山西省中考数学试题与解析.docx
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山西省中考数学试题与解析
2015年山西省中考数学试卷
一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分。
在每个小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，请选出并在答题卡上将该项涂黑）
1．（3分）（2015?
山西）计算﹣
3+（﹣1）的结果是（
）
A．2B．﹣2
C．4
D．﹣4
2．（3分）（2015?
山西）下列运算错误的是（
）
A．
2
2
4
B．x+x=2x
=1
C．|a|=|﹣a|
D．
=
3．（3分）（2015?
山西）晋商大院的许多窗格图案蕴含着对称之美，现从中选取以下四种窗
格图案，其中是中心对称图形但不是轴对称图形的是（
）
A．
B．
C．
D．
4．（3分）（2015?
山西）如图，在△ABC中，点
D、E分别是边
AB，BC
的中点．若△DBE
的周长是6，则△ABC的周长是（）
A．8
B．10
C．12
D．14
5．（3分）（2015?
山西）我们解一元二次方程
3x
2﹣6x=0时，可以运用因式分解法，将此方
程化为3x（x﹣2）=0，从而得到两个一元一次方程：
3x=0或x﹣2=0，进而得到原方程的解
为x1=0，x2=2．这种解法体现的数学思想是（
）
A．转化思想
B．函数思想
C．数形结合思想
D．公理化思想
6．（3分）（2015?
山西）如图，直线a∥b，一块含
60°角的直角三角板ABC（∠A=60°）按
如图所示放置．若∠
1=55°，则∠2的度数为（
）
A．105°B．110°C．115°D．120°
7．（3分）（2015?
山西）化简﹣的结果是（）
A．B．C．D．
8．（3分）（2015?
山西）我国古代秦汉时期有一部数学著作，堪称是世界数学经典名著．它
的出现，标志着我国古代数学体系的正式确立．它采用按类分章的问题集的形式进行编排．其
中方程的解法和正负数加减运算法则在世界上遥遥领先，这部著作的名称是（）
A．《九章算术》B．《海岛算经》C．《孙子算经》D．《五经算术》
9．（3分）（2015?
山西）某校举行春季运动会，需要在初一年级选取一名志愿者．初一（
1）
班、初一
（2）班、初一（3）班各有2名同学报名参加．现从这
6名同学中随机选取一名志
愿者，则被选中的这名同学恰好是初一（
3）班同学的概率是（
）
A．
B．
C．
D．
10．（3分）（2015?
山西）如图，在网格中，小正方形的边长均为1，点A，B，C都在格点
上，则∠ABC的正切值是（）
A．2B．C．D．
二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分）
11．（3分）（2015?
山西）不等式组的解集是．
12．（3分）（2015?
山西）如图是一组有规律的图案，它们是由边长相同的正方形和正三角
形镶嵌而成，第
（1）个图案有
有10个三角形，⋯依此规律，第
4个三角形，第（
n个图案有
2）个图案有7个三角形，第（3）个图案
个三角形（用含n的代数式表示）
13．（3分）（2015?
山西）如图，四边形
ABCD
内接于⊙
O，AB
为⊙O
的直径，点
C为
的
中点．若∠
A=40°，则∠B=
度．
14．（3分）（2015?
山西）现有两个不透明的盒子，其中一个装有标号分别为1，2的两张卡
片，另一个装有标号分别为1，2，3的三张卡片，卡片除标号外其他均相同．若从两个盒子
中各随机抽取一张卡片，则两张卡片标号恰好相同的概率是．
15．（3分）（2015?
山西）太原市公共自行车的建设速度、单日租骑量等四项指标稳居全国
首位．公共自行车车桩的截面示意图如图所示，AB⊥AD，AD⊥DC，点B，C在EF上，EF∥HG，EH⊥HG，AB=80cm，AD=24cm，BC=25cm，EH=4cm，则点A到地面的距离是cm．
16．（3分）（2015?
