角平分线辅助线专题练习.docx
《角平分线辅助线专题练习.docx》由会员分享，可在线阅读，更多相关《角平分线辅助线专题练习.docx（28页珍藏版）》请在冰豆网上搜索。
角平分线辅助线专题练习
角平分线专题
1、轴对称性：
内容：
角是一个轴对称图形，它的角平分线所在的直线是它的对称轴。
思路和方法：
边角等造全等，也就是在角的两边上取相等的线段构造全等三角形
基本结构：
如图,
2、角平分线的性质定理：
注意两点
（1）距离相等
（2）一对全等三角形
3、定义：
带来角相等。
4、补充性质：
如图，在△ABC中，AD平分/BAC，则有AB:
AC=BD:
DC
针对性例题:
例题1:
如图，AB=2AC,/BAD玄DAC,DA=DB
求证：
DCLAC
例题2:
如图，在△ABC中，/A等于60°,BE平分/ABC,CD平分/ACB求证：
DH=EH
BC
例题3:
如图1,BC>AB,BD平分/ABC，且/A+/C=180°,求证：
AD=DC
思路一：
利用“角平分线的对称性”来构造
因为角是轴对称图形，角平分线是其对称轴，因此，题中若有角平分线，一般可以利用其对称性来构成全等三角形.
证法1:
如图1,在BC上取BE=AB，连结DE,vBD平分
/ABC，•/ABD=/DBE，又BD=BD,•△ABD◎△EBD（SAS）,•••/A=/DBE,AD=DE,又/A+/C=1800,/DEB+/DEC=1800,
贝UAD=DC.
证法2:
如图2,过A作BD的垂线分别交BC、BD于E、F,连结DE,由BD平分/ABC，易得△ABF◎△EBF，贝UAB=BE,BD平分/ABC,BD=BD,ABD◎△EBD（SAS）,•AD=ED,/BAD=/DEB,又/BAD+/C=1800,
/BED+/CED=1800,C=ZDEC,贝UDE=DC,•AD=DC.
说明：
证法1,2,都可以看作将△ABD沿角平分线BD折向全等三角形的.
证法3：
•/BD平分/•••/C=ZE,
图i
C=ZDEC,DE=DC,
BC而构成
如图3,延长BA至E,使BE=BC，连结DE,
ABC,•••/CBD=/DBE，又BD=BD,.••△CBD◎△EBD（SASCD=DE，又/BAD+/C=180°,/DAB+/DAE=1800,
E
:
丄E=/DAE,DE=DA,贝UAD=DC.B图3
说明：
证法3是厶CBD沿角平分线BD折向BA而构成全等三角形的.
从D分别作BC、BA的垂线，垂足为E、F,tBD平分又/BAD+/C=180°,/BAD+/FAD=180°,
FAD◎△ECD（AAS）,贝UAD=DC.
思路二：
利用“角平分线的性质”来构造
由于角平分线上的点到角的两边的距离相等，所以根据这个性质，可以过角平分线上一点向角的两边作垂线而构成两个全等的直角三角形.
证法4:
如图4,
ZABC,•DE=DF,
•Zfad=zC,.・.A
例题4已知：
如图5，在△ABC中,ZC=90°,AC=BCAD平分/CAB求证：
AGCD=AB
证明：
在AB上截取AE=AC•/AD平分ZCAB•ZCADZDABAD=AD•••△CAD^AEAD•••/DE/=90°,vZC=90°,AC=BCB=45°,
•ZB=ZBDE45°
•DE=BE•-A（+CD=AEhDE=AEhBE=AB即AGCDAB
点D恰为AB中点？
写出一个你认为适当的条件，并利用此条件证
囹6
D恰为AB的中点.vZA=30°,ZC=90°（已知），•/CB/=60°（直
又厶BEC^ABED已知），•ZCBEZDBE30°,且ZEDBZC=90°（全
例题5.已知：
如图6，在Rt△ABC中，/C=90°，沿过B点的一条直线BE折叠这个三角形，使C点与AB边上的一点D重合，当/A满足什么条件时，明D为AB中点.
