全校学习答案全九上4章.docx

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全校学习答案全九上4章

第4章　相似三角形

4.1__比例线段__[见B本P40]

第1课时　比例的基本性质

1．下列各组数中，成比例的是（　A　）

A．－6，－8，3，4　　　　

B．－7，－5，14，5

C．3，5，9，12

D．2，3，6，12

【解析】用比例式或用乘积式逐一检验．

2．已知比例外项为m、n，比例内项为p、q，则下面所给的比例式正确的是（　D　）

A．m∶n＝p∶q

B．m∶p＝n∶q

C．m∶q＝n∶p

D．m∶p＝q∶n

【解析】根据比例外项、比例内项的概念，判断可知选D.

3．如果＝，则等于（　A　）

A.　　　　B.　　　　C．3.5　　　　D．2

4．如果＝，那么下列各式一定成立的是（　D　）

A.＝B.＝

C.＝D.＝

【解析】＝⇒＋2＝＋2⇒＝.

5．若＝＝，则的值是（　C　）

A．3B．4

C．2D．1

【解析】设＝＝＝k，则a＝2k，b＝7k，c＝5k，所以＝＝2，故选C.

6．下面4条线段中，不能成比例的是（　C　）

A．a＝3，b＝6，c＝2，d＝4

B．a＝1，b＝，c＝，d＝

C．a＝4，b＝6，c＝5，d＝10

D．a＝2，b＝，c＝，d＝2

【解析】A中，＝＝，＝＝，∴＝；B中，＝，＝＝，∴＝；C中，ab≠cd，ac≠bd，ad≠bc；D中，＝，＝＝，∴＝.故选C.

7．[2012·凉山州]已知＝，则的值是（　D　）

A.B.

C.D.

8．如果2x＝5y，则＝____，＝____，＝____．

【解析】由2x＝5y，得＝，所以＋1＝＋1，即＝，－1＝－1，即＝.

9．若＝，则＝____．

【解析】＝⇒＝⇒＝.

10．求下列各式中x的值∶

（1）3∶x＝6∶12；

（2）x∶（x＋1）＝（1－x）∶3.

解：

（1）由比例的基本性质可知∶6x＝3×12，∴x＝6.

（2）由比例的基本性质可知∶（1＋x）（1－x）＝3x，

∴x2＋3x－1＝0，∴x1＝，x2＝.

11．已知＝≠1，求证：

＝.

证明：

∵＝，

∴1＋＝1＋，

∴＝，　　　①

∵＝，

∴1－＝1－

，∴＝　　　②

①÷②得＝.

12．已知线段a，b，c，且＝＝.

（1）求的值；

（2）若线段a，b，c满足a＋b＋c＝27，求a，b，c的值．

解：

（1）设＝＝＝k，

则a＝2k，b＝3k，c＝4k，

∴＝＝.

（2）∵a＋b＋c＝27，

∴2k＋3k＋4k＝9k＝27，

解得k＝3，

∴a＝6，b＝9，c＝12.

13．若＝，则＝____，＝__－__．

【解析】∵＝，∴5a＋5b＝6b，∴5a＝b，∴＝，＝＝－.

14．已知＝＝，则＝____．

【解析】设x＝2k，y＝3k，z＝4k，则＝＝.

15．已知x∶y∶z＝3∶5∶6，且2x－y＋3z＝38，则3x＋y－2z＝__4__．

【解析】因为x∶y∶z＝3∶5∶6，所以可设＝＝＝k，则x＝3k，y＝5k，z＝6k.又因为2x－y＋3z＝6k－5k＋18k＝38，即k＝2，所以3x＋y－2z＝9k＋5k－12k＝2k＝4.

16．[2011·毕节]已知＝＝＝k，则k的值是__2或－1__．

【解析】

（1）当a＋b＋c≠0时，

∵＝＝＝k，

∴＝k，∴k＝2；

（2）当a＋b＋c＝0时，a＋b＝－c，∴k＝－1，

∴k的值为2或－1.

17．已知三个数1，2，，请你再添一个数（只添一个），使它们能构成一个比例式，试求这个数：

解：

设这个数为x，分三种情形讨论∶

①当x与1是两内项时，x＝2；

②当x与2是两内项时，x＝；

③当x与是两内项时，x＝，

故这个数为2或或.