山西）如图，将正方形纸片ABCD沿对应点为D′，点C落在C′处．若AB=6，AD′=2，则折痕
MNMN
折叠，使点
的长为
D落在边
AB．
上，
三、解答题（本大题共
8个小题，共
72分。
解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
17．（10分）（2015?
山西）
（1）计算：
（﹣3﹣1）×
﹣1
÷
．
﹣2
（2）解方程：
=﹣
．
18．（6分）（2015?
山西）阅读与计算：
请阅读以下材料，并完成相应的任务．
斐波那契（约1170﹣1250）是意大利数学家，他研究了一列数，这列数非常奇妙，被称为
斐波那契数列（按照一定顺序排列着的一列数称为数列）．后来人们在研究它的过程中，发现了许多意想不到的结果，在实际生活中，很多花朵（如梅花、飞燕草、万寿菊等）的瓣数
恰是斐波那契数列中的数．斐波那契数列还有很多有趣的性质，在实际生活中也有广泛的应用．
斐波那契数列中的第n个数可以用[﹣]表示（其中，n≥1）．这
是用无理数表示有理数的一个范例．
任务：
请根据以上材料，通过计算求出斐波那契数列中的第1个数和第2个数．
19．（6分）（2015?
山西）如图，在平面直角坐标系xOy中，一次函数y=3x+2的图象与y
轴交于点A，与反比例函数y=（k≠0）在第一象限内的图象交于点B，且点B的横坐标为
1．过点A作AC⊥y轴交反比例函数y=（k≠0）的图象于点C，连接BC．
（1）求反比例函数的表达式．
（2）求△ABC的面积．
20．（8分）（2015?
山西）随着互联网、移动终端的迅速发展，数字化阅读越来越普及，公
交、地铁上的“低头族”越来越多．某研究机构针对“您如何看待数字化阅读”问题进行了随机
问卷调查（问卷调查表如图1所示）并将调查结果绘制成图
2和图
3所示的统计图（均不完
整）．请根据统计图中提供的信息，解答下列问题：
（1）本次接受调查的总人数是人．
（2）请将条形统计图补充完整．
（3）在扇形统计图中，观点E的百分比是，表示观点B的扇形的圆心角度数
为度．
（4）假如你是该研究机构的一名成员，请根据以上调查结果，就人们如何对待数字化阅读提出你的建议．
21．（10分）（2015?
山西）如图，△ABC是直角三角形，∠ACB=90°．
（1）尺规作图：
作⊙C，使它与AB相切于点D，与AC相交于点E，保留作图痕迹，不写作法，请标明字母．
（2）在你按
（1）中要求所作的图中，若BC=3，∠A=30°，求的长．
22．（7分）（2015?
山西）某蔬菜经营户从蔬菜批发市场批发蔬菜进行零售，部分蔬菜批发
价格与零售价格如表：
蔬菜品种
西红柿
青椒
西兰花
豆角
批发价（元/kg）
3.6
5.4
8
4.8
零售价（元/kg）
5.4
8.4
14
7.6
请解答下列问题：
（1）第一天，该经营户批发西红柿和西兰花两种蔬菜共300kg，用去了1520元钱，这两种
蔬菜当天全部售完一共能赚多少元钱？
（2）第二天，该经营户用1520元钱仍然批发西红柿和西兰花，要想当天全部售完后所赚钱
数不少于1050元，则该经营户最多能批发西红柿多少kg？
23．（12分）（2015?
山西）综合与实践：
制作无盖盒子
任务一：
如图1，有一块矩形纸板，长是宽的2倍，要将其四角各剪去一个正方形，折成高为4cm，容积为616cm3的无盖长方体盒子（纸板厚度忽略不计）．
（1）请在图1的矩形纸板中画出示意图，用实线表示剪切线，虚线表示折痕．
（2）请求出这块矩形纸板的长和宽．
任务二：
图2是一个高为4cm的无盖的五棱柱盒子（直棱柱），图3是其底面，在五边形ABCDE中，BC=12cm，AB=DC=6cm，∠ABC=∠BCD=120°，∠EAB=∠EDC=90°．
（1）试判断图3中AE与DE的数量关系，并加以证明．
（2）图2中的五棱柱盒子可按图4所示的示意图，将矩形纸板剪切折合而成，那么这个矩
形纸板的长和宽至少各为多少cm？
请直接写出结果（图中实线表示剪切线，虚线表示折痕．纸板厚度及剪切接缝处损耗忽略不计）．
24．（13
分）（2015?
