+R+j\
2-6
因此，首先要选择共振频率附近的一组频率响应点，通
过这些点拟合成一个圆。
阻尼固有频率©可以看成是复平面上数据点之间角度变化率最大（角间隔最大）的那个点的频
率，也可以看成是相位角与圆心的相位角最为接近的那个数据点的频率。
对于分得开的模态而言，二者的差别是很小。
阻尼比歹,估计如下：
式中®,笑：
分居在©•两侧的两个频率点：
AHA12GAGGAGAGGAFFFFAFAF
q,乞：
分别为频率点在©和5得半径与©得半径之间的夹角。
圆的直径和阻尼固有频率点的角位置含有复留数U+jV的信息：
妇E77皿）』2-8
一6V
式中0:
圆的直径
a：
园心与固有频率点的连线跟虚轴之间的夹角.
圆拟合法速度也很快，但为避免结果出错，特别是在模
态节点附近，需要操作者参与。
（二）单自由度与多自由度系统
粘性阻尼单自由度SDOF系统如图2的力平衡方程式表示
惯性力、阻尼力、弹性力与外力之间的平衡
Mx（t）+Cx（t）+Kx（t）=f（t）2-9
其中M：
质量C:
阻尼K：
曲：
加速度，速度，位移f:
外力t时间变量，把结构中所呈现出来的全部阻尼都近似为一般的粘性阻尼。
把上面的时间域方程变换到拉氏域复变量P,并假设初始位移和初始速度为零，则得到拉氏域方程：
AHA12GAGGAGAGGAFFFFAFAF
（Mp2+Cp+K）=F（p）,或Z（〃）X（〃）=F（”）Z：
动刚度经过变换可
得传递函数的定义，H（p）=Z"（p）即X（p）=H（p）F（p）
2-10
1/M
p2+（C/M）p+（K/M）
上式右端的分母叫做系统特征方程，它的根即是系统的
极点是:
人2=_（C/（2M））±J（C/（2M））2—（K/M）2-11
如果没有阻尼C二0,则所论系统是保守系统。
我们定义系统的无阻尼固有频率为：
q,=/kTm2-4
临界阻尼Cc的定义为使（2.3）式中根式项等于零的阻尼值：
C,=2MjK/M2-5
而临界阻尼分数或阻尼比S为：
§1二CCc,阻尼有时也有用品质因数即Q因数表示：
皆1/（2切2-6
系统按阻尼值的大小可以分成过阻尼系统（S>1）、临界阻尼系统（5二1）和欠阻尼系统（SO）。
过阻尼系统的响应只含有衰减成分、没有振荡趋势。
欠阻尼系统的响应时一种衰减振动，而临界阻尼系统则是过阻尼系统与欠阻尼系统之间的一种分界。
实际系统的阻尼比很少有大于10%的，除非这些系统含有很强的阻尼机制，因此我们只研究欠阻尼的情形。
在欠阻尼的情况下式2T1两个共辄复根：
AHA12GAGGAGAGGAFFFFAFAF
人=5+丿0,兀=6—丿®2-7
其中6为阻尼因子©为阻尼固有频率。
有关系统极点的另外一些关系式有：
人=（一©+川1一歹;h
2-8
乙-6
何+巧
2-9
5=—的
2-10
2-11
2-2式写成如下形式:
H（P）=
1/M
（p-人）+（卩-石）
2-12
在展开成部分分式形式，则有:
讣急+去,这里“需
2-13
这里的人和£是留数。
多自由度系统
多自由度系统可以用简单的力平衡代数方程演化成形
式相似的一个矩阵的方程。
下面是以而自由度系统为例。
如
图：
UOO
UUQ
图3多自由度系统
该系统的运动方程如下:
M1x1+（C1+CjA-1（r）-C2x2（r）+（/fI+/C2）x1W-^20=/i0
心2+G+Q）a2（0-c2x,（0+（k2+kJ认）-心讹）=f2（t）
2-14
写成矩阵形式是
0
-k2■
9=
、
心+心
或者[M]&}+[c]{x}+[Kh}={/}
2-15
2-16
其中[厢、[c]、[用、{"◊}和{x（t）}分别为质量矩阵、阻尼矩阵、刚度矩阵、方向量和响应向量。
把这个时间域的矩阵方程变换到拉氏域（变量为Q）且假定初始位移和初始速度为零，则得：
”[m]+“[c]+[k]）{x（〃）}={f（〃）}2-17
或者是[z（“）]{x（p）}={f（M式中：
[Z（R]动刚度矩阵
2-18
可以得到传递函数矩阵为:
