而变化；生活中也存在一些有明显的函数关系的两个变量,比如神舟六号在飞行的每个时刻t都有一个确定的速度v，t和v之间也是函数关系。
这种函数关系比较理想和准确地反映两个变量之间的关系,但有一些并不存在明显函数关系的两个变量,如对身高与体重等变量它们之间不满足函数关系，单仍然存在着一定的相关性问题.
在考虑两个量的关系时，为了对变量之间的关系有一个大致的了解，人们通常将变量所对应的点描出来，这些点就组成了变量之间的一个图，通常把这种图叫做变量之间的散点图.
作散点图即将样本中n个数据点（xi,yi）（i=l，2，…,n）描在平面直角坐标系中，以表示具有相关关系的两个变量的一组数据的。
散点图可以形象的反映了各对数据的密切程度，通过对图中的点的趋势可以得出两个变量之间是不是存在一定的关系.
【知识·链接】应用SPSS程序绘制散点图
选Graphs菜单的Scatter...过程，弹出Scatterplot定义选项框，散点图有4种，Simple为单层散点图，Overlay为多层散点图，Matrix为矩阵散点图，3-D为立体散点图，本例选用单层散点图。
然后点击Define钮，弹出SimpleScatterplot对话框，在左侧的变量列表中选data点击钮使之进入YAxis框，选cate1点击钮使之进入XAxis框（如上图中,指定饮茶状况为横轴标目）,选cate2点击钮使之进入SetMarkersby框（指定微量元素种类为散点标志）。
点击Titles...钮，弹出Titles对话框，在Title栏内输入“饮茶与人体血清微量元素的关系”，点击Continue钮返回SimpleScatterplot对话框，再点击OK钮即完成。
散点图选项框散点图绘制对话框
典例1.在一次对人体脂肪含量和年龄关系的研究中，研究人员得到了一组数据（如下表）：
人体的脂肪百分比和年龄
年龄
23
27
39
41
45
49
50
脂肪
9.5
17.8
21.2
25.9
27.5
26.3
28.2
年龄
53
54
56
57
58
60
61
脂肪
29.6
30.2
31.4
30.8
33.5
35.2
34.6
请根据上表作出人体的脂肪含量与年龄之间的散点图.
[研析]人体的脂肪含量与年龄之间的散点图如下图所示.
研习点2:
线性关系
1.由散点图判断变量的相关性
从散点图上看，如果变量之间存在着某种关系，这些点会有一个大致的趋势（如图a、图b），这种趋势通常可以用一条光滑的曲线来近似，这样近似的过程称为曲线拟合.
（1）若在两个变量x和y的散点图中，所有点看上去都在一条直线附近波动，则称变量间是线性相关的.此时，我们可以有一条直线来近似表示（如图a）.
（2）若所有点看上去都在某条曲线（不是一条直线）附近波动，则称此相关为非线性相关.此时，可以用一条曲线来拟合（如图b）.
（3）如果所有的点在散点图中没有显示任何关系，则称变量间是不相关的（如图c）.
【领悟·整合】如何理解相关性及其相关关系?
其与函数关系有哪些不同?
（1）相同点:
两者均是指两上变量的关系.
（2）相关关系与函数关系不同.因为函数关系是一种非常确定的关系，而相关关系是一种非确定性关系，即相关关系是非随机变量与随机变量之间的关系.而函数关系可以看成是两个非随机变量之间的关系.因此，不能把相关关系等同于函数关系.
（3）函数关系是一种因果关系，而相关关系不一定是因果关系，也可能是伴随关系.例如，有人发现，对于在校儿童，鞋的大小与阅读能力有很强的相关关系.然而，学会新词并不能使脚变大，而是涉及到第三个因素——年龄.当儿童长大一些，他们的阅读能力会提高而且由于长大脚也变大.
（4）在现实生活中存在着大量的相关关系，如何判断和描述相关关系，统计学发挥着非常重要的作用.变量之间的相关关系带有不确定性，这需要通过收集大量的数据，对数据进行统计分析，发现规律，才能作出科学的判断.
2近似地描述线性关系,画出直线
【温故·知新】
变量间的相互关系有两种：
一类是确定性的函数关系，如正方形的边长和面积的关系；
另一类是变量间确实存在的关系，但又不具备函数关系所要求的确定性，例如，学生的总成绩和他的单科成绩.我们说总成绩和单科成绩具有相关关系.
