最新全国考研数学历年真题数学一打印版.docx
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最新全国考研数学历年真题数学一打印版
2017年全国硕士研究生入学统一考试数学
（一）试卷
一、选择题：
1~8
小题，每小题
4分，共32
分，下列每题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的
1cos
x
（1）若函数f（x）
ax
x0在x
0处连续，则（）
b,x
0
1
（B）ab
1
0（D）ab2
（A）ab
（C）ab
2
2
（2）设函数fx可导，且fxfx0则（）
（A）f1f1（B）f1f1
（C）f1f1（D）f1f1
（3）函数fx,y,zx2yz2在点1,2,0处沿向量n1,2,2的方向导数为（）
（A）12（B）6（C）4（D）2
（4）甲乙两人赛跑，计时开始时，甲在乙前方10（单位:
m）处,如下图中，实线表示甲的速度曲线vv1t（单
位:
m/s）虚线表示乙的速度曲线vv2t，三块阴影部分面积的数值依次为10，20，3，计时开始后乙追上甲的时
刻记为t0（单位:
s）,则（）
（A）t010
（B）15t020（C）t025
（D）t025
v（m/s）
10
20
051015202530t（s）
（5）设
为n维单位列向量，
E为n阶单位矩阵，则（
）
（A）
E
T不可逆
（B）E
T不可逆
（C）
E
2
T
不可逆
（D）E
2
T
不可逆
2
0
0
2
1
0
1
0
0
（6）已知矩阵A
0
2
1
B0
2
0C
0
2
0
，则（
）
0
0
1
0
0
1
0
0
2
1
（A）A与C相似，B与C相似
（B）A与C相似，B与C不相似
（C）A与C不相似，B与C相似
（D）A与C不相似，B与C不相似
（7）设A,B为随机事件，若0
P（A）1,0
P（B）
1,则P
ABPAB的充分必要条件是（
）
A.PBAPBA
BPBAPBA
C.
PBAPBA
D.PBAPBA
（8）设X1,X2
......Xn（n
2）来自总体
N（
1
n
则下列结论中不正确的是：
（
）
1）的简单随机样本，记X
Xi
ni1
（A）
（Xi
）2服从
2分布
（B）
2（Xn
X1）2服从
2分布
n
X）2服从
2分布
）2
2分布
（C）
（Xi
（D）
n（X
服从
i1
二、填空题：
9~14
小题，每小题
4分，共
24
分。
（9）已知函数f（x）
1
则f（3）（0）
1
x2
__________
（10）微分方程y
2y
3y
0的通解为y
__________
（11）若曲线积分
xdx
dydy在区域D
x,y
x2
y2
1内与路径无关，则
a
L
x2
y2
1
（12）幂级数
1
n1
）内的和函数S（x）
n1
nxn1在区间（-1,1
1
0
1
（13）设矩阵A
1
1
2，
1,
2,3为线性无关的3维列向量组，则向量组
A1,A2,A3的秩为
0
1
1
（14）设随机变量
X的分布函数为
F
x
0.5
x
0.5
x4
x
为标准正态分布函数，则EX=
，其中
2
三、解答题：
15~23小题，共94分。
解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
（15）（本题满分10分）
设函数fu,v具有2阶连续偏导数，yfex,cosx,求dy
dx
d2y
，
2
x0dx
x0
2
（16）（本题满分10分）
求lim
n
k2ln1
k
nk
k
1n
n
（17）（本题满分10分）
已知函数yx由方程x3
y3
3x3y20确定，求y
x得极值
（18）（本题满分10分）
设函数
f（x）在0,1
上具有2阶导数，f
（1）0,lim
f（x）
0
x0
x
证
（1）方程f（x）
0在区间（0,1）
至少存在一个根；
（2）方程f（x）f
（x）[f（x）]2
0在区间（0,1）
内至少存在两个不同的实根.
