高考数学理科一轮复习等比数列及其前n项和学案含答案.docx

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高考数学理科一轮复习等比数列及其前n项和学案含答案

高考数学（理科）一轮复习等比数列及其前n项和学案含答案

学案30　等比数列及其前n项和

导学目标：

1理解等比数列的概念2掌握等比数列的通项公式与前n项和公式3了解等比数列与指数函数的关系4能在具体的问题情境中识别数列的等比关系，并能用等比数列的有关知识解决相应的问题．自主梳理

1．等比数列的定义

如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的比等于同一常数（不为零），那么这个数列叫做等比数列，这个常数叫做等比数列的________，通常用字母________表示（q≠0）．

2．等比数列的通项公式

设等比数列{an}的首项为a1，公比为q，则它的通项an＝______________

3．等比中项：

如果在a与b中间插入一个数G，使a，G，b成等比数列，那么G叫做a与b的等比中项．

4．等比数列的常用性质

（1）通项公式的推广：

an＝a•________（n，∈N*）．

（2）若{an}为等比数列，且＋l＝＋n（，l，，n∈N*），则__________________________．

（3）若{an}，{bn}（项数相同）是等比数列，则{λan}（λ≠0），1an，{a2n}，{an•bn}，anbn仍是等比数列．

（4）单调性：

a1>0，q>1或a1<00<q<1⇔{an}是________数列；a1>0，0<q<1或a1<0q>1⇔{an}是________数列；q＝1⇔{an}是____数列；q<0⇔{an}是________数列．

．等比数列的前n项和公式

等比数列{an}的公比为q（q≠0），其前n项和为Sn，当q＝1时，Sn＝na1；

当q≠1时，Sn＝a11－qn1－q＝a1qn－1q－1＝a1qnq－1－a1q－1

6．等比数列前n项和的性质

公比不为－1的等比数列{an}的前n项和为Sn，则Sn，S2n－Sn，S3n－S2n仍成等比数列，其公比为______．

自我检测

1．“b＝a”是“a、b、成等比数列”的（　　）

A．充分不必要条

B．必要不充分条

．充要条

D．既不充分也不必要条

2．若数列{an}的前n项和Sn＝3n－a，数列{an}为等比数列，则实数a的值是（　　）

A．3B．1．0D．－1

3．（2011•温州月考）设f（n）＝2＋24＋27＋…＋23n＋1（n∈N*），则f（n）等于（　　）

A27（8n－1）B27（8n＋1－1）

27（8n＋2－1）D27（8n＋3－1）

4．（2011•湖南长郡中学月考）已知等比数列{an}的前三项依次为a－2，a＋2，a＋8，则an等于（　　）

A．8•32nB．8•23n

．8•32n－1D．8•23n－1

．设{an}是公比为q的等比数列，|q|>1，令bn＝an＋1（n＝1,2，…），若数列{bn}有连续四项在集合{－3，－23,19,37,82}中，则6q＝________探究点一　等比数列的基本量运算

例1　已知正项等比数列{an}中，a1a＋2a2a6＋a3a7＝100，a2a4－2a3a＋a4a6＝36，求数列{an}的通项an和前n项和Sn

变式迁移1　在等比数列{an}中，a1＋an＝66，a2•an－1＝128，Sn＝126，求n和q

探究点二　等比数列的判定

例2　（2011•岳阳月考）已知数列{an}的首项a1＝，前n项和为Sn，且Sn＋1＝2Sn＋n＋，n∈N*

（1）证明数列{an＋1}是等比数列；

（2）求{an}的通项公式以及Sn

变式迁移2　设数列{an}的前n项和为Sn，已知a1＋2a2＋3a3＋…＋nan＝（n－1）Sn＋2n（n∈N*）．

（1）求a2，a3的值；

（2）求证：

数列{Sn＋2}是等比数列．

探究点三　等比数列性质的应用

例3　（2011•湛江月考）在等比数列{an}中，a1＋a2＋a3＋a4＋a＝8，且1a1＋1a2＋1a3＋1a4＋1a＝2，求a3

变式迁移3　

（1）已知等比数列{an}中，有a3a11＝4a7，数列{bn}是等差数列，且b7＝a7，求b＋b9的值；

（2）在等比数列{an}中，若a1a2a3a4＝1，a13a14a1a16＝8，求a41a42a43a44

分类讨论思想与整体思想的应用

例　（12分）设首项为正数的等比数列{an}的前n项和为80，它的前2n项和为660，且前n项中数值最大的项为4，求此数列的第2n项．

【答题模板】

解　设数列{an}的公比为q，

若q＝1，则Sn＝na1，S2n＝2na1＝2Sn

∵S2n＝660≠2Sn＝160，∴q≠1，[2分]