18．已知x∶y∶z＝4∶5∶7，求：

（1）；

（2）.

解：

令x＝4k，y＝5k，z＝7k，则∶

（1）＝＝＝.

（2）＝＝＝.

19．若＝＝＝，求∶

（1）；

（2）；

（3）比较

（1），

（2）的结论，你能发现什么规律？

解：

（1）令a＝b，c＝d，

则＝＝.

（2）令a＝b，c＝d，e＝f，

则＝

＝＝.

（3）若＝＝＝k，

则＝k.

20．操场上有一群学生玩游戏，其中男生与女生的人数比是3∶2，后来又有6名女生参加，此时男生与女生的人数比为5∶4，求原来各有多少男生和女生？

解∶设原来有男生x人，女生y人，则

于是有

解得

所以原来有男生45人，女生30人．

21．丽丽和父亲下完一局围棋后，随意收拾棋子时发现左盒中黑，白棋子枚数之比为2∶1，右盒中黑，白棋子枚数之比为4∶11，已知一副围棋中有黑，白各180枚棋子，求左，右盒中黑，白棋子各为多少枚？

【解析】设左盒中的白棋子为x枚，根据题意可得左盒中黑棋子为2x枚，右盒中黑，白棋子分别为（180－2x）枚，（180－x）枚，再根据右盒中黑，白棋子枚数之比为4∶11，即可列比例式求解．

`解：

设左盒中的白棋子为x枚，则黑棋子为2x枚，右盒中黑，白棋子分别为（180－2x）枚，（180－x）枚，

根据题意得（180－2x）∶（180－x）＝4∶11，

解得x＝70，

∴2x＝140，180－2x＝40，180－x＝110.

答∶左盒中黑，白棋子分别为140枚，70枚，右盒中黑，白棋子分别为40枚，110枚．

第2课时　比例线段[见A本P38]

1．下列各组线段（单位∶cm）中，是成比例线段的是（　B　）

A．1、2、3、4　　　　　　　　B．1、2、2、4

C．3、5、9、13D．1、2、2、3

【解析】A、C、D都不是成比例线段，故选B.

2．在相同时刻的物高与影长成比例，小明的身高为1.5m，在地面上的影长为2m，同时一古塔在地面上的影长为40m，则古塔高为（　C　）

A．60mB．40m

C．30mD．25m

【解析】设古塔高为xm，则有＝，解得x＝30（m）．故选C.

3．已知四条线段a、b、c、d是成比例线段，即＝，下列各式错误的是（　C　）

A．ad＝bcB.＝

C.＝D.＝

4．已知A、B两地的实际距离AB＝5000m，画在地图上的距离A′B′＝2cm，则这张地图的比例尺是（　D　）

A．2∶5B．1∶25000

C．25000∶1D．1∶250000

5．已知P是线段AB上一点，且＝，则等于（　A　）

A.B.

C.D.

【解析】由＝，则可设AP＝2k，PB＝5k，∴AB＝7k，∴＝＝，故选A.

6．在比例尺为1∶40000的工程示意图上，南京地铁一号线（奥体中心至迈臬桥段）的长度约为54.3cm，它的实际长度约为（　C　）

A．0.2172km　　　　　B．2.172km

C．21.72km　　　D．217.2km

【解析】设实际长度为xcm，则＝，解得x＝2172000（cm）＝21.72（km），故选C.

7．四条线段a，b，c，d成比例，其中b＝3cm，c＝2cm，d＝6cm，则线段a的长为__1__cm.

【解析】∵a，b，c，d是成比例线段，∴＝，∴＝，∴a＝1（cm）．

8．正方形的边长与对角线的比是__1∶__；等边三角形的边长与高的比是__2∶__．

【解析】设正方形的边长为1，则对角线长为，其比为1∶；设等边三角形的边长为1，则高为，其比为1∶＝2∶.

9．若△ABC的三个内角的比为1∶2∶3，则这个三角形的三边长的比为__1∶∶2__．

【解析】△ABC的三个内角为30°，60°，90°，所以设30°角所对的直角边为1，则斜边长为2，另一直角边长为，故三边长的比为1∶∶2.

