初中数学平行四边形练习题及答案.docx

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初中数学平行四边形练习题及答案

初中数学平行四边形练习题及答案

一、解答题

1．如图，在矩形中，点是上的一点（不与点，重合），沿折叠，得，点的对称点为点．

（1）当时，点会落在上吗？

请说明理由．

（2）设，且点恰好落在上．

①求证：

．

②若，用等式表示的关系．

2．如图，在矩形中，，，分别在，上．

（1）若，

①如图，，求证：

；

②如图，点为点关于的对称点，连结，的延长线交于，若，猜想、、之间的数量关系，并证明你的猜想．

（2）如图，若、分别为、上的点，则的最大值为_____（结果用含的式子表示）；

（3）如图，若为的中点，．则的值为_______（结果用含的式子表示）．

3．如图，在正方形中，点是边上任意一点，请你仅用无刻度的直尺，用连线的方法，分别在图

（1）、图

（2）中按要求作图（保留作图痕迹，不写作法）.

（1）在如图

（1）的边上求作一点，连接，使；

（2）在如图

（2）的边上求作一点，连接，使.

4．如图，在长方形中，．动点分别从点同时出发向点运动，点的运动速度为每秒2个单位，点的运动速度为每秒1个单位，当点运动到点时，两个点都停止运动，设运动的时间为．

（1）请用含的式子表示线段的长，则________，________．

（2）在运动过程中，若存在某时刻使得是等腰三角形，求相应的值．

5．已知四边形ABCD是正方形，将线段CD绕点C逆时针旋转（），得到线段CE，联结BE、CE、DE.过点B作BF⊥DE交线段DE的延长线于F．

（1）如图，当BE=CE时，求旋转角的度数；

（2）当旋转角的大小发生变化时，的度数是否发生变化?

如果变化，请用含的代数式表示；如果不变，请求出的度数；

（3）联结AF，求证：

．

6．如图①，已知正方形ABCD的边长为3，点Q是AD边上的一个动点，点A关于直线BQ的对称点是点P，连接QP、DP、CP、BP，设AQ=x．

（1）BP＋DP的最小值是_______，此时x的值是_______；

（2）如图②，若QP的延长线交CD边于点M，并且∠CPD=90°．

①求证：

点M是CD的中点；②求x的值．

（3）若点Q是射线AD上的一个动点，请直接写出当△CDP为等腰三角形时x的值．

7．猜想与证明：

如图①摆放矩形纸片ABCD与矩形纸片ECGF，使B，C，G三点在一条直线上，CE在边CD上．连结AF，若M为AF的中点，连结DM，ME，试猜想DM与ME的数量关系，并证明你的结论．

拓展与延伸：

（1）若将“猜想与证明”中的纸片换成正方形纸片ABCD与正方形纸片ECGF，其他条件不变，则DM和ME的关系为__________________；

（2）如图②摆放正方形纸片ABCD与正方形纸片ECGF，使点F在边CD上，点M仍为AF的中点，试证明

（1）中的结论仍然成立．[提示：

直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半]

①　②

8．已知，矩形中，，的垂直平分线分别交于点，垂足为．

（1）如图1，连接，求证：

四边形为菱形；

（2）如图2，动点分别从两点同时出发，沿和各边匀速运动一周，即点自停止，点自停止．在运动过程中，

①已知点的速度为每秒，点的速度为每秒，运动时间为秒，当四点为顶点的四边形是平行四边形时，则____________．

②若点的运动路程分别为（单位:

），已知四点为顶点的四边形是平行四边形，则与满足的数量关系式为____________．

9．已知三角形纸片ABC的面积为48，BC的长为8．按下列步骤将三角形纸片ABC进行裁剪和拼图：

第一步：

如图1，沿三角形ABC的中位线DE将纸片剪成两部分．在线段DE上任意取一点F，在线段BC上任意取一点H，沿FH将四边形纸片DBCE剪成两部分；

第二步：

如图2，将FH左侧纸片绕点D旋转180°，使线段DB与DA重合；将FH右侧纸片绕点E旋转180°，使线段EC与EA重合，再与三角形纸片ADE拼成一个与三角形纸片ABC面积相等的四边形纸片．