由题意得a11－qn1－q＝80，　　　　①a11－q2n1－q＝660②[4分]

将①整体代入②得80（1＋qn）＝660，

∴qn＝81[6分]

将qn＝81代入①得a1（1－81）＝80（1－q），

∴a1＝q－1，由a1>0，得q>1，

∴数列{an}为递增数列．[8分]

∴an＝a1qn－1＝a1q•qn＝81•a1q＝4

∴a1q＝23[10分]

与a1＝q－1联立可得a1＝2，q＝3，

∴a2n＝2×32n－1（n∈N*）．[12分]

【突破思维障碍】

（1）分类讨论的思想：

①利用等比数列前n项和公式时要分公比q＝1和q≠1两种情况讨论；②研究等比数列的单调性时应进行讨论：

当a1>0，q>1或a1<0,0<q<1时为递增数列；当a1<0，q>1或a1>0,0<q<1时为递减数列；当q<0时为摆动数列；当q＝1时为常数列．

（2）函数的思想：

等比数列的通项公式an＝a1qn－1＝a1q•qn（q>0且q≠1）常和指数函数相联系．（3）整体思想：

应用等比数列前n项和时，常把qn，a11－q当成整体求解．

本题条前n项中数值最大的项为4的利用是解决本题的关键，同时将qn和a11－qn1－q的值整体代入求解，简化了运算，体现了整体代换的思想，在解决有关数列求和的题目时应灵活运用．1．等比数列的通项公式、前n项公式分别为an＝a1qn－1，Sn＝na1，　　　　q＝1，a11－qn1－q，q≠1