10．已知线段m＝10mm，n＝2cm，e＝cm，d＝2cm，试判断m，n，e，d是否是成比例线段．

解：

先把单位化成一致．

m＝1cm，n＝2cm，e＝cm，d＝2cm，

∵md＝2，ne＝2，

∴md＝ne，

∴＝，

故m，n，e，d是成比例线段．

11．在比例尺为1∶50000的地图上，一块多边形地区的周长是72cm，多边形的两个顶点A，B之间的距离是25cm，求这个地区的实际边界长和A，B两地之间的实际距离．

解：

∵实际距离＝图上距离×比例尺，

∴A、B两地之间的实际距离＝25×50000＝1250000（cm）＝12.5km，这个地区的实际边界长＝72×50000＝3600000（cm）＝36km.

12．如图4－1－1，已知＝，AD＝6.4cm，DB＝4.8cm，EC＝4.2cm，求AC的长．

图4－1－1

解：

∵＝，

∴＝，

∴AE＝5.6，

∴AC＝AE＋EC＝5.6＋4.2＝9.8.

13．如图4－1－2所示，延长线段AB到点C，使BC＝2AB，再延长线段BA到点D，使AD＝AB，则CD∶BD为（　A　）

图4－1－2

A．7∶3B．5∶2

C．7∶2D．5∶3

【解析】∵CD＝AD＋AB＋BC＝AB＋AB＋2AB＝AB，BD＝AD＋AB＝AB＋AB＝AB，

∴CD∶BD＝AB∶AB＝7∶3.故选A.

14．已知在△ABC和△A′B′C′中，＝＝＝，A′B′＋B′C′＋C′A′＝16cm，则AB＋BC＋AC＝（　B　）

A．48cmB．24cm

C．18cmD．36cm

【解析】∵AB＝A′B′，BC＝B′C′，AC＝A′C′，∴AB＋BC＋AC＝（A′B′＋B′C′＋A′C′）＝×16＝24（cm）．

15．如图4－1－3所示，一张矩形纸片ABCD的长AB＝acm，宽BC＝bcm，E，F分别为AB，CD的中点，这张纸片沿直线EF对折后，矩形AEFD的长与宽之比等于矩形ABCD的长与宽之比，则a∶b等于（　A　）

图4－1－3

A.∶1B．1∶

C.∶1D．1∶

16．如图4－1－4，已知＝＝，求，，.

图4－1－4

解：

∵＝，∴令AD＝3k，DB＝2k，

则AB＝AD＋DB＝5k，∴＝＝.

同理＝＝，＝.

17．如图4－1－5所示，已知在Rt△ABC中，CD是斜边AB上的高，AC＝8，BC＝6，求CD的长．

图4－1－5

【解析】由S△ABC＝AC·BC＝AB·CD，得AC·BC＝AB·CD.

解：

在Rt△ABC中，由勾股定理，得AB＝＝＝10.

∵S△ABC＝AC·BC＝AB·CD，

∴AC·BC＝AB·CD，

∴＝，

∴＝，

∴CD＝4.8.

18．如图4－1－6，已知AD，CE是△ABC中边BC，AB上的高，求证：

AD∶CE＝AB∶BC.

图4－1－6

证明：

利用面积法证明．

∵S△ABC＝AD·BC＝AB·CE，

∴AD·BC＝AB·CE，

即AD∶CE＝AB∶BC.

19．如图4－1－7，在线段AB上存在一点C，满足AC∶CB＝CB∶AB＝k.

图4－1－7

（1）求k的值；

（2）如果三条线段a，b，c满足a∶b＝b∶c＝k，问这三条线段能否构成三角形，如果能，请指出三角形的形状；如果不能，请说明理由．

解：

（1）∵AC∶CB＝CB∶AB＝k，

若设AB＝1，则CB＝k，AC＝k2.

又∵AC＋BC＝AB，

∴k2＋k＝1，

∴k＝.

又∵k＞0，∴k＝.

（2）∵a∶b＝b∶c＝k，

∴b＝kc＝c，a＝kb＝c＝c，

∴a＋b＝c，

∴线段a、b、c不能构成三角形．

第3课时　比例中项[见B本P42]

1．已知三条线段a，b，c中，有c2＝ab，则称c是a，b的比例中项，若a＝2，b＝8，则a，b的比例中项c的值为（　A　）

A．4　　　　B．±4　　　C．±16　　　　D．16

【解析】∵c2＝2×8，∴c＝±4，负数不合题意应舍去，故选A.