山西）综合与探究
如图
1，在平面直角坐标系
xOy
中，抛物线
W的函数表达式为
y=﹣
x2+
x+4．抛物线
W与x轴交于A，B两点（点B在点A的右侧，与y轴交于点C，它的对称轴与x轴交于
点D，直线l经过C、D两点．
（1）求A、B两点的坐标及直线l的函数表达式．
（2）将抛物线W沿x轴向右平移得到抛物线W′，设抛物线W′的对称轴与直线l交于点F，
当△ACF为直角三角形时，求点F的坐标，并直接写出此时抛物线W′的函数表达式．
（3）如图2，连接AC，CB，将△ACD沿x轴向右平移m个单位（0＜m≤5），得到△A′C′D′．设A′C交直线l于点M，C′D′交CB于点N，连接CC′，MN．求四边形CMNC′的面积（用含m的代数式表示）．
2015年山西省中考数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分。
在每个小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，请选出并在答题卡上将该项涂黑）
1．（3分）（2015?
山西）计算﹣
3+（﹣1）的结果是（
）
A．2B．﹣2
C．4
D．﹣4
考点：
有理数的加法．
分析：
根据同号两数相加的法则进行计算即可．
解答：
解：
﹣3+（﹣1）=﹣（3+1）=﹣4，
故选：
D．
点评：
本题主要考查了有理数的加法法则，解决本题的关键是熟记同号两数相加，取相同的符号，并把绝对值相加．
2．（3分）（2015?
山西）下列运算错误的是（
）
A．
2
2
4
B．x+x=2x
=1
C．|a|=|﹣a|
D．
=
考点：
分式的乘除法；绝对值；合并同类项；零指数幂．
专题：
计算题．
分析：
A、原式利用零指数幂法则计算得到结果，即可做出判断；
B、原式合并同类项得到结果，即可做出判断；
D、原式利用乘方的意义计算得到结果，即可做出判断．解答：
解：
A、原式=1，正确；
B、原式=2x2，错误；
C、|a|=|﹣a|，正确；
D、原式=，正确，
故选B
点评：
此题考查了分式的乘除法，绝对值，合并同类项，以及零指数幂，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
3．（3分）（2015?
山西）晋商大院的许多窗格图案蕴含着对称之美，现从中选取以下四种窗
格图案，其中是中心对称图形但不是轴对称图形的是（）
A．B．C．D．
考点：
中心对称图形；轴对称图形．
分析：
根据轴对称图形与中心对称图形的概念求解．
解答：
解：
A、是轴对称图形，也是中心对称图形．故错误；
B、不是轴对称图形，是中心对称图形．故正确；
C、是轴对称图形，也是中心对称图形．故错误；
D、是轴对称图形，也是中心对称图形．故错误．
故选B．
点评：
本题考查了中心对称图形与轴对称图形的概念：
轴对称图形的关键是寻找对称轴，图
形两部分沿对称轴折叠后可重合；中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后与
原图重合．
4．（3分）（2015?
山西）如图，在△ABC中，点
的周长是6，则△ABC的周长是（）
D、E分别是边
AB，BC
的中点．若△DBE
A．8B．10C．12D．14
考点：
三角形中位线定理．
分析：
首先根据点D、E分别是边AB，BC的中点，可得DE是三角形BC的中位线，然后根据三角形中位线定理，可得DE=AC，最后根据三角形周长的含义，判断出△ABC
的周长和△DBE的周长的关系，再结合△DBE的周长是6，即可求出△ABC的周长是多少．
解答：
解：
∵点D、E分别是边AB，BC的中点，
∴DE是三角形BC的中位线，AB=2BD，BC=2BE，
∴DE∥BC且DE=AC，
又∵AB=2BD，BC=2BE，
∴AB+BC+AC=2（BD+BE+DE），
即△ABC的周长是△DBE的周长的2倍，
∵△DBE的周长是6，
∴△ABC的周长是：
6×2=12．
故选：
C．
点评：
（1）此题主要考查了三角形中位线定理的应用，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确：
三角形的中位线平行于第三边，并且等于第三边的一半．
（2）此题还考查了三角形的周长和含义的求法，要熟练掌握．
5．（3分）（2015?