2．等比数列的判定方法：

（1）定义法：

即证明an＋1an＝q（q≠0，n∈N*）（q是与n值无关的常数）．

（2）中项法：

证明一个数列满足a2n＋1＝an•an＋2（n∈N*且an•an＋1•an＋2≠0）．

3．等比数列的性质：

（1）an＝a•qn－（n，∈N*）；

（2）若{an}为等比数列，且＋l＝＋n（，l，，n∈N*），则a•al＝a•an；

（3）设公比不为－1的等比数列{an}的前n项和为Sn，则Sn，S2n－Sn，S3n－S2n仍成等比数列，其公比为qn

4．在利用等比数列前n项和公式时，一定要对公比q＝1或q≠1作出判断；计算过程中要注意整体代入的思想方法．

．等差数列与等比数列的关系是：

（1）若一个数列既是等差数列，又是等比数列，则此数列是非零常数列；

（2）若{an}是等比数列，且an>0，则{lgan}构成等差数列．（满分：

7分）

一、选择题（每小题分，共2分）

1．（2010•辽宁）设{an}是由正数组成的等比数列，Sn为其前n项和．已知a2a4＝1，S3＝7，则S等于（　　）

A12B314334D172

2．（2010•浙江）设Sn为等比数列{an}的前n项和，8a2＋a＝0，则SS2等于（　　）

A．－11B．－8．D．11

3．在各项都为正数的等比数列{an}中，a1＝3，前三项的和S3＝21，则a3＋a4＋a等于（　　）

A．33B．72．84D．189

4．等比数列{an}前n项的积为Tn，若a3a6a18是一个确定的常数，那么数列T10，T13，T17，T2中也是常数的项是（　　）

A．T10B．T13．T17D．T2

．（2011•佛模拟）记等比数列{an}的前n项和为Sn，若S3＝2，S6＝18，则S10S等于（　　）

A．－3B．．－31D．33

题号1234

答案

二、填空题（每小题4分，共12分）

6．设{an}是公比为正数的等比数列，若a1＝1，a＝16，则数列{an}前7项的和为________．

7．（2011•平顶月考）在等比数列{an}中，公比q＝2，前99项的和S99＝30，则a3＋a6＋a9＋…＋a99＝________

8．（2010•福建）在等比数列{an}中，若公比q＝4，且前3项之和等于21，则该数列的通项公式an＝________

三、解答题（共38分）

9．（12分）（2010•陕西）已知{an}是公差不为零的等差数列，a1＝1，且a1，a3，a9成等比数列．

（1）求数列{an}的通项；

（2）求数列{2an}的前n项和Sn

10．（12分）（2011•廊坊模拟）已知数列{lg2（an－1）}为等差数列，且a1＝3，a2＝

（1）求证：

数列{an－1}是等比数列；

（2）求1a2－a1＋1a3－a2＋…＋1an＋1－an的值．

11．（14分）已知等差数列{an}的首项a1＝1，公差d>0，且第2项、第项、第14项分别是等比数列{bn}的第2项、第3项、第4项．

（1）求数列{an}与{bn}的通项公式；

（2）设数列{n}对n∈N*均有1b1＋2b2＋…＋nbn＝an＋1成立，求1＋2＋3＋…＋2010

答案自主梳理

1．公比　q　2a1•qn－1　4

（1）qn－　

（2）a•al＝a•an

（4）递增　递减　常　摆动　6qn

自我检测

1．D　2B　3B　4　－9

堂活动区

例1　解题导引　

（1）在等比数列的通项公式和前n项和公式中共有a1，an，q，n，Sn五个量，知道其中任意三个量，都可以求出其余两个量．解题时，将已知条转化为基本量间的关系，然后利用方程组的思想求解；