相关关系又分为两种：
（1）正相关：
两个变量具有相同的变化趋势，一个变量增大时，另一个变量也有增大的趋势；一个变量变小时，另一个变量也有变小的趋势.
（2）负相关：
两个变量具有相反的变化趋势，一个变量增大时，另一个变量有减小的趋势；一个变量减小时，另一个变量有增大的趋势.
由典例1可得散点图如图所示.从脂肪含量与年龄的散点图中可以看出，这些点大致分布在通过散点图中心的一条直线附近，这两个量之间具有线性相关性。
但是要想确定这条直线，必须先弄清该直线的特点.这条直线代表了所有散点的发展变化趋势，也就是说所有散点到该直线的距离最小，使散点都尽可能地处在该直线的附近.
下面探究几种确定这条直线的方法：
（1）可以采用测量的方法，先画出一条直线，测量出各点与它的距离，然后移动直线，到达一个使距离和最小的位置，测量出此时直线的斜率和截距，就确定了这条直线.（如图1）
（2）在图中选择这样两点画直线，使得直线两侧的点的个数基本相同.（如图2）
（3）还可以在散点图中多取几组点，确定出几条直线的方程，再分别求出各条直线的斜率、截距的平均数，将这两个平均数作为要确定直线的斜率和截距.（如图3）
图1图2图3
以上几种方法，确定的直线方法差别很大，结果所确定的直线也有较大的差别.但是这种探索活动是非常有意义的，是寻找最佳方案的必要前提.
【思考·提示】如何分析变量之间是否具有相关的关系呢？
分析变量之间是否具有相关的关系，我们可以借助日常生活和工作经验对一些常规问题来进行定性分析，如儿童的身高随着年龄的增长而增长，但它们之间又不存在一种确定的函数关系，因此它们之间是一种非确定性的随机关系，即相关关系.但仅凭这种定性分析不够，一来定性分析有时会给我们以误导；二来定性分析无法确定变量之间相互影响的程度有多大，因些，我们还需要进行定量分析.如何进行定量分析呢？
由于变量间的相关关系是一种随机关系，因此，我们只能借助统计这一工具来解决问题，也就是通过收集大量数据，在对数据进行统计分析的基础上，发现其中的规律，并对它们之间的关系作出推断.
分析与理解（P57）
同学甲和同学乙的思考方法是比较形象的，同学甲最直观．但比较粗略．同学乙“使得在直线两侧的点数尽可能一样多是理性和精细的
同学丙和同学丁的思考方法是比较理性的，也是相对粗略的，但比较直观,也便于理解和操作．这两种方法比较程序化．同学丁的方法更精细一点
同学丙和同学丁的思考方法本身是值得研究和探讨的，有兴趣的同学可将问题进行更深入的探讨，可以提出这样的问题如果按照同学丙和同学丁的方法．那么你是否能将他们的思考方法更精细化．比如，我们可以将所有的点分成四个部分．每个部分取一个平均点这样就得出了四个点的坐标．然后，再分别求出这四个点中的前三个点和后二个点的半均点．最后将这两个点连成一条直线．这条直线在一定程度上要比同学丙和同学丁的方法精细一如此做下去，一定会得到越来越精细的拟合.
典例2.在下列各图中，每个图的两个变量具有相关关系的图是
（1）
（2）（3）（4）
A.
（1）
（2）B.
（1）（3）C.
（2）（4）D.
（2）（3）
[研析]相关关系有两种情况,所有点看上去都在一条直线附近波动,是线性相关;若所有点看上去都在某条曲线（不是一条直线）附近波动,是非线性相关的.
（1）是函数关系，（4）是不相关的.故应选D.
探究解题新思路
▲基础思维探究
题型1.散点图
典例1:
下表为某地进几年机动车辆数与交通事故数的统计资料:
机动车辆数x/千台
95
110
112
120
129
135
150
180
交通事故数y/千件
6.2
7.5
7.7
8.5
8.7
9.8
10.2
13
画出散点图,你能从散点图中发现施化肥量对水稻产量之间的近似关系吗？
[研析]散点图如图所示.从散点图中发现他们近似成线性相关关系.
探索发现
本题主要考查散点图作法，再根据散点图看其是否呈直线形.由于相关关系的不确定性，在寻找变量相关关系的过程中，我们可以通过已收集大量的数据，通过对散点图的散点趋势,在对数据进行统计分析的基础上，发现其中的规律，对它们的关系作出判断.