2．如图4－1－8所示，点C把线段AB分成两条线段AC和BC，如果＝，那么称线段AB被点C黄金分割，AC与AB的比叫做黄金比，其比值是（　A　）

图4－1－8

A.B.C.D.

3．若x是a，b的比例中项，则下列式子错误的是（　D　）

A．x2＝abB.＝

C.＝D．ab＝

【解析】∵x是a，b的比例中项，∴x2＝ab，即只要利用比例的基本性质，可化成上式就对．

4．如果a∶b＝12∶8，且b是a和c的比例中项，那么b∶c等于（　B　）

A．4∶3B．3∶2C．2∶3D．3∶4

【解析】∵a∶b＝12∶8，b是a和c的比例中项，即a∶b＝b∶c，∴b∶c＝12∶8＝3∶2.

5．已知线段AB＝10cm，点C是线段AB的黄金分割点（AC＞BC），则AC的长为（　C　）

A．（5－10）cmB．（15－5）cm

C．（5－5）cmD．（10－2）cm

【解析】∵点C是线段AB的黄金分割点（AC＞BC），

∴AC＝AB，而AB＝10cm，

∴AC＝×10＝（5－5）cm.故选C.

6．如图4－1－9所示，扇子的圆心角为x°，余下扇形的圆心角为y°，x与y的比通常按黄金比来设计，这样的扇子外形较美观，若黄金比取0.618，则x为（　B　）

A．222B．138C．139D．108

图4－1－9

【解析】根据题意，得＝0.618，y＝360－x，∴x＝0.618（360－x），解得x≈138.故选B.

7．如图4－1－10是一种贝壳的俯视图，点C分线段AB近似于黄金分割比．已知AB＝10cm，则AC的长约为__6.2__cm（结果精确到0.1cm）．

图4－1－10

【解析】由图可知AC＞BC，∴AC＝×10≈0.618×10≈6.2（cm）．

8．小明家的房间高度为2.8米，他打算用“黄金分割”的知识在墙上挂一幅画来美化居室，从地面算起，这幅画应挂在约__1.73__米高的地方，才能使人感到舒适（结果精确到0.01m）．

9．0.618是黄金分割比，当环境温度与人的正常体温（36.5℃）的比值等于黄金分割比时，机体的新陈代谢、生理功能均处于最佳状态，则环境温度为__22.6℃__时，人感到最舒适（精确到0.1℃）．　

【解析】设环境温度为x℃时，人感到最舒适，则≈0.618，则x≈22.6.

10．

（1）已知a＝4，c＝9，若b是a，c的比例中项，求b的值．

（2）已知线段MN是AB，CD的比例中项，AB＝4cm，CD＝5cm，求MN的长．并思考两题有何区别．

解：

（1）∵b是a，c的比例中项，

∴a∶b＝b∶c，

∴b2＝ac，

b＝±，

∵a＝4，c＝9，

∴b＝±＝±6，即b＝±6；

（2）∵MN是线段，

∴MN>0；

∵线段MN是AB，CD的比例中项，

∴AB∶MN＝MN∶CD，

∴MN2＝AB·CD，

∴MN＝±；

∵AB＝4cm，CD＝5cm，

∴MN＝±＝±2，

MN不可能为负值，则MN＝2，

通过解答

（1），

（2）发现，b，MN同时作为比例中项出现，b可以取负值，而MN不可以取负值．

11．某公司生产一种新型手杖，其长为1.2m，现要在黄金分割点位置安放一个小装饰品，试确定所安放的小装饰品的位置（注∶该装饰品离手杖的上端较近，精确到0.01m）．

解：

设该装饰品离手杖上端的距离是xm，由题意，得＝，解得x≈0.46（m），

即该装饰品离手杖上端的距离约为0.46m.

