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邮递员问题

关于中国邮递员问题的最优完全子图算法

李念祖

（上海第二工业大学经济管理学院，上海201209）

摘要：

利用线图的概念，把中国邮递员问题转化成求顶点赋权图的最优完全子图的问题

关键词：

最优邮递路线；最短路；最优匹配；线图；最优完全子图

中图分类号：

O157、5文献标识码：

A文章编号：

1000．5137（2006）04-0026-04

O引言

一个邮递员的工作是：

在邮局里挑选出他所负责的街区的各条街道的邮件，并按一定次序加以排

列，然后按一定路线递送这些邮件，最后返回邮局．自然，邮递员必须走过他负责的街区的每一条街道至

少一次，并希望选择一条总路程最短的递送路线．寻找这样的一条最短递送路线的问题，在国际学术界

称之为中国邮递员问题，因为它首先是由中国数学家提出并加以研究的．

用图论的语言来描述中国邮递员问题，就是：

设在边带权的有限连通赋权图G：

（，E）中，各条边

ei∈E的权Z（e）≥0；G中任意一条包含G的每条边至少一次的闭链W：

roe⋯enuo．称为G的一

条环游，其权z（）定义为z（W）=Σz（ei）．则中国邮递员问题就是在G中求一条具有最小权的环游

i‘。

一=1

W，即：

求环游，使得z（）=minz（），是环游．这种环游称为G的最优邮递路线，或最优

环游．

1预备知识

对于没有奇点的连通赋权图G，可以利用Fleury算法求得G的一条最优邮递路线⋯．

对于有奇点的连通赋权图G，1956年我国数学家管梅谷教授提出通常被称为“奇偶点图上作业法”