山西）我们解一元二次方程
3x
2﹣6x=0时，可以运用因式分解法，将此方
程化为3x（x﹣2）=0，从而得到两个一元一次方程：
3x=0或x﹣2=0，进而得到原方程的解
为x1=0，x2=2．这种解法体现的数学思想是（
）
A．转化思想
B．函数思想
C．数形结合思想
D．公理化思想
考点：
解一元二次方程-因式分解法．
专题：
计算题．
分析：
上述解题过程利用了转化的数学思想．
解答：
解：
我们解一元二次方程
3x2﹣6x=0时，可以运用因式分解法，将此方程化为
3x（x
﹣2）=0，
从而得到两个一元一次方程：
3x=0或x﹣2=0，
进而得到原方程的解为
x1=0，x2=2．
这种解法体现的数学思想是转化思想，
故选A．
点评：
此题考查了解一元二次方程﹣因式分解法，熟练掌握因式分解的方法是解本题的关键．
6．（3分）（2015?
山西）如图，直线a∥b，一块含60°角的直角三角板ABC（∠A=60°）按
如图所示放置．若∠1=55°，则∠2的度数为（）
A．105°B．110°C．115°D．120°
考点：
平行线的性质．
分析：
如图，首先证明∠AMO=∠2；然后运用对顶角的性质求出∠ANM=55°，借助三角形
外角的性质求出∠AMO即可解决问题．
解答：
解：
如图，∵直线a∥b，
∴∠AMO=∠2；
∵∠ANM=∠1，而∠1=55°，
∴∠ANM=55°，
∴∠AMO=∠A+∠ANM=60°+55°=115°，
故选C．
点评：
该题主要考查了平行线的性质、对顶角的性质、三角形的外角性质等几何知识点及其
应用问题；牢固掌握平行线的性质、对顶角的性质等几何知识点是灵活运用、解题的基础．
7．（3分）（2015?
山西）化简
﹣的结果是（
）
A．
B．
C．
D．
考点：
分式的加减法．
专题：
计算题．
分析：
原式第一项约分后，利用同分母分式的减法法则计算，即可得到结果．
解答：
解：
原式=﹣
=﹣
=
=，
故选A．
点评：
此题考查了分式的加减法，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
8．（3分）（2015?
山西）我国古代秦汉时期有一部数学著作，堪称是世界数学经典名著．它
的出现，标志着我国古代数学体系的正式确立．它采用按类分章的问题集的形式进行编排．其
中方程的解法和正负数加减运算法则在世界上遥遥领先，这部著作的名称是（）
A．《九章算术》B．《海岛算经》C．《孙子算经》D．《五经算术》
考点：
数学常识．
分析：
根据数学常识解答即可．
解答：
解：
此著作是《九章算术》，
故选A．
点评：
此题考查数学常识，关键是根据以往知识进行解答．
9．（3分）（2015?
山西）某校举行春季运动会，需要在初一年级选取一名志愿者．初一（
1）
班、初一
（2）班、初一（3）班各有2名同学报名参加．现从这
6名同学中随机选取一名志
愿者，则被选中的这名同学恰好是初一（
3）班同学的概率是（
）
A．
B．
C．
D．
考点：
概率公式．
分析：
用初一3班的学生数除以所有报名学生数的和即可求得答案．
解答：
解：
∵共有6名同学，初一3班有2人，
∴P（初一3班）==，
故选B．
点评：
此题考查了概率公式的应用．注意用到的知识点为：
概率=所求情况数与总情况数之比．
10．（3分）（2015?