图4－1－11

12．一般认为，如果一个人的肚脐以上的高度与肚脐以下的高度符合黄金分割，则这个人好看．如图4－1－11是一个参加空姐选拔的选手的身高情况，那么她应穿多高的鞋子才能好看？

（结果精确到1cm，参考数据∶黄金分割比为，≈2.236）

解：

设应该穿xcm的鞋子，

由题意，得＝，解得x≈10（cm）．

13．[2012·天津]如图4－1－12，在边长为2的正方体ABCD中，M为边AD的中点，延长MD到点E，使ME＝MC，以DE为边作正方形DEFG，点G在边CD上，则DG的长为（　D　）

A.－1B.3－C.＋1D.－1

图4－1－12

14．[2012·宿迁]如图4－1－13，已知P是线段AB的黄金分割点，且PA＞PB，若S1表示以PA为一边的正方形的面积，S2表示长是AB，宽是PB的矩形的面积，则S1__＝__S2（填“＞”“＝”或“＜”）．

图4－1－13

【解析】∵P是线段AB的黄金分割点，且PA＞PB，∴PA2＝PB·AB，又∵S1表示PA为一边的正方形的面积，S2表示长是AB，宽是PB的矩形的面积，∴S1＝PA2，S2＝PB·AB，∴S1＝S2.

15．如图4－1－14所示，在△ABC中，AB＝AC＝4，BC＝2（－1），∠A＝36°，BD平分∠ABC，交AC于点D，试说明点D是线段AC的黄金分割点．

图4－1－14

解：

∵AB＝AC，∠A＝36°，

∴∠C＝∠ABC＝＝72°.

∵BD平分∠ABC，∴∠DBC＝∠ABD＝36°，

∴∠CDB＝180°－72°－36°＝72°＝∠C，∠A＝∠ABD＝36°，

∴BC＝BD＝AD＝2（－1），

∴＝＝，

＝＝＝，

∴＝，故点D是线段AC的黄金分割点．

16．[2012·恩施]如图4－1－15，用纸折出黄金分割点∶裁一张正方形的纸片ABCD，先折出BC的中点E，再折出线段AE，然后通过折叠使EB落在线段EA上，折出点B的新位置B′，因而EB′＝EB.类似地，在线段AB上折出点B″，使AB″＝AB′，这时B″就是线段AB的黄金分割点．请你证明这个结论．

图4－1－15

证明：

设正方形ABCD的边长为2，E为BC的中点，

∴BE＝1，∴AE＝＝.

又B′E＝BE＝1，∴AB′＝AE－B′E＝－1.

又∵AB″＝AB′＝－1，∴AB″∶AB＝（－1）∶2，

∴点B″是线段AB的黄金分割点．

17．若一个矩形的短边与长边的比值为（黄金分割数），我们把这样的矩形叫做黄金矩形．

（1）操作∶请你在图4－1－16所示的黄金矩形ABCD（AB>AD）中，以短边AD为一边作正方形AEFD；

（2）探究∶在

（1）中得到的四边形EBCF是不是黄金矩形？

请说明理由；

（3）归纳∶通过上述操作及探究，请概括出具有一般性的结论（不需要说明原因）．

图4－1－16

第17题答图

解：

（1）在AB和DC上分别截取AE＝DF＝AD，连结EF，如图所示，则四边形AEFD就是所求作的正方形．

（2）四边形EBCF是黄金矩形．

理由∶因为四边形AEFD是正方形，

所以∠AEF＝90°，∠BEF＝90°，

所以四边形EBCF是矩形．

设CD＝a，AD＝b，则＝，

所以＝＝－1＝－1＝，

所以矩形EBCF是黄金矩形．

（3）在黄金矩形内以短边为边作一个正方形后，所得到的另外一个矩形是黄金矩形．

4.2__由平行线截得的比例线段__[见A本P40]

1．如图4－2－1，已知AB//CD//EF，那么下列结论正确的是（　A　）

图4－2－1

A.＝　　　　B.＝

C.＝D.＝

2．如图4－2－2，已知BD//CE，则下列等式不成立的是（　A　）

图4－2－2

A.＝B.＝

C.＝D.＝

3．如图4－2－3，已知直线a//b//c，直线m，n与a，b，c分别交于A，C，E，B，D，F，AC＝4，CE＝6，BD＝3，则BF＝（　B　）

图4－2－3

A．7　　　B．7.5　　　C．8　　　D．8.5

【解析】∵a//b//c，∴＝，

∴＝，

∴DF＝4.5，

∴BF＝BD＋DF＝7.5.

