中考数学临考冲刺专题练测辅助圆问题.docx

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中考数学临考冲刺专题练测辅助圆问题

辅助圆问题

1.已知点A、B、C均在半径为R的⊙O上．

问题探究

（1）如图①，当∠A＝45°，R＝1时，求∠BOC的度数和BC的长度；

（2）如图②，当∠A为锐角时，求证：

BC＝2R·sinA；

问题解决

（3）若定长线段BC的两个端点分别在∠MAN的两边AM、AN上滑动，且点B、C均与点A不重合．如图③，当∠MAN＝60°，BC＝2时，分别作BP⊥AM，CP⊥AN，交点为P，试着探究线段BC在整个滑动过程中，P、A两点之间的距离是否为定值，若是，求出PA的长度；若不是，请说明理由．

第1题图

（1）解：

∵点A、B、C均在⊙O上，

∴∠BOC＝2∠A＝2×45°＝90°，

又∵OB＝OC＝1，

∴BC＝；

（2）证明：

如解图①，作直径CE，连接EB，

则∠E＝∠A，CE＝2R，

∴∠EBC＝90°，

∴sinA＝sinE＝＝，

∴BC＝2R·sinA;

图①图②

第1题解图

（3）解：

如解图②，连接AP，取AP的中点K，连接BK、CK，

在Rt△APC中，CK＝AP＝AK＝PK，

同理可得：

BK＝AK＝PK，

∴CK＝BK＝AK＝PK，

∴点A、B、P、C都在以K为圆心，以AK长为半径的⊙K上，

由

（2）可知sin60°＝，

∴AP＝＝为定值，

故线段BC在整个滑动过程中，P、A两点之间的距离是定值，PA的长度为.

2.问题探究

（1）如图①，已知四边形ABCD中，AB＝a，BC＝b，∠B＝∠D＝90°，求：

①对角线BD长度的最大值；

②四边形ABCD的最大面积；

（用含有a，b的代数式表示）

问题解决

（2）如图②，四边形ABCD是某市规划用地示意图，经测量得到如下数据：

AB＝20cm，BC＝30cm，∠B＝120°，∠A＋∠C＝195°，请你用所学到的知识探索出它的最大面积，并说明理由．（结果保留根号）

第2题图

解：

（1）①∵∠B＝∠D＝90°，

∴四边形ABCD是圆内接四边形，AC为圆的直径，

∴BD的最大值为AC，此时BD＝AC＝；

②连接AC，则AC2＝AB2＋BC2＝a2＋b2＝AD2＋CD2，

S△ACD＝AD·CD≤（AD2＋CD2）＝（a2＋b2）．

又∵S△ABC＝AB·BC＝ab，

∴四边形ABCD的最大面积为（a2＋b2）＋ab＝（a＋b）2；

（2）如解图，连接AC，延长CB，过点A作AE⊥CB交CB的延长线于点E，∵AB＝20，∠ABE＝180°－∠ABC＝60°，

∴在Rt△ABE中，AE＝AB·sin60°＝10，EB＝AB·cos60°＝10，S△ABC＝AE·BC＝150.

∵BC＝30，∴EC＝EB＋BC＝40，AC＝＝10，

∵∠ABC＝120°，∠BAD＋∠BCD＝195°，∴∠D＝45°，

则△ACD中，D为定角，对边AC为定边，

∴点A、C、D在同一个圆上，作AC、CD中垂线，交点即为圆心O，当点D与AC的距离最大时，△ACD的面积最大，AC的中垂线交⊙O于点D′，交AC于点F，FD′即为所求最大值，

第2题解图

连接OA、OC，∠AOC＝2∠AD′C＝90°，OA＝OC，

∴△AOF为等腰直角三角形，

AO＝OD′＝·（）＝5，OF＝AF＝＝5，

D′F＝OD′＋OF＝5＋5，

S△ACD′＝AC·D′F＝×10×（5＋5）＝475＋475，

∴S最大＝S△ABC＋S△ACD′＝150＋475＋475.

3.问题探究

（1）如图①，在△ABC中，AB＝AC＝5，BC＝6，作高AD，则△ABC的面积为________；

（2）如图②，在矩形ABCD中，AB＝3，BC＝4，点P在对角线AC上，且CP＝CB，求△PBC的面积；

问题解决

（3）如图③，△ABC是一块商业用地，其中∠B＝90°，AB＝30米，BC＝40米，某开发商现准备再征一块地，把△ABC扩充为四边形ABCD，使∠D＝90°，是否存在面积最大的四边形ABCD？

若存在，求出四边形ABCD的最大面积；若不存在，请说明理由．

第3题图

解：

（1）12；

【解法提示】如解图①，在Rt△ABD中，AB＝5，BD＝BC＝3，

∴AD＝＝＝4，

∴S△ABC＝BC·AD＝×6×4＝12.