解：
当/A=30°时，点角三角形两锐角互余）.
等三角形对应角相等），•••/DBEZA等量代换）•TBE=AE等角对等边），又/ED昏90°,即EDLAB•D是AB的中点（三线合一）.
角平分线定理使用中的几种辅助线作法
、已知角平分线，构造三角形
BE丄AD于F。
例题、如图所示，在厶ABC中，/ABC=3/C,AD是/BAC的平分线,
求证:
BE
1（AC
AB）
证明：
延长BE交AC于点F。
A
因为角是轴对称图形，对称轴是角的平分线所在的直线,所以AD为/BAC的对称轴，又因为BE丄AD于F,
所以点B和点F关于AD对称，
1
所以BE=FE=BF,AB=AF，/ABF=/AFB。
2
因为/ABF+ZFBC=/ABC=3/C,
/ABF=/AFB=/FBC+ZC,所以/FBC+ZC+ZFBC=3/C,所以/FBC=ZC,所以FB=FC,
111
所以BE=FC=—（AC—AF）=—（AC—AB）,
222
1
所以BE-（ACAB）。
二、已知一个点到角的一边的距离，过这个点作另一边的垂线段
如图所示，Z1=Z2,P为BN上的一点，并且PD丄BC于D,AB+BC=2BD。
求证：
ZBAP+ZBCP=180°。
证明：
经过点P作PE丄AB于点E。
因为PE丄AB,PD丄BC,Z1=Z2,所以PE=PD。
在Rt△PBE和Rt△PBC中
BPBP
PEPD
所以Rt△PBE也Rt△PBC（HL）,
所以BE=BD。
因为AB+BC=2BD,BC=CD+BD,AB=BE—AE,所以AE=CD。
因为PE丄AB,PD丄BC,
所以ZPEB=ZPDB=90°.
在厶PAE和RtAPCD中
PEPD
PEBPDC
AEDC
所以△PAE也RtAPCD,所以/PCB=/EAP。
因为/BAP+ZEAP=180
所以/BAP+ZBCP=180°。
三、已知角平分线和其上面的一点，过这一点作角的两边的垂线段
例题、如图所示，在厶ABC中，PB、PC分别是/ABC的外角的平分线，求证：
/仁/2
证明：
过点P作PE丄AB于点E,PG丄AC于点G,PF丄BC于点F.
因为P在/EBC的平分线上，PE丄AB,PH丄BC,
所以PE=PF。
同理可证PF=PG。
所以PG=PE,
又PE丄AB,PG丄AC,
所以PA是/BAC的平分线，
所以/仁/2。
与三角形的角平分线有关的结论的探究
三角形的内角和等于1800，三角形的外角等于和它不相邻的两个内角的和。
应用以上定理和推论可以探究与三角形的角平分线有关的结论。
从结论的探究过程中，希望同学们能
知：
/
1
1
:
PBC—
ABC,
Z
PCB—
ACB
2
2
所以
BPC
1800
1
ABC
1
-ACB
1
1800丄ABC
2
2
2
ACB
而由BP,CP分别是/ABC和/ACB的角平分线
从中得到有益的启示：
在平时的数学学习中，要学会运用所学知识去探索新的结论，学会探
究，从而不断地提高自己的数学发现与创新的能力，提高数学学习水平。
探究一：
在ABC中，/A,ZB的平分线交于点P,试探究/BPC与/A的关系？
探究：
因为/BPC在ABPC中，由三角形的内角和定理，有：
A
BPC1800PBCPCB
而在在
ABC中，
ABC
ACB
180
A
所以
BPC1800
-1800
A
90°
丄A
2
2
故有结论一：
在
ABC中，/A,ZB的平分线交于点P,则有
1
BPC900A。
2
探究二：
在ABC中，BP是/ABC的平分线，CP是AABC的外角/ACE的平分线,
所以：
.