【拓展·变式】
1.在某种产品表面进行腐蚀刻线试验，得到腐蚀深度Y与腐蚀时间x之间相应的一组观察值如下表：
x（s）
5
10
15
20
30
40
50
60
70
90
120
Y（μm）
6
10
10
13
16
17
19
23
25
29
46
画出表中数据的散点图.
题型2.线性关系的判定
典例2:
施化肥量对水稻产量影响的试验数据：
施化肥量x
15
20
25
30
35
40
45
水稻产量y
330
345
365
405
445
450
455
（1）根据上表数据，制成散点图，你能从散点图中发现施化肥量对水稻产量之间的近似关系吗？
（2）如果近似成线性关系，请画出一条直线来近似地表示这种线性关系.
[研析]
（1）作出其散点如下图1所示，从散点图上可以看出，施化肥量对水稻产量之间总体趋势近似地成一条直线，也就是说它们之间是线性相关的.
（2）如图2，可以用一条直线近似地表示这种线性相关.
图1图2
辨析比较线性相关问题需要在散点图作图的基础上,寻找相关性,这里找线性相关的一定是所有的点看上去在一条直线附近波动,此问题对于波动的程度没有作特殊的说明,偏离程度的大小在这里不作探讨.
【拓展·变式】
2.设某地10户家庭的年收入和年饮食支出的统计资料如下表.
年收入x（万元）
2
4
4
6
6
6
7
7
8
10
年饮食支出y（万元）
0.9
1.4
1.6
2.0
2.1
1.9
1.8
2.1
2.2
2.3
作出其散点图.并请画出一条直线来近似地表示这种线性关系.
▲综合思维探究
题型1学科内综合题
典例3.下面是6位同学的身高与体重的数据表.
身高（cm）
168
173
176
179
181
185
体重（kg）
56
59
60
65
64
68
画出散点图，并判断它们是否有相关关系.
【研析】散点图如下图所示.
由散点图可得,身高与体重有相关关系.
方法探究
判断两个变量之间是否存在相关关系，常用的方法是画出其散点图.画图时，有条件的话，可以借助计算机中的,Excel软件直接画图.若手工画图，要注意描点的准确性.
【迁移·应用】
3.下列变量之间的关系是函数关系的是
A.已知二次函数y=ax2+bx+c,其中a、c是已知常数,取b为自变量,因变量是这个函数的判别式Δ=b2－4ac
B.光照时间和果树亩产量
C.降雪量和交通事故发生率
D.每亩施用肥料量和粮食亩产量
题型2实际应用题
典例4：
某种产品的广告费支出x与销售额y（单位：
百万元）之间有如下对应数据：
广告费x
2
4
5
6
8
销售额y
30
40
60
50
70
（1）根据上表中的数据制成散点图，你能从散点图中发现广告费支出与销售额之间的近似关系吗？
（2）如果近似成线性关系，请画出一条直线来表示这种线性关系.
（3）如果广告费支出为7百万元，请估计此时的销售额为多少.
【研析】
（1）散点图如图所示.
从散点图中，可以看出广告费支出与销售额之间的总体趋势成一条直线，它们之间是线性相关的.
（2）所画直线如图所示.
（3）如果广告费支出为7百万元，则销售额大约为63百万元.．
交流研讨实际上,本题中还可以作出其它的一些曲线拟合来,如下图所示.注意理解各个图形.
【拓展·变式】
4.在7块并排、形状大小相同的试验田上进行施化肥量对水稻产量影响的实验，得到如下表所示的一组数据：
（单位：
kg）
施肥量x
15
20
25
30
35
40
45
水稻产量y
330
345
365
405
445
450
455
（1）画散点图.你能从散点图中发现施肥量与水稻产量之间的近似关系吗？
（2）若它们之间成近似线性关系，请画出一条直线来表示这种关系.
（3）若施肥量为50kg，请估计此时水稻的产量.
题型3阅读理解题
典例5.历史上，有人认为人们的着装与经济好坏有关系，着装越鲜艳，经济越景气.你认为着装与经济真的有这种相关关系吗？
【研析】人们的着装只能反映个人的爱好以及个人心情状况，与经济的好坏没有任何关系，并不能反映经济的景气与否.所以，着装与经济并没有“着装越鲜艳，经济越景气”这种相关关系.