的算法来求G的最优邮递路线J．

1973年Edmonds和Johnson给出一个比较有效的算法，把求有奇点的连通赋权图的最优邮递路线

问题转化为求最短路及最优匹配问题[3]．本文作者把他们的算法叙述为下列J．

定理1设G=（，E）是一个有2后个奇点（后>O）的连通赋权图，边e∈E的权为Z（e）≥0，所

有奇点的集合为Vo=。

，，⋯，}∈V．作以为顶点集的赋权完全图（G）=（，E。

），其中

边（。

，）的权Z（）为图G中顶点Ui和顶点“之间的最短路的长．称（）为G的奇点最短s

G

路伴随完全图．在（G）中求最小权完美匹配（G），即L（M）=minΣl（v），其中M是

（G）的完美匹配．则在G中把对应于的每一条边的两个端点（G的奇点）之间的最短路的每条边

各重复一次后得到的赋权图G必无奇点，其任一Euler环游就是图G的最优邮递路线．

收稿日期：

2006-03．11

作者简介：

李念祖（1941一），男，上海第二工业大学经济管理学院教授，上海师范大学数理信息学院兼职教授

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第4期李念祖：

关于中国邮递员问题的最优完全子图算法27

由于G的奇点最短路伴随完全图是偶数阶的完全图，其完美匹配就是它的最大匹配，所以可以根

据1970年Edmonds和Johnson提出的求解赋权图的最优最大匹配的算法求（G）的最优完美匹

配．但是Edmonds和JohnSOn的这个算法仍然比较复杂．本文作者利用线图的概念，把求（G）的最

优完美匹配的问题转化为求顶点带权图的最优最大完全子图的问题．

2主要结果

定理2设2k阶赋权完全图K（G）=（，E），其中顶点集合V：

，tJ，⋯，tJ}，边集E：

{e}，i≠，i，=1，2，⋯，2k边e／j∈E的权z（e）≥0．构造K2（G）的线图L（K2（G））=（，E），

其中={eq}=E，i≠『，i，『=1，2，⋯，2k．E={eli；st／e∈E，eE，。

≠e。

与e在2中相邻}．

令L（K（G））每个顶点e的权为2（e）．则顶点赋权的L（K2（G））的补图：

（，），其

边集={e／e∈E，e∈E，e≠est，e与ea在（G）中不相邻}．易知，的最大完全

子图的阶数为后．从而的最小权后阶完全子图Kk’（G）的顶点集合给出K2（G）的最小完

美匹配，且2（（G））=Σ2（e）就是K（G）的最小完美匹配VK的权．根据L（Kz（G））的构造，定

cdVe

理2的证明是显而易见的．

由定理2，得到求有奇点的连通赋权图的最优邮递路线的一个算法，即：

定理3设G是有2后个奇点的连通赋权图．则G的最优邮递路线可以按下述步骤获得：

步骤1：

求出G的任意两个不同奇点之间的最短路及其长度（例如，可以用Dijkstra算法），然后作出

以G的奇点集合为顶点集合的2后阶完全图（G）=（，E。

）．其中是G的奇点集合，边e=（

；，）∈E的权为G中奇点。

与奇点之间的最短路的长：

z（e）=d。

（），即完全图（G）为图

G的奇点最短路伴随完全图．

步骤2：

作出完全图（G）的线图L（（G））的补图L（（G）），其顶点es,t带权l（e）=dc（。

，）．

步骤3：

在L（（G））中求其具有最小权的后阶完全子图（G），其顶点集合就是（G）的

最小完美匹配．

步骤4：

在图G中把对应于中的各边的两个端

点的奇点之间的最短路的各边各重复一次，得Euler图

G+．

步骤5：

由Fleury算法求G+的一条Euler环

游，即G的最优邮递路线．

例1求图1中赋权图G的最优邮递路线．

解步骤l：

G共有4个奇点：

={，，，，

}；容易求得任意两个奇点之间的最短路及其长度，

从而G的奇点最短路伴随完全图（G）．如图2所示：

图2G的奇点最短路伴随完全图K（G）

图1赋权图G

步骤2：

构造K4（G）的线图的补图L（K4（G）），如

图3所示：

其顶点集合V={e12，e13，e14．e23，e24，e34}，

顶点e∈V的权为K4（G）中e的权．

步骤3：

L（K4（G））共有（4—1）X（2—1）：

3个

2阶完全子图K2：

K[ee，]，其顶点权为7+8=

15；K2[ee24]，其顶点权为l0+7=17；K2[e⋯

e∞]，其顶点权为l0+7=17．

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上海师范大学学报（自然科学版）2006年

其最小权2阶完全子图是[e，e，]，即碍（G）=[e，e，]，其顶点集合={e，e，}；Sk

而[e，e弭]是（G）的最优完美匹配。

步骤4：

在图G中把顶点和之间的最短路以及顶点和之间的最短路中的各边分别重复

一次，得图G+，如图4所示：

图3K4（G）的线图的补图丽）

步骤5：

由Fleury算法求出的G+的任何一

条Euler环游就是图G的最优邮递路线（略）．

我们再给出一个更具一般性的例子．

例2求图5所示赋权图H的最优邮递路线．

解步骤l：

H共有6个奇点：

vo={，，，，

，，}；容易求得任意两个奇点之间的最短路及

其长度，从而H的奇点最短路伴随完全图（日）．

如图6所示：

／，，

9

＼

×

、、、I／"，／

，

／

，，

图6H的奇点最短路伴随完全图K6（H）

图7（）的线图的补图

一

．

／。

／一、

图4图G+

i

53

，6

；．

图5赋权图

步骤2：

构造（日）的线图的补图￡（（日），

如图7所示，其顶点集合={e／=（，vj）∈

E（（日））}，共有C：

=15个顶点，顶点e的权

（日）中边e的权．

步骤3：

￡（（日））共有（6一1）×（4一1）×（2

一1）=15个3阶完全子图：

[e，e，e]，其

顶点权为7+8+8=23；[e12，e35，e46]，其顶点权

为7+l2+4=23；[e12，e36，e5]，其顶点权为7+4

+9=20；[e13，e24，e56]，其顶点权为lO+7+8=

25；[e13，e25，e46]，其顶点权为lO+ll+4=25；

[e13，e26，e5]，其顶点权为lO+3+9=22；[e

e23，e56]，其顶点权为lO+7+8=25；[e14，e25，

e36]，其顶点权为lO+ll+4=25；[e14，e26，e35]，

其顶点权为lO+3+12=25；[e15，e23，e46]，其顶

点权为5+7+4=16；[e15，e24，e36]，其顶点权为5

+7+4=16；[e15，e26，e34]，其顶点权为5+3+8

=16；[e16，e23，e5]，其顶点权为6+7+9=22；

[e16，e24，e35]，其顶点权为6+7+12=25；[e

e25，e]，其顶点权为6+ll+8=25．

其最小权3阶完全子图有3个，即[ee，，

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第4期李念祖：

关于中国邮递员问题的最优完全子图算法29

‰]，[ee24，e，]，[ee：

，e，]，从而（日）的最优完美匹配有3个，即：

M={ee：

，，e拍}，

={e15，e24，e36}，M3{e15，e26，e34}．

步骤4：

任意选取（）一个最优完美匹配，譬

如，在图H中把顶点到的最短路，项点到

的最短路以及顶点到的最短路中的各边分别

重复一次，得图+肘如图8所示：

步骤5：

由Fleury算法求出H+肘的任何一条

Euler环游就是图H的一条的最优邮递路线（略）．

我们指出，对于有2J}个奇点的连通赋权图G，

其奇点最短路伴随完全图（G）的线图的补图

￡（（G））共有（2k一1）×（2Ii}一3）×（2Ii}一5）5×

3×1个k阶完全子图．

参考文献：

图8图+肘l

[1]BONDYJA，MURTYUSR．GraphTheorywithApplisations[M]．eMacmilanPressLTD，1976．

[2]胡运权，郭耀煌．运筹学教程（第二版）[M]．北京：

清华大学出版社，2003．

[3]MINIEKAE．OptimizationAlgorithmsforNetworkandNewYorkandBasel：

Graphs[M]．MarcelDekker，Inc，1978

[4]李念祖．物流运筹学基础[M]．北京：

中国物资出版社，2006．

[5]哈拉里·F．图论[M]．上海：

上海科学出版社，1980．

Ontheoptimalcompletesubgraphalgorithmof

thechinesepostmanproblem

LINian—ZU

（ShanghaiSecondPolytechnicUniversity，Shanghai201029，China）

Abstract：

Withtheconceptofthelinegraph，theproblemofsolvingChinesepostmanproblemischarIgedintotheproblemof

solvingtheoptima／completesubgraphofagraphwhoseverticesareweighted．

Keywords：

optima／postroute；shortestpath；optima／matching；linegraph；optima／completesub~aph

（责任编辑：

冯珍珍）

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