1
/PBC=-
ABC,/PCE」ACE
2
2
所以Z
BPC」
1ACE—-
ABC
2
2
1
ACE
ABC
1A
2
2
故有结论二：
在
ABC中，
BP是/ABC的平分线,
则有：
BPC1A。
2
探究三：
在ABC中，BP,CP分别是△ABC的两个外角的平分线，
试探究：
/BPC与/A的关系？
探究：
因为/BPC在ABPC中,由三角形的内角和定理，有：
BPC1800PBCPCB
由BP,CP分别是AABC的两个外角的平分线，有：
11
/PBC=EBC，/PCB=BCF
22
而/ABC+ZCBE=18（0，ZACB+ZBCF=18（0，所以/ABC+ZCBE+ZACB+ZBCF=360
试探究：
/BPC与/A的关系？
探究：
由。
卩是4ABC的外角/ACE的平分线,
所以有：
/BPCNPCE-ZBPC
又BP是/ABC的平分线，CP是/ACE的平线
A
。
卩是厶ABC的外角/ACE的平分线,
A
1BPC1800EBCFCB
2
故有结论三：
在ABC中，BP,CP分别是AABC的两个外角的平分线,
所以
1800
11800
A900
1
则有BPC900A。
2
线段垂直平分线的性质定理及其逆定理角平分线的性质定
理及其逆定理水平测试
一、选择题
1.下列说法，错误的是（）
A.三角形任意两个角的平分线的交点到这个三角形的三边的距离都相等
B.三角形任意两个角的平分线的交点必在第三个角的平分线上
C.三角形两个角的平分线的交点到三角形的三个顶点的距离都相等
D.三角形的任意两个角的平分线的交点都在三角形的内部
E.
分别是60cm和38cm,则厶ABC的腰长和底边BC的长分别是（）
A.24cm和12cmB.16cm和22cmC.20cm和16cmD.22cm和16cm
6.将一张长方形纸片按如图所示的方式折叠，BC,BD为折痕，则/
的度数为（
A.60°
10.如图，△ABC中/C=90o,BD平分/ABC交AC于D,DE是AB的垂直平分线,
1
DE=_BD,
2
DE=1.5cm,贝UAC等于（）
A.3cmB.7.5cmC.6cmD.4.5cm
二、填空题
1.已知线段AB和它外一点P,若PA=PB则点P在AB的
;若点P在AB的
A.5cm,53cmB.4cm,5cm
C.5cm,5cmD.5cm,10cm
C.90°
，贝ypa=pb
2.如图，△ABC中，EF是AB的垂直平分线交于D,
AC.
3.如图，ABC
50：
AD垂直平分线段BC于点D,ABC的平分线BE交AD于点
C
E,连结EC,则
AEC的度数是
n
4.如图所示，在
△ABC中，C90,DE是AB的垂直平分线，AB2AC,
BC18cm，则BE的长度为
5.在锐角三角形ABC中，A60,
AB,AC两边的垂直平分线相交于点
O,则BOC
的度数是
6.△ABC中，C90,AD平分
BAC，交BC于D，若DC7,贝UD到AB的距
离是.
7.
5cm,若0ABC三内角平分线交点，则点0到
△ABC的三边长分别为3cm4cm
斜边AB的距离等于
8.如图，已知B0平分CBA,C0平分ACB,MN//BC，且过点0，若AB12,
AC14，则△AMN的周长是
9.如图，BD是ABC的平分线，DE丄AB于E,S^abc
2.如图△ABC中，BABC,B120：
AB的垂直平分线交AC于D，求证:
OB上分别取OM=ON再分另U过
AD-DC.
2
3.用三角尺画角平分线：
如图，/AO昵一个任意角，在边
忖
MN作OAOB勺垂线，交点为P,画射线OP则这条射线即为角平分线°请解军释这种做法的道理•你还能举出哪些作角平分线的方法，并说明这种做法的道
理.
4.如图所示，已知AD是厶ABC的角平分线，DE丄AB,DF丄AC，垂足分别是E,F.
求证：
AD垂直平分EF•
四、探索题
1.如图，在△ABC中,
A90；，AB
AC，BD是ABC的平分线，请你猜想图中
哪两条线段之和等于第三条线段,的条件）.
并证明你的猜想的正确性
（证明你的猜想需要用题中所有
2.如图所示，在等腰△ABC中，ABAC，BAC120•
（1）请你作出两腰的垂直平分线.