方法探究
人文相关关系的判断除了需要应用数学统计知识进行判断外还需要考虑历史发展、经济发展、社会生活潮流等多方面的因素,这是数学知识应用及数学理念升华为实践的必然阶梯.
【拓展·变式】
5.有关法律规定，香烟盒上必须印上“吸烟有害健康”的警示语.吸烟和健康之间有因果关系吗？
每一个吸烟者的健康问题都是因为吸烟引起的吗？
你认为“健康问题不一定是由吸烟引起的，所以可以吸烟”的说法对吗？
题型4易错辨析题
典例6.一个车间为了规定工时定额，需要确定加工零件所花费的时间，为此进行了10次实验，收集数据如下：
零件数x个
10
20
30
40
50
60
70
80
加工时间ymin
62
68
75
81
89
95
102
108
画出散点图.
[研析]作出两个散点图如下图所示:
误点警示作散点图时,要注意坐标点选取的顺序,如本题中的横纵坐标轴的顺序变化了，就得到不同的图形.作题时应该注意坐标轴不要标注错了.
【拓展·变式】
学生
学科
A
B
C
D
E
总成绩（x）
482
383
421
364
362
数学成绩（y）
78
65
71
64
61
6.某5名学生的总成绩和数学成绩如下表:
（1）画出散点图；
（2）数学成绩对总成绩是否线性相关.
▲创新思维探究
题型1开放探究题
典例7.有时候，一些东西吃起来口味越好，对我们的身体越有害.下表给出了不同类型的某种食品的数据.第一列表示此种食品所含热量的百分比，第二列数据表示由一些美食家以百分制给出的对此食品口味的评价.
品 牌
所含热量的百分比
口味记录
A
25
89
B
34
89
C
20
80
D
19
78
E
26
75
F
20
71
G
19
65
H
24
62
作出这些数据的散点图；并试说明该食品热量与口味是否线性相关.
【研析】作出热量与口味的散点图如下图所示.
由图示可得,该散点图中所示的热量与口味是线性相关的.
交流探讨
直观感知散点的线性相关性具有一定的误差,属于数学的直觉素质范畴.可以以借助于Excel工作表作出一条直线,通过观察该直线,散点偏离该直线的两侧知,线性相关的程度.如下图所示.
【拓展·变式】
性别
分数
性别
分数
性别
分数
性别
分数
1
68
1
92
1
100
1
80
0
97
1
74
1
78
0
64
1
97
0
93
1
77
0
89
1
75
0
89
0
55
0
88
7.为了研究电教媒体对男、女学生的作用差异,从一次数学考试试卷中,随机抽出16份,成绩和性别（男:
1,女:
0）如下表.问成绩与性别是否线性相关？
媒体作用与性别是否线性相关?
题型2课标创新题
典例8：
影响消费水平的原因是很多的，其中重要的一项是工资收入.研究这两个变量的关系的一个方法是通过随机抽样的方法，在全国范围内收集被调查者的工资收入和他们的消费状况.下面的数据来自国家统计局分布的统计年鉴，是祖国大陆31个省、自治区、直辖市的职工平均工资与居民消费水平（单位：
元）.
省、区、市
北京
天津
河北
山西
内蒙古
辽宁
吉林
黑龙江
职工平均工资
14054
11056
7022
6065
6342
7895
7158
7094
居民消费水平
7040
7346
5033
3932
3765
6366
5216
5632
省、区、市
上海
江苏
浙江
安徽
福建
江西
山东
河南
职工平均工资
16641
9171
11201
6516
9490
6749
7656
6494
居民消费水平
11943
6239
7985
4985
6255
3482
6060
4214
省、区、市
湖北
湖南
广东
广西
海南
重庆
四川
贵州
职工平均工资
6991
9269
12245
6776
6865
7182
7249
6595
居民消费水平
5292
5290
8987
4987
4700
6190
4876
4334
省、区、市
云南
西藏
陕西
甘肃
青海
宁夏
新疆
职工平均工资
8276
12962
6931
7427
9081
7392
7611
居民消费水平
4933
4685
4520
4615
4384
3813
3988
（1）根据上表数据，制成散点图，你能从散点图中发现工资收入与消费水平之间的近似关系吗？
（2）如果近似成线性关系，请画出一条直线来近似地表示这种线性关系；
（3）如果一居民年平均工资收入为9300元，请估计一下该居民的消费水平.