2-19
冋5卅
式中
M/（[Z（〃）]）：
|z（对的伴随矩阵，等于k|z躺;
[z（p）J去掉第行第列后的行列式
=如果/+/等于偶数.h-lT如果,+_/•等于奇数'
传递函数矩阵含有幅值函数。
2-19式中的分母，即是[z（p）]的韩烈士，叫做系统的特征方程。
与单自由度情况一样，系统特征方程的根，即系统极点，决定系统的共振频率。
根据特征值问题，可以求出系统
特征方恒的根。
为了把系统方程2-17转化为一般的特征值
问题公式，加入下面的恒等式：
（p[M]—p[M]Xx}={0}2-20
将此式与2-17式结合在一起得：
（p[a]+[b]X”={f}2-21
其中卜离慨飞鬧那
{*屮{谿’的={般°
如果力函数等于零，那么式2-19就成了关于实值矩阵的
一般特征值问题，其特征值马祖下列方程的
Q值：
|p[a]+[b]=02~22
它的根就是特征方程|z（M=o的根。
对于N各自由度系统,此方程有2"个呈复共辄对出现的特征根：
6+网
•・•0
5・+闽
6-j©
0•・・
2-23
同单自由度系统一样，多自由度系统的极点的实部丐是阻尼因子，虚部©是阻尼固有频率。
（三）实模态和复模态
按照模态参数（主要指模态频率及模态向量）是实数还是复数，模态可以分为实模态和复模态。
对于无阻尼或比例阻尼振动系统，其各点的振动相位差为零或180度，其模态系数是实数，此时为实模态；对于非比例阻尼振动系统，各点除了振幅不同外相位差也不一定为零或180度，这样模态系数就是复数，即形成复模态。
1复模态与实模态理论
在拟合频段，实模态理论中传递函数在k点激励Z点响应的留数表达式为
兀SX工「人、、严
Oy=-arctad——伙,/=l,2,…，“）
（1）
W-少丿
其中，凡为留数；6和咕构成的复数为系统的复特征值心：
人=一6+A'r
拟合频段复模态理论中传递函数在k点激励f点响应的留数表达式为
0=-arctaiil—（k,/=1,…,n）
（2）
丿
由
（1）、
（2）式中可以看出，传递函数共振峰处复模态的相位与实模态相位的差别在于多出的复留数相位％,由传递函数的逆变换可以得到脉冲响应函数，由此可以得到物理坐标系中结构的自由响应表达式。
对于无阻尼结构，t时刻第r阶模态k点的振动为
札=0/sin（＜V+0）（3）
粘性比例阻尼：
t时刻第r阶模态k点的振动为
札+（4）
一般粘性阻尼：
t时刻第r阶模态k点的振动为
X"=2T“k严tCOS（Q丿+2+Ykr）（5）
式中，（J）kr表示振型幅值；Q表示模态频率；8表示相
位角。
可以看出，无阻尼和比例阻尼系统的初相位与初始条件有关，与物理坐标无关，具有模态（振型）保持性；而一般粘性阻尼系统的初相位还与物理坐标k有关，每个物理坐标振动时并不同时达到平衡位置和最大位置，不具备模态保持性，是行波形式.但各物理坐标的相位差保持不变，各点的振动周期、衰减率仍保持相同J•从物理坐标点的自由响应公式还可看出，即使各测点留数为复数，但如果留数的相位差，即振型的幅角相同，那么还是可以得到振动周期内形状不变且节点固定的振型.这样模态虽是复模态，但表现出实模态的性质.因此实模态理论的实振型与复模态理论中复模态的差别在于各测点峰值相位差的大小.
2实模态提取方法
复模态理论中模态参数（特征值和特征向量）均为复数，在进行结构模型修正时大量采用复数矩阵和复数迭代运算，计算工作量大，效率低；实模态理论中模态参数为实数，物理概念明确，后续结构模型修正计算公式简单，计算工作量小又节约空间，故实模态得到广泛的应用，实际测试得到的传递函数留数一般都为复数，要由复模态经过实模态提取技术才能得到实模态。
复模态提取实模态的方法主要有：
根据复模态的实部、虚部或相位确定实模态的传统方法;Ibrahim的扩大模型法；Chen的传递函数提取法等。
目前的模态分析软件中普遍使用的为传统方法。
由复模态实部或虚部获得实模态向量的方法为：
直接取复留数的实部或虚部作为实模态理论中的留数，进行规格化得到实模态振型.