（2）本例可将所有项都用a1和q表示，转化为关于a1和q的方程组求解；也可利用等比数列的性质转化，两种方法目的都是消元转化．

解　方法一　由已知得：

a21q4＋2a21q6＋a21q8＝100，a21q4－2a21q6＋a21q8＝36①②

①－②，得4a21q6＝64，∴a21q6＝16③

代入①，得16q2＋2×16＋16q2＝100

解得q2＝4或q2＝14

又数列{an}为正项数列，∴q＝2或12

当q＝2时，可得a1＝12，

∴an＝12×2n－1＝2n－2，

Sn＝12（1－2n）1－2＝2n－1－12；

当q＝12时，可得a1＝32

∴an＝32×12n－1＝26－n

Sn＝321－12n1－12＝64－26－n

方法二　∵a1a＝a2a4＝a23，a2a6＝a3a，a3a7＝a4a6＝a2，

由a1a＋2a2a6＋a3a7＝100，a2a4－2a3a＋a4a6＝36，

可得a23＋2a3a＋a2＝100，a23－2a3a＋a2＝36，

即（a3＋a）2＝100，（a3－a）2＝36

∴a3＋a＝10，a3－a＝±6解得a3＝8，a＝2，或a3＝2，a＝8

当a3＝8，a＝2时，q2＝aa3＝28＝14

∵q>0，∴q＝12，由a3＝a1q2＝8，

得a1＝32，∴an＝32×12n－1＝26－n

Sn＝32－26－n×121－12＝64－26－n

当a3＝2，a＝8时，q2＝82＝4，且q>0，

∴q＝2

由a3＝a1q2，得a1＝24＝12

∴an＝12×2n－1＝2n－2

Sn＝12（2n－1）2－1＝2n－1－12

变式迁移1　解　由题意得

a2•an－1＝a1•an＝128，a1＋an＝66，

解得a1＝64，an＝2或a1＝2，an＝64

若a1＝64，an＝2，则Sn＝a1－anq1－q＝64－2q1－q＝126，

解得q＝12，此时，an＝2＝64•12n－1，

∴n＝6

若a1＝2，an＝64，则Sn＝2－64q1－q＝126，∴q＝2

∴an＝64＝2•2n－1∴n＝6

综上n＝6，q＝2或12

例2　解题导引　

（1）证明数列是等比数列的两个基本方法：

①an＋1an＝q（q为与n值无关的常数）（n∈N*）．

②a2n＋1＝anan＋2（an≠0，n∈N*）．

（2）证明数列不是等比数列，可以通过具体的三个连续项不成等比数列证明，也可用反证法．

（1）证明　由已知Sn＋1＝2Sn＋n＋，n∈N*，

可得n≥2时，Sn＝2Sn－1＋n＋4，

两式相减得Sn＋1－Sn＝2（Sn－Sn－1）＋1，

即an＋1＝2an＋1，从而an＋1＋1＝2（an＋1），

当n＝1时，S2＝2S1＋1＋，

所以a2＋a1＝2a1＋6，

又a1＝，所以a2＝11，

从而a2＋1＝2（a1＋1），

故总有an＋1＋1＝2（an＋1），n∈N*，

又a1＝，a1＋1≠0，从而an＋1＋1an＋1＝2，

即数列{an＋1}是首项为6，公比为2的等比数列．

（2）解　由

（1）得an＋1＝6•2n－1，

所以an＝6•2n－1－1，

于是Sn＝6•（1－2n）1－2－n＝6•2n－n－6

变式迁移2　

（1）解　∵a1＋2a2＋3a3＋…＋nan＝（n－1）Sn＋2n（n∈N*），∴当n＝1时，a1＝2×1＝2；

当n＝2时，a1＋2a2＝（a1＋a2）＋4，∴a2＝4；

当n＝3时，a1＋2a2＋3a3＝2（a1＋a2＋a3）＋6，

∴a3＝8

（2）证明　∵a1＋2a2＋3a3＋…＋nan

＝（n－1）Sn＋2n（n∈N*），①

∴当n≥2时，a1＋2a2＋3a3＋…＋（n－1）an－1

＝（n－2）Sn－1＋2（n－1）．②

①－②得nan＝（n－1）Sn－（n－2）Sn－1＋2＝n（Sn－Sn－1）－Sn＋2Sn－1＋2＝nan－Sn＋2Sn－1＋2

∴－Sn＋2Sn－1＋2＝0，即Sn＝2Sn－1＋2，

∴Sn＋2＝2（Sn－1＋2）．

∵S1＋2＝4≠0，∴Sn－1＋2≠0，

∴Sn＋2Sn－1＋2＝2，

故{Sn＋2}是以4为首项，2为公比的等比数列．

例3　解题导引　在解决等比数列的有关问题时，要注意挖掘隐含条，利用性质，特别是性质“若＋n＝p＋q，则a•an＝ap•aq”，可以减少运算量，提高解题速度．

解　由已知得

1a1＋1a2＋1a3＋1a4＋1a

＝a1＋aa1a＋a2＋a4a2a4＋a3a23

＝a1＋a2＋a3＋a4＋aa23＝8a23＝2，

∴a23＝4，∴a3＝±2若a3＝－2，设数列的公比为q，

则－2q2＋－2q－2－2q－2q2＝8，

即1q2＋1q＋1＋q＋q2

＝1q＋122＋q＋122＋12＝－4

此式显然不成立，经验证，a3＝2符合题意，故a3＝2

变式迁移3　解　

（1）∵a3a11＝a27＝4a7，

∵a7≠0，∴a7＝4，∴b7＝4，

∵{bn}为等差数列，∴b＋b9＝2b7＝8

（2）a1a2a3a4＝a1•a1q•a1q2•a1q3＝a41q6＝1①

a13a14a1a16＝a1q12•a1q13•a1q14•a1q1

＝a41•q4＝8②

②÷①：

a41•q4a41•q6＝q48＝8ͤq16＝2，

又a41a42a43a44＝a1q40•a1q41•a1q42•a1q43

＝a41•q166＝a41•q6•q160＝（a41•q6）•（q16）10

＝1•210＝1024

后练习区

1．B　[∵{an}是由正数组成的等比数列，且a2a4＝1，

∴设{an}的公比为q，则q>0，且a23＝1，即a3＝1

∵S3＝7，∴a1＋a2＋a3＝1q2＋1q＋1＝7，即6q2－q－1＝0

故q＝12或q＝－13（舍去），∴a1＝1q2＝4

∴S＝4（1－12）1－12＝8（1－12）＝314]