[研析]
（1）散点图如图1所示.从散点图1中可以看出，消费水平随职工平均工资的增长而成增长趋势，近似地看成一条直线，也就是说它们之间是线性相关的.
（2）如图2所示,用一条直线近似地表示这种线性相关.（3）该居民的消费水平在5300元左右.;
图1图2
【拓展·变式】
8..有时候，一些东西吃起来口味越好，对我们的身体越有害.下表给出了不同类型的某种食品的数据.第一列表示此种食品所含热量的百分比，第二列数据表示由一些美食家以百分制给出的对此种食品口味的评价.
品牌
所含热量的百分比
口味纪录
A
25
89
B
34
89
C
20
80
D
19
78
E
26
75
F
20
71
G
19
65
H
24
62
I
19
60
J
13
52
（1）根据上表数据，制成散点图，你能从散点图中发现食品所含热量的百分比与食品口味之间的近似关系吗？
（2）如果近似成线性关系，请画出一条直线来近似地表示这种线性关系；
（3）如果一种食品所含热量百分比为30，请估计一下这种食品的口味值.
❸开拓学习新视野
▲课标知识拓展
【知识融会】
确定性关系和相关关系
统计管理中经常要研究变量与变量之间的关系，并据以做出决策．前面介绍的散点图可以确定两个变量之间是否存在着某种统计相关关系，但是如果散点图说明两个变量之间存在着某种关系，我们还是不能说明它们之间究竟存在什么样的关系．
回归分析能够确定两个变量之间的具体关系和这种关系的强度．回归分析以对一种变量同其他变量相互关系的过去的观察值为基础，并在某种精确度下，预测未知变量的值．
社会经济现象中的许多变量之间存在着因果关系．这些变量之间的关系一般可以分为两类：
一类是变量之间存在着完全确定的关系，即一个变量能被一个或若干个其他变量按某种规律唯一地确定，例如，在价格P确定的条件下，销售收入Y与所销售的产品数量之间的关系就是一种确定性的关系：
Y＝P·X．另一类是变量之间存在着某种程度的不确定关系．例如，粮食产量与施肥量之间的关系就属于这种关系．一般地说，施肥多产量就高，但是，即使是在相邻的地块，采用同样的种子，施相同的肥料，粮食产量仍会有所差异．统计上我们把这种不确定关系称为相关关系．
确定性关系和相关关系之间往往没有严格的界限．由于测量误差等原因，确定性关系在实际中往往通过相关关系表现出来；另一方面，通过对事物内部发展变化规律的更深刻的认识，相关关系又可能转化为确定性关系．
两个相关的变量之间的相关关系尽管是不确定的，但是我们可以通过对现象的不断观察，探索出它们之间的统计规律性．对这类统计规律性的研究就称为回归分析．回归分析研究的主要内容有：
确定变量之间的相关关系和相关程度，建立回归模型，检验变量之间的相关程度，应用回归模型进行估计和预测等．
▲领悟数学之妙
【领悟数学】
注重散点图在直线相关回归分析中的作用
在医学研究中经常探讨两个数值变量间的相互关系，其中最简单的关系是直线相关与直线回归关系。
直线相关系数是描述直线相关关系密切程度与相关方向的统计指标，直线回归方程是描述两个数值变量间的直线回归关系，而不是描述曲线关系或其它关系。
在直线相关回归分析中，所需满足的条件中最起码的条件是两个数值变量间必须有一定的线性趋势和具有实际意义。
两个数值变量间是否存在线性趋势可以通过绘制散点图进行观察与确定。
通过任何一组数值变量的观测数据值都能计算出一个直线相关系数和直线回归方程，但其结果却不一定正确。
例如对附表中所示的4组不同观测数据y1～x1、y2～x2、y3～x3和y4～x4，可以计算出相应的直线相关系数和直线回归方程，结果为：
r1=0.81,
1=3.0+5.0x1，P＜0.01;r2=0.79,
2=3.0+5.0x2,P＜0.01;r3=0.80,
3=3.0+5.0x3,P＜0.01;r4=0.80,
4=3.0+5.0x4,P＜0.01。
直线相关系数很接近，直线回归方程基本相同，而且都在α=0.01的水准上有显著意义。
然而绘制出相应的散点图却大不相同，绘制出相应的回归直线却不全合理，结果示于附图中。
附图 4组不同观测数据的散点图与
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