由复模态相位获得实模态向量的方法为：
取复留数的幅值作为实模态理论中的留数，根据sind）的数值接近1或-1,将留数相位归为90°或-90°,然后尽享振型规格化，得到实模态振型，此振型中各测点相位差即为0°或
AHA12GAGGAGAGGAFFFFAFAF
180°o用复模态理论获得的复模态向量，由复振型的周
期变化中t二0即振动达到最大幅度时的振幅之比表示。
三、模态分析的应用与发展
模态分析技术的应用可归结为以下几个方面：
1）评价现有结构系统的动态特性；
2）在新产品设计中进行结构动态特性的预估和优化设计；
3）诊断及预报结构系统的故障；
4）控制结构的辐射
噪声；
5）识别结构系统的载荷。
对于实际的工程，用有限元软件分析需要的频率段，可查找振动原因，或校核。
模态分析可以看出在那些频率段需要防止或避免共振时很有用。
首先，频率和振型是结构的固有特性，任何结构都可以进行模态分析；其次，结构的功能是不同的，不同结构对应的模态分析的用途是有差别的。
对建筑结构，模态分析可以知道结构的避频设计、用于抗震设计计算以及考虑动力荷载的放大作用等。
另外，还可以挖掘振型有关的信息。
机器、建筑物、航天航空飞行器、船舶、汽车等的实际振动千姿百态、瞬息变化。
模态分析提供了研究各种实际结构振动的一条有效途径。
首先，将结构物在静止状态下进行人为激振，通过测量激振力与胯动响应并进行双通道快速傅里叶变换（FFT）分析，得到任意两点之间的机械导纳函数（传递函数）。
用模态分析理论通过对试验导纳函数的曲线拟合，识别出结构物的模态参数，从而建立起结构物的模态模型。
根据模态叠加原理，在已知各种载荷时间历程的情况下，就可以预言结构物的实际振动的响应历程或响应谱。
模态分析软件以美国的ME'ScopeVES的功能最为全面。
ME，
ScopeVES软件的功能包括信号处理（signaIProcessing）、运行挠曲振型（OperatingDefIectionShapes）>模态分析（ModaIAnaIysis）、结构改正（SDM）和声学分析（AcousticsAnaIysiS）等，解决和分析机器与结构的振动噪声问题。
主要可用于：
仁可以显示被测物体的实际工作形态（0DS）、模态、声学分布形态和工程数据的形态等；
2、模块化结构便于用户根据自己的需要选择合适的产品；
3、强大的图形显示、结构编辑、数据处理及动画显示功能；
4、软件的开放性好，能够与全球的多家厂商的硬件兼容；
5、主要应用的领域：
航空航天、建筑桥梁、汽车制造、钢铁冶金、军工装备等。
模态分析与参数辨识作为结构动力学中的一种逆问题分析方法并在工程实践中应用是从60年代中、后期开始，至今已有近四十年的历史了。
这一技术首先在航空、宇航及汽车工业中开始发展。
由于电子技术、信号处理技术与设备的发展，到80年代末这项技术已成为工程中解决结构动态性能分析、振动与噪声控制、故障诊断等问题的重要工具。
目前这一技术已渐趋成熟。
经过二十余年的研究发展，到目前为止模态分析技术已在我国各个工程领域中广泛应用，成为一种解决工程问题的重要手段。
在工程应用方面模态分析已渗透到我国各个工程领域，并取得了不少成就。
例如，某型火箭全装置的实物模态试验保证了火箭的准确发射与导航，防止了发射的失败；模态分析与参数识别技术曾被成功地用于解决某型航空发动机的严重振动故障，取得重大经济及社会效益；某型鱼雷全装置实物水下模态试验为鱼雷的振动与噪声控制确保导航性能提供了技术依据；远东第一高塔的上海东方明珠电视塔的振动模态试验，为高塔的抗风抗地震安全性设计提供了技术依据；目前世界上跨度第一的斜拉索杨浦大桥的振动试验对大桥抗风振动的安全性分析与故障诊断提供了技术依据；建立在模态分析技术上的桩基断裂检测技术已在高层建筑施工中广泛应用，提高了桩基的质量，确保高层建筑的安全；……等等，这些成就不胜枚举。
总之，二十余年的发展是迅速的,成就是显著的，回顾这一发展过程和取得的成就，可更激励我们朝着新的目标奋发前进。
模态分析技术发展到今天已趋成熟，特别是线性模态理论方面的研究已日臻完善，但在工程应用方面还有不少工作可做。
首先是如何提高模态分析的精度，扩大应用范围。
增加模态分析的信息量是提高分析精度的关键，单靠增加传感器的测点数目很难实现，目前提出的一种激光扫描方法是大大增加测点数的有效办法，测点数目的增加随之而来的是增大数据采集与分析系统的容量及提高分析处理速度，在测试方法、数据采集与分析方面还有不少研究工作可做。
对复杂结构空间模态的测量分析、频响函数的耦合、高频模态检测、抗噪声干扰……等等方面的研究尚需进一步开展。
模态分析当前的一个重要发展趋势是由线性向非线性问题方向发展。
非线性模态的概念早在1960年就由Rosenberg提出，虽有不少学者对非线性模态理论进行了研究，但由于非线性问题本身的复杂性及当时工程实践中的非线性问题并引引起重视，非线性模态分析的发展受到限制。
近年来在工程中的非线性问题日益突出，因此非线性模态分析亦日益受到人们的重视。
最近已逐步形成了所谓非线性模态动力学。
关于非线性模态的正交性、解耦性、稳定性、模态的分叉、渗透等问题是当前研究的重点。
在非线性建模理论与参数辨识方面的研究工作亦是当今研究的热点。
非线性系统物理参数的识别、载荷识别方面的研究亦已开始。
展望未来，模态分析与试验技术仍将以新的速度，新的内容向前发展。
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徐海滨学号：
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