（2）若AB边的垂直平分线与AB,BC分别交于点D,E,AC边上的垂直平分线与AC,BC分别相交于点G,F，则△AEF是什么形状？
你能证明吗？
（3）连结DG,DG与BC有什么关系？
（4）若DG5cm，试求△AEF的周长.
答案：
一、1D;2C;3D;4D;5D;6C;7D;8B;9C;10D.
二、1.垂直平分线上；垂直平分线上；2.15;3.115°;4.12cm;5.120;6.7;7.1cm;
8.26;9.cm;10.10cm.
5
三、1.解：
分别作AOB的平分线OC和线段MN的垂直平分线DE，则射线OC与直线DE的交点P即为批发市场应建的地方.
2.证明：
连接BD.AB的垂直平分线交AC于D，二DADB
又BABC,B120,二AC30：
AABD30,二DBC90；
11
Rt△DBC中，有BD-DC，二AD-DC.
22
3.解：
TOM=ONOP=OP「.Rt△OMP2Rt△ONP（HL）,；/MOPMNOP二射线OP是/AOB的平分线.
4.证明：
tAD是AABC的角平分线,
DE丄AB,DF丄AC,
•••DEDF（角平分线上的点到角的两边距离相等）
DEF
DFE
（等角对等边）.
AED
AFD
90（垂直定义），
AEF
AFE
（等角的余角相等）
--AEAF（等角对等边）
•••A,D在EF的中垂线上（和一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分
线上）.
即AD是EF的中垂线.
四、1.解：
猜想结论：
ABADBC，过D作DE丄BC于E.tBD平分ABC,A90；,二ADDE.
•••△ABDEBD,/•ABBE.
tABAC，二C45，二DEEC.
•••ADEC,ABADBC.
2.解：
（1）如图所示.
（2）△AEF是等边三角形.
证明：
tABAC,
BAC120：
二BC30.
tDE垂直平分线
AB,
•••EBEA,
•••BAEB
30,
•••AEF60.
D-.G
60；.
上
G
、
同理可证AFE
•••△AEF是等边三角形.
B
EF
C
（3）因为点DG分别是ABAC的中点，所以DG是中位线，则
DG-BC.
2
（4）tAEBE,AF
AEF的周长为：
AE又•••BC2DG10cm•
FC,
EFAFBEEFFCBC.
•••△AEF的周长为10cm.
选做题
1.△ABC中，B22.5：
C60,AB的垂直平分线交
BC于D，交AB于F,
BD6.2,AELBC于E，求EC的长.
解：
连结AD.
22.5（等边对等角）
又•••AE丄BC,
390：
2
904545*：
C
•••DF是AB的垂直平分线,
•••AE=DE（等角对等边）
222
VDEAEAD（勾股定理）
在RtAACE中，C60，二4
30：
•2AE2=（6、、2）2,•AE6.
C
•••AC2CE（30所对的直角边等于斜边的一半）
222
VACECAE（勾股定理）
•（2CE）2CE2AE2,•3CE2AE2,
•CE212,•CE2.3.
2.如图，/A90,AD//BC,P是AB的中点，PD平分/ADC求证：
CP平分/DCB
证明：
过点P作PELDG垂足于E,
•••Z3Z4ZA90,
•••PD平分ZADC•Z1Z2,
•PAPE,
TP为AB的中点，
•••PAPB,PEPB,
•••AD//BC,/A90,
•P点在/DCB的平分线上.
•CP平分/DCB
3.CE,BF分别是锐角三角形
ABC的ACB,
AFBF，所以延长
EF//BC；
（2）EF
ABC的平分线，AFBF于F,1（ABACBC）.
AF交BC于N，则有△ABN是等
腰三角形，从而F是AN的中点，且ABBN，同理E是AM的中点，且ACCM,11
所以EF//BC，且EF（BNCMCB）（AB
22
ACBC）•
备用题
1如果三角形内的一点到三边的距离相等，则这点是（
A.是三条边中垂线的交点
B.是三角形三条边的中线的交点
C.是三角形三个内角平分线的交点
D.是三角形三条边上的高的交点
2.如图，△AB（中,/CAB=120o,AB,AC勺垂直平分线分别交
C
A.40oB.50oC.60oD.80o
BC于点E、F,则/EAF等于（）
A，与BC相交于点D，且AB2AD,
A.45，
B.60：
C.90「
D.