（19）（本题满分10
分）
设薄片型物体
S是圆锥面
Zx2
y2
被柱面Z2
2x
割下的有限部分，其上任一点弧度为
u（x,y,z）
2
2
y
2
9x
。
z记圆锥与柱面的交线为C
（1）求C在xOy平面上的投影曲线的方程
（2）求S的质量M
（20）（本题满分
11分）
设三阶行列式A
（1,2,3）有3个不同的特征值，且3122
（1）
证明r（A）
2
（2）如果123求方程组Ax的通解
3
（21）（本题满分11分）
设二次型f（x,x
x）2x2
x2
ax2
2xx
8xx
3
2xx
3
在正交变换
xQy
下的标准型为
1y12
2y22求
12
3
1
2
3
12
1
2
，
a的值及一个正交矩阵
Q.
（22）（本题满分11分）
设随机变量X，Y互独立，且
的概率分布为PX0PX2
1
2y,0y1
，Y概率密度为f
y
2
0,其他
（1）求PYEY
（2）求Z
XY的概率密度
（23）（本题满分
11分）
某工程师为了解一台天平的精度，用该天平对一物体的质量做
n次测量，该物体的质量
是已知的，设n次测量结
果x1,x2,
xn相互独立，且均服从正态分布N
2
，该工程师记录的是n次测量的绝对误差
zixi
i
1,2,n,，利用z1,z2,,zn估计
（I）求z1的概率密度
（II）利用一阶矩求的矩估计量
（III）求的最大似然估计量
4
2016年全国硕士研究生入学统一考试数学
（一）试卷
一、选择题：
1～8小题，每小题4分，共32分，下列每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求的，请将
所选项前的字母填在答题纸指定位置上.
．．．
（1）若反常积分
1
bdx收敛，则（
）
0
xa1x
Aa1且b1
Ba1且b1
Ca1且ab1Da
1且ab1
（2）已知函数f
x
2x
1,x
1
x的一个原函数是（
lnx,x
1
，则f
）
x
2
x
1
2
1
AFx
1
x1
BFx
x
xlnx
1,x
1
x
lnx
1
1,x1
x
1
2
1
x
2
x1
CF
x
x
DF
x
1
x
lnx
1
1,x
1
xlnx
1
1,x
1
（3）若y
1
x2
2
1x2,y
1
x2
2
1
x2
是微分方程
y
p
xyq
x的两个解，则qx
（
）
A3x1x2
B3x1x2
C
1
x
D
1
x
x2
x2
x,x
0
（4）已知函数f
x
1,
1
x
1,n
1,2,
，则（
）
nn
1
n
（A）x
0是f
x
的第一类间断点
（B）x
0是f
x
的第二类间断点
（C）f
x在x
0
处连续但不可导
（D）f
x在x
0
处可导
（5）设A，B是可逆矩阵，且
A与B相似，则下列结论错误的是（
）
（A）AT与BT相似
（B）A1与B1相似
（C）AAT与BBT相似
（D）AA1与BB1相似
（6）设二次型fx1,x2,x3
x1
2
x2
2
x3
2
4x1x24x1x3
4x2x3，则f
x1,x2,x3
2在空间直角坐标下表示的
二次曲面为（
）
（A）单叶双曲面
（B）双叶双曲
（C）椭球面
（D）柱面
（7）设随机变量
X~N,
2
0
，记p
PX
2，则（
）
（A）p随着
的增加而增加
（B）p随着
的增加而增加
（C）p随着
的增加而减少
（D）p随着
的增加而减少
5
（8）随机试验E有三种两两不相容的结果
A1,A2,A3，且三种结果发生的概率均为
1，将试验E独立重复做2次，
3
X表示2次试验中结果
A1发生的次数，Y表示2次试验中结果
A2发生的次数，则
X与Y的相关系数为（
）
（A）
1
1
1
1
2
（B）
（C）
（D）
3
2
3
二、填空题：
9
14
小题，每小题4分，共24分，请将答案写在答题纸
指定位置上.