图①图②

第3题解图

（2）如解图②，过点P作PE⊥BC，垂足为E，则PE∥AB，

∴△CPE∽△CAB，

∴＝，

在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝3，BC＝4，

∴AC＝＝＝5，

∴＝，

∴PE＝，

∴S△PBC＝BC·PE＝×4×＝；

（3）存在．

如解图③，作△ABC的外接圆⊙O，

第3题解图③

∵∠ABC＝90°，

∴AC为⊙O的直径，

又∵∠ADC＝90°，

∴点D在⊙O上，

在Rt△ABC中，∠B＝90°，AB＝30，

BC＝40，

∴AC＝＝＝50，

连接OD，则OD＝AC＝25，

过点D作DN⊥AC，垂足为N，

∵S四边形ABCD＝S△ABC＋S△ACD，

而S△ABC＝AB·BC＝×30×40＝600，

∴只要S△ACD最大，那么S四边形ABCD最大，

又∵S△ACD＝AC·DN，

而DN≤DO＝25，

∴当DN＝25时，S△ACD最大，即×50×25＝625，

∴四边形ABCD的最大面积为：

600＋625＝1225（平方米）．

4.问题探究

（1）如图①，△ABC为等腰三角形，AB＝AC＝a，∠BAC＝120°，则△ABC的面积为________（用含a的代数式表示）；

（2）如图②，△AOD与△BOC为两个等腰直角三角形，两个直角顶点O重合，OA＝OB＝OC＝OD＝a.若△AOD与△BOC不重合，连接AB、CD，求四边形ABCD面积的最大值；

问题解决

（3）如图③，点O为电视台所在位置，现要在距离电视台5km的地方修建四个电视信号中转站，分别记为A、B、C、D.若要使OB与OC夹角为150°，OA与OD夹角为90°（∠AOD与∠BOC不重合且点O、A、B、C、D在同一平面内），则符合题意的四个中转站所围成的四边形面积有无最大值？

如果有，求出最大值；如果没有，请说明理由．

第4题图

解：

（1）a2；

【解法提示】如解图①，过点B作AC的垂线交CA的延长线于点D，

第4题解图①

在Rt△ABD中，∠BAD＝60°，AB＝a，

则BD＝a，

∴S△ABC＝AC·BD＝a·a＝a2.

（2）如解图②，分别过点A、D作BO、CO的垂线交BO的延长线于点E，交CO于点F，

第4题解图②

∵△AOD与△BOC均为等腰直角三角形，

OA＝OB＝OC＝OD＝a，

∴S△AOD＝a2，S△BOC＝a2，

令∠AOB＝α，∠COD＝β，则

S△AOB＝a·asinα，S△COD＝a·asinβ，

∴S△AOB＋S△COD＝a2（sinα＋sinβ），

∵∠AOB＋∠COD＝180°，∴α＝90°，β＝90°，

即∠AOB＝90°，∠COD＝90°时，△AOB与△COD面积最大，

即此时四边形ABCD面积最大，

此时，S△AOB＝a2，S△COD＝a2，

∴S四边形ABCD最大＝a2＋a2＋a2＋a2＝2a2；

（3）有最大值，理由如下：

∵OA＝OB＝OC＝OD＝5km，

则A、B、C、D四点在以O为圆心，5km为半径的圆上，

如解图③，将△DOC绕O点顺时针旋转150°至△D′OB位置．连接AD′，设OB与AD′交于点E，

第4题解图③

∵△AOD与△BOC面积是定值，

∴求S四边形ABD′O最大即可．

∠AOD′＝360°－150°－90°＝120°，

过O作OM⊥AD′于点M，过B作BN⊥AD′于点N，

在△OAM中，∠AOM＝60°，

∴OM＝，AM＝，AD′＝5，

令∠MEO＝∠NEB＝α，

∴S四边形ABD′O＝S△AOD′＋S△ABD′＝AD′·OM＋AD′·BN＝AD′·[OE·sinα＋（5－OE）·sinα]＝AD′·5sinα＝×5×5sinα＝sinα，

当α＝90°时，sinα＝1，此时四边形ABD′O面积最大，

∴S四边形ABD′Omax＝，即四边形ABCD的最大面积为×5×5＋×5×5×＋＝.