4.如图，
Rt△
ACB,
C90：
AD平分
确的是（
）B
A.BD
ED
BC
B.DE平分
ADB
3.如果△ABC的边BC的垂直平分线经过顶点则厶ABC中必有一个内角的度数为（）D
120.
CAB,DE丄AB于E，则下列结论中不正
A
C.AD平分EDC
D.EDACAD
5.等腰三角形内有一点P到底边的两端点距离相等，则连结顶点和P的直线一定把底
边•垂直平分
已知EAB:
BAC2:
5，求C的度数.
5.如图，在Rt△ABC中,
B90：
ED垂直平分AC交AC于点D，交BC于点E,
解：
设EAB2x，贝UBAC5x，二CEAC3x.
而CBAC90：
，二5x3x90：
x11.25：
，二C33.75
6.如图所示，AD是BAC的平分线，DE丄AB于E,DF丄AC于F，且BDCD.求证：
BECF.
证明：
tAD是BAC的平分线，DE丄AB,DF丄AC
二DEDF.（角平分线上的点到这个角两边的距离相等）
又•••BDCD,二Rt△DBE如Rt△DCF（HL）
•••BECF.
7.如图，已知在△ABC中，C90：
，点D是斜边AB的中点，AB2BC,DEAB
交AC于E.
E
C
求证：
BE平分ABC.
证明：
••
-D是AB的中点，•BD
2ab，
•••AB
2BC,
•BC
1
-AB,•
2
•BD
BC.
又•••DE
AB,
C
90,•
C
BDE<
又BE
BE,•
Rt△BDE也Rt△BCE
（HL）,
DBEEBC,二BE平分ABC.
角平分线性质定理之应用
三角形的角平分线是三角形的主要线段之一，它在几何的计算或证明中，起着“桥梁”的作用•那么如何利用三角形的角平分线解题呢？
下面举例说明.
一、由角平分线的性质联想两线段相等
例1如图1,AB>AC,/A的平分线与BC的垂直平分线相交于D,自D作DELAB,DF丄AC,垂足分别为E,F.求证：
BE=CF
图1
证明连结DBDC
•/D在/A的平分线上，•••DE=DF
•/D在BC的垂直平分线上，•BD=DC
又/BED=/CFD=90,
•Rt△BDE^Rt△CDF,•BE=CF
二、由角平分线的轴对称性构造全等三角形
A
\
一DF
C
图2
D
例2如图2,BOAB,BD平分/ABC且AD=DC
求证：
/A+ZC=180°.
证明延长BA至F,使BF=BC由BD平分ZABC
在厶FBD与厶CBD中,BF=BCZABD玄CBDBD=BD
•••△FBD^ACBD
•ZC=ZF,DF=CD=ADZF=DAF
•ZA+ZC=ZBAD+ZDAF=180.
三、过角平分线上一点作一边的平行线，构成等腰三角形
例3已知：
如图3,ZABC的平分线BF与ZACB的平分线CF相交于点F,过F作DE//BC,交AB于D,交AC于E,求证：
证明：
•••BF是ZABC的平分线
•ZDFB=/CBF
•ZDBF=/DFB
•BD=FD同理CE=FE
•BD+CE=DF+FE=DE
四、实际生活中的应用
例4如图4,有三条公路li、J、I3两两相交，要选择一地点建一座加油站，是加油站到三
个点到三条公路的距离相等；或者分别作△ABC相邻两外角的平分线，它们的交点到三条
公路的距离也相等，这样点共有三个，所以建加油站的位置共有4种选择.
角平分线携“截长补短”显精彩
角的平分线具有其特有的性质，这一性质在许多问题里都有着广泛的应用•而“截长补
短法”又是解决这一类问题的一种特殊方法，利用此种方法常可使思路豁然开
升级会员 