2．A　[由8a2＋a＝0，得8a1q＋a1q4＝0，所以q＝－2，则SS2＝a1（1＋2）a1（1－22）＝－11]

3．　[由题可设等比数列的公比为q，

则3（1－q3）1－q＝21ͤ1＋q＋q2＝7ͤq2＋q－6＝0

ͤ（q＋3）（q－2）＝0，

根据题意可知q>0，故q＝2

所以a3＋a4＋a＝q2S3＝4×21＝84]

4．　[a3a6a18＝a31q2＋＋17＝（a1q8）3＝a39，即a9为定值，所以下标和为9的倍数的积为定值，可知T17为定值．]

．D　[因为等比数列{an}中有S3＝2，S6＝18，

即S6S3＝a1（1－q6）1－qa1（1－q3）1－q＝1＋q3＝182＝9，

故q＝2，从而S10S＝a1（1－q10）1－qa1（1－q）1－q

＝1＋q＝1＋2＝33]

6．127

解析　∵公比q4＝aa1＝16，且q>0，∴q＝2，

∴S7＝1－271－2＝127

71207

解析　∵S99＝30，即a1（299－1）＝30，

∵数列a3，a6，a9，…，a99也成等比数列且公比为8，

∴a3＋a6＋a9＋…＋a99＝4a1（1－833）1－8

＝4a1（299－1）7＝47×30＝1207

8．4n－1

解析　∵等比数列{an}的前3项之和为21，公比q＝4，

不妨设首项为a1，则a1＋a1q＋a1q2＝a1（1＋4＋16）＝21a1＝21，∴a1＝1，∴an＝1×4n－1＝4n－1

9．解　

（1）由题设知公差d≠0，

由a1＝1，a1，a3，a9成等比数列，

得1＋2d1＝1＋8d1＋2d，…………………………………………………………………………（4分）

解得d＝1或d＝0（舍去）．

故{an}的通项an＝1＋（n－1）×1＝n……………………………………………………（7分）

（2）由

（1）知2an＝2n，由等比数列前n项和公式，

得Sn＝2＋22＋23＋…＋2n＝2（1－2n）1－2

＝2n＋1－2………………………………………………………………………………（12分）

10．

（1）证明　设lg2（an－1）－lg2（an－1－1）＝d（n≥2），因为a1＝3，a2＝，所以d＝lg2（a2－1）－lg2（a1－1）＝lg24－lg22＝1，…………………………………………………………（3分）

所以lg2（an－1）＝n，所以an－1＝2n，

所以an－1an－1－1＝2（n≥2），所以{an－1}是以2为首项，2为公比的等比数列．………（6分）

（2）解　由

（1）可得an－1＝（a1－1）•2n－1，

所以an＝2n＋1，…………………………………………………………………………（8分）

所以1a2－a1＋1a3－a2＋…＋1an＋1－an

＝122－2＋123－22＋…＋12n＋1－2n

＝12＋122＋…＋12n＝1－12n………………………………………………………………（12分）

11．解　

（1）由已知有a2＝1＋d，a＝1＋4d，a14＝1＋13d，

∴（1＋4d）2＝（1＋d）（1＋13d）．

解得d＝2（d＝0舍）．……………………………………………………………………（2分）

∴an＝1＋（n－1）•2＝2n－1………………………………………………………………（3分）

又b2＝a2＝3，b3＝a＝9，

∴数列{bn}的公比为3，

∴bn＝3•3n－2＝3n－1………………………………………………………………………（6分）

（2）由1b1＋2b2＋…＋nbn＝an＋1得

当n≥2时，1b1＋2b2＋…＋n－1bn－1＝an

两式相减得：

当n≥2时，nbn＝an＋1－an＝2……………………………………………（9分）

∴n＝2bn＝2•3n－1（n≥2）．

又当n＝1时，1b1＝a2，∴1＝3

∴n＝3　　　　（n＝1）2•3n－1（n≥2）……………………………………………………………（11分）

∴1＋2＋3＋…＋2010

＝3＋6－2×320101－3＝3＋（－3＋32010）＝32010…………………………………………（14分）