山西）如图，在网格中，小正方形的边长均为1，点A，B，C都在格点
上，则∠ABC的正切值是（）
A．2B．C．D．
考点：
锐角三角函数的定义；勾股定理；勾股定理的逆定理．
专题：
网格型．
分析：
根据勾股定理，可得AC、AB的长，根据正切函数的定义，可得答案．
解答：
解：
如图：
，
由勾股定理，得
AC=，AB=2，BC=，
∴△ABC为直角三角形，
∴tan∠B==，
故选：
D．
点评：
本题考查了锐角三角函数的定义，先求出AC、AB的长，再求正切函数．
二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分）
11．（3分）（2015?
山西）不等式组的解集是x＞4．
考点：
解一元一次不等式组．
分析：
首先分别计算出两个不等式的解集，再根据大大取大确定不等式组的解集．
解答：
解：
，
由①得：
x＞4，
由②得：
x＞2，
不等式组的解集为：
x＞4．
故答案为：
x＞4．
点评：
此题主要考查了一元一次不等式组的解法，关键是掌握解集的规律：
同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到．
12．（3分）（2015?
山西）如图是一组有规律的图案，它们是由边长相同的正方形和正三角
形镶嵌而成，第
（1）个图案有有10个三角形，⋯依此规律，第
4个三角形，第
（2）个图案有7个三角形，第（3）个图案
n个图案有3n+1个三角形（用含n的代数式表示）
考点：
规律型：
图形的变化类．
分析：
由题意可知：
第
（1）个图案有3+1=4个三角形，第
（2）个图案有3×2+1=7个三角形，
第（3）个图案有3×3+110个三角形，⋯依此规律，第n个图案有3n+1个三角形．
解答：
解：
∵第
（1）个图案有3+1=4个三角形，
第
（2）个图案有3×2+1=7个三角形，
第（3）个图案有3×3+110个三角形，
⋯
∴第n个图案有3n+1个三角形．
故答案为：
3n+1．
点评：
此题考查图形的变化规律，找出图形之间的运算规律，利用规律解决问题．
13．（3分）（2015?
山西）如图，四边形
ABCD
内接于⊙
O，AB
为⊙O
的直径，点
C为
的
中点．若∠
A=40°，则∠B=
70度．
考点：
圆周角定理；圆心角、弧、弦的关系．
分析：
首先连接BD，由AB为⊙O的直径，根据直径所对的圆周角是直角，可求得∠ADB
的度数，继而求得∠ABD的度数，由圆的内接四边形的性质，求得∠C的度数，然后
由点
C为
的中点，可得
CB=CD，即可求得∠
CBD
的度数，继而求得答案．
解答：
解：
连接BD，
∵AB为⊙O的直径，∴∠ADB=90°，∵∠A=40°，
∴∠ABD=90°﹣∠A=50°，∠C=180°﹣∠A=140°，
∵点C为的中点，
∴CD=CB，
∴∠CBD=∠CDB=20°，
∴∠ABC=∠ABD+∠CBD=70°．
故答案为：
70°．
点评：
此题考查了圆周角定理、圆的内接四边形的性质以及弧与弦的关系．注意准确作出辅助线是解此题的关键．
14．（3分）（2015?
山西）现有两个不透明的盒子，其中一个装有标号分别为1，2的两张卡
片，另一个装有标号分别为1，2，3的三张卡片，卡片除标号外其他均相同．若从两个盒子
中各随机抽取一张卡片，则两张卡片标号恰好相同的概率是
．
考点：
列表法与树状图法．
分析：
首先根据题意画出树状图，然后由树状图求得所有等可能的结果与两张卡片标号恰好
相同的情况，再利用概率公式即可求得答案．
解答：
解：
画树状图得：
∵共有6种等可能的结果，两张卡片标号恰好相同的有2种情况，
∴两张卡片标号恰好相同的概率是：
=．
故答案为：
．
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