4．如图4－2－4，若l1//l2，那么以下正确的是（　D　）

图4－2－4

A.＝B.＝

C.＝D.＝

5．如图4－2－5所示，△ABC中，DE//BC，AD＝5，BD＝10，AE＝3，则CE的值为（　B　）

A．9B．6

C．3D．4

图4－2－5

【解析】∵DE//BC，∴＝，∵AD＝5，∴BD＝10，AE＝3，∴＝，∴CE＝6，故选B.

6．[2013·温州]如图4－2－6，在△ABC中，点D，E分别在边AB，AC上，DE∥BC.已知AE＝6，＝，则EC的长是（　B　）

4－2－6

A．4.5B．8C．10.5D．14

【解析】根据平行线分线段成比例定理，列出比例式求解即可得到答案．

∵DE∥BC，

∴＝

∵AE＝6，

∴＝，

解得EC＝8，则EC的长是8.

7．如图4－2－7，已知l1//l2//l3，AM＝3cm，BM＝5cm，CM＝4.5cm，EF＝12cm，则DM＝__7.5__cm，EK＝

__4.5__cm，FK＝__7.5__cm.

图4－2－7

8．如图4－2－8，已知AC//DB，OA∶OB＝3∶5，OA＝9，CD＝32，则OB＝__15__，OD＝__20__

图4－2－8

【解析】∵＝，∴OB＝OA＝×9＝15.

设OD＝x，则OC＝32－x.

∵AC//DB，∴＝，∴＝，解得x＝20.

9．已知如图4－2－9，l1//l2//l3，AB＝3，BC＝5，DF＝16，求DE和EF的长．

图4－2－9

解：

∵l1//l2//l3，∴＝＝，即＝.

∴DE＝6，

∴EF＝DF－DE＝16－6＝10.

10．如图4－2－10，点F是▱ABCD的边CD上一点，直线BF交AD的延长线于点E，则下列结论错误的是（　C　）

图4－2－10

A.＝B.＝

C.＝D.＝

11．[2013·上海]如图4－2－11，已知在△ABC中，点D，E，F分别是边AB，AC，BC上的点，DE∥BC，EF∥AB，且AD∶DB＝3∶5，那么CF∶CB等于（　A　）

4－2－11

A.5∶8B．3∶8

C．3∶5D．2∶5

【解析】∵AD∶DB＝3∶5，∴BD∶AB＝5∶8，

∵DE∥BC，∴CE∶AC＝BD∶AB＝5∶8，

∵EF∥AB，

∴CF∶CB＝CE∶AC＝5∶8.

故选A.

12．如图4－2－12，已知AB//MN，BC//NG，求证：

＝.

图4－2－12

证明：

∵AB//MN.∴＝.

又∵BC//NG.∴＝，

∴＝.

13．如图4－2－13，▱ABCD中，点E在CD延长线上，连接BE交AD于点F，若AB＝3，BC＝4，DF＝1，求DE的长．

图4－2－13

解：

∵四边形ABCD是平行四边形．

∴AB＝DC，AD＝BC.

∵AB∥DC，AD∥BC，

∴＝＝，∴＝.

又∵AF＝AD－DF＝BC－DF＝3.

∴＝，∴DE＝1.

14．已知，如图4－2－14，A，C，E和B，F，D分别是∠O两边上的点，且AB∥ED，BC∥FE.

求证：

OA·OD＝OC·OF.

4－2－14

证明：

∵AB//ED，

∴＝，

∴OA·OD＝OE·OB，

∵BC//FE，∴＝，

∴OE·OB＝OC·OF，

∴OA·OD＝OC·OF.

15．[2013，上海]如图4－2－15，在△ABC中，∠ACB＝90°，∠B>∠A，点D为边AB的中点，DE//BC交AC于点E，CF//AB交DE的延长线于点F.

（1）求证：

DE＝EF；

（2）连结CD，过点D作DC的垂线交CF的延长线于点G，

求证：

∠B＝∠A＋∠DGC.

图4－2－15

证明：

（1）∵DE//BC，∴＝，

∵点D为边AB的中点，∴AE＝EC，

∵CF//AB，∴＝，

∴DE＝EF；

（2）∵CF//AB，∴∠A＝