．．．
x
tsintdt
tln1
（9）lim0
1
cosx
2
__________
x0
（10）向量场Ax,y,z
x
yzi
xyj
zk的旋度rotA
_________
（11）设函数
f
u,v可微，z
zx,y
由方程x
1z
y2
x2fx
z,y
确定，则dz0,1_________
（12）设函数f
x
arctanx
x
，且f（0）
1
，则a
________
1
ax2
1
0
0
（13）行列式
0
1
0
____________.
0
0
1
4
3
2
1
（14）设x1,x2,...,
xn为来自总体N
2
的简单随机样本，样本均值
x
9.5，参数
的置信度为0.95
的双侧置
信区间的置信上限为
10.8，则
的置信度为
0.95的双侧置信区间为______.
三、解答题：
15—23小题，共
94分.请将解答写在答题纸
指定位置上.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
．．．
（15）（本题满分
10分）已知平面区域
D
r,
2
r21cos
2
2
，计算二重积分
xdxdy.
D
（16）（本题满分10分）设函数y（x）满足方程y2yky0其中0k1.
证明：
反常积分
y（x）dx收敛；
0
若y（0）1,y（0）
1，求
y（x）dx的值.
0
6
（17）（本题满分10分）设函数
f（x,y）满足f（x,y）
（2x1）e2xy,且f（0,y）
y1,Lt是从点（0,0）到点（1,t）
x
的光滑曲线，计算曲线积分I（t）
f（x,y）dx
f（x,y）dy，并求I（t）的最小值
Lt
x
y
（18）设有界区域由平面2xy2z2与三个坐标平面围成，为整个表面的外侧，计算曲面积分
Ix21dydz2ydzdx3zdxdy
（19）（本题满分10分）已知函数f（x）可导，且f（0）
1，0f'（x）
1
xn满足xn1
f（xn）（n1,2...），
，设数列
2
证明：
（I）级数
（xn1xn）绝对收敛；
n1
（II）limxn
存在，且0limxn2.
n
n
1
1
1
2
2
（20）（本题满分
11分）设矩阵A2
a
1
B
1
a
1
1
a
a1
2
当a为何值时，方程
AXB无解、有唯一解、有无穷多解？
011
（21）（本题满分11分）已知矩阵A230
000
（I）求A99
7
（II）设3阶矩阵B
（,2,3）满足B2
BA，记B100
（1,2,3）将
1,2,3分别表示为
1,2,3的线性组
合。
（
22）（本题满分
11分）设二维随机变量
（X,Y）在区域D
x,y0x1,x2
yx上服从均匀分布，令
U
1,X
Y
0,X
Y
（I）写出（X,Y）的概率密度；
（II）问U与X是否相互独立？
并说明理由；
（III）求ZUX的分布函数F（z）.
3x2
x
（23）设总体
X
的概率密度为
fx,
3,0
0
X1,X2,X3
X
，其中
为未知参数，
为来自总体
，
0,其他
的简单随机样本，令TmaxX1,X2,X3。
（1）求T的概率密度
（2）确定a，使得aT为的无偏估计
8
2015年全国硕士研究生入学统一考试数学
（一）试卷
一、选择题
（1）设函数
f（x）（-
+）
阶导函数
f（x）
的图形如下图所示，则曲线
yf（x）
的拐点个数为（
）
在
连续，其2
（A）0（B）1（C）2（D）3
（2）设y
1e2x
x1
ex是二阶常系数非齐次线性微分方程y
aybycex的一个特解，
（
）
2
3
则：
（A）a
3,b
1,c
1.
（B）a
3,b
2,c
1.
（C）a3,b2,c1.
（D）a3,b2,c1.
（3）若级数an条件收敛，则x3与x3依次为幂级数nanx1n的：
n1n1
（A）收敛点，收敛点.
（B）收敛点，发散点.（）
（C）发散点，收敛点.
（D）发散点，发散点.
（4）设D是第一象限中曲线2xy1,4xy1与直线yx,y3x围成的平面区域，函数f（x,y）在D上连续，则
f（x,y）dxdy
（
）
D
1
1
（A）
3
d
sin2
f（
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