图1图2

（1）当点F，H在如图2所示的位置时，请按照第二步的要求，在图2中补全拼接成的四边形；

（2）在按以上步骤拼成的所有四边形纸片中，其周长的最小值为_________．

10．已知：

正方形ABCD和等腰直角三角形AEF，AE=AF（AE＜AD），连接DE、BF，P是DE的中点，连接AP．将△AEF绕点A逆时针旋转．

（1）如图①，当△AEF的顶点E、F恰好分别落在边AB、AD时，则线段AP与线段BF的位置关系为，数量关系为．

（2）当△AEF绕点A逆时针旋转到如图②所示位置时，证明：

第

（1）问中的结论仍然成立．

（3）若AB=3,AE=1，则线段AP的取值范围为．

【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除

一、解答题

1．

（1）不会，理由见解析；

（2）①见解析；②

【分析】

（1）根据得到，根据三角形的三边关系得到，与已知矛盾；

（2）①根据、和BF=CD，利用AAS证得，根据全等三角形的性质即可证明；

②设，则可表示出AE和AB，然后根据等角对等边证得CE=CB，然后在中应用勾股定理即可求解．

【详解】

（1）由折叠知，

所以．

若点在上，则，，

与矛盾，

所以点不会落在上．

（2）①因为，则，

因为点落在上，

所以，

所以．

因为，

所以，

所以，

所以．

②若，则．

设，则．

因为，

所以．

因为，

所以，

所以．

在中，，

所以，

所以．

故答案为

（1）不会，理由见解析；

（2）①见解析；②．

【点睛】

本题考查了三角形全等的性质和判定，和等边对等角，此题属于矩形的折叠问题类综合题，熟练掌握三角形全等的性质，和做出示意图是本题的关键．

2．

（1）①见解析；②，证明见解析；

（2）；（3）

【分析】

（1）①证明△ADE≌△BAF（ASA）可得结论．

②结论：

AG=BF+AE．如图2中，过点A作AK⊥HD交BC于点K，证明AE=BK，AG=GK，即可解决问题．

（2）如图3中，设AB=a，AD=na，求出ME的最大值，NF的最小值即可解决问题．

（3）如图4中，延长DE交CB的延长线于H．设AB=2k，则AD=BC=2kn，求出CF，BF即可解决问题．

【详解】

（1）①证明：

如图1中，

∵四边形ABCD是矩形，n=1，

∴AD=AB，

∴四边形ABCD是正方形，

∴∠DAB=∠B=90°，

∵AF⊥DE，

∴∠ADE+∠DAF=90°，∠DAF+∠BAF=90°，

∴∠ADE=∠BAF，

∴△ADE≌△BAF（ASA），

∴AE=BF；

②结论：

AG=BF+AE．

理由：

如图2中，过点A作AK⊥HD交BC于点K，

由

（1）可知AE=BK，

∵AH=AD，AK⊥HD，

∴∠HAK=∠DAK，

∵AD∥BC，

∴∠DAK=∠AKG，

∴∠HAK=∠AKG，

∴AG=GK，

∵GK=GB+BK=BF+AE，

∴AG=BF+AE；

（2）如图3中，设AB=a，AD=na，

当ME的值最大时，NF的值最小时，的值最大，

当ME是矩形ABCD的对角线时，ME的值最大，最大值=•a，

当NF⊥AD时，NF的值最小，最小值=a，

∴的最大值==，

故答案为：

；

（3）如图4中，延长DE交CB的延长线于H．设AB=2k，则AD=BC=2kn，

∵AD∥BH，

∴∠ADE=∠H，

∵AE=EB=k，∠AED=∠BEH，

∴△AED≌△BEH（ASA），

∴AD=BH=2kn，

∴CH=4kn，

∵∠ADE=∠EDF，∠ADE=∠H，

∴∠H=∠EDF，

∴FD=FH，设DF=FH=x，

在Rt△DCF中，∵CD2+CF2=DF2，

∴（2k）2+（4kn-x）2=x2，

∴，

∴，，

∴，

故答案为：

．

【点睛】

本题考查了矩形的性质，正方形的性质，全等三角形的判定和性质，等腰三角形的判定和性质，勾股定理等知识，解题的关键是学会利用参数解决问题．

3．

（1）见解析；

（2）见解析.

【分析】

（1）连接BD，BD与AM交于点O，连接CO并延长交于AB，则CO与AB的交点为点N．可先证明△AOD≌△COD，再证明△MOB≌NOB，从而可得NB=MB；

（2）连接MO并延长与AE交于点Q，连接QC，则CQ∥AM．理由如下：

由正方形的性质以及平行线等分线段可证QO=MO，从而可知四边形AQCM为平行四边形，从而可得CQ∥AM．

【详解】

解：

（1）如图

（1），

连接BD，BD与AM交于点O，连接CO并延长交于AB，则CO与AB的交点为点N，则CN为所作．

理由：

在△AOD与△COD中，

∵，

∴△AOD≌△COD（SAS），

∴∠OAD=∠OCD，

∴∠BAM=∠BCN．

在△ABM与△CBN中，

∵，

∴△ABM≌△CBN（ASA），

∴CN=AM．

（2）如图2连接AC、BD交与O点，连接MO并延长与AE交于点Q，连接QC，则为所求的线段.

在正方形ABCD中，OA=OB=OC=OD，AD∥BC，

∴QO=MO

∴四边形AQCM为平行四边形，

∴QC∥AM

【点睛】

本题考查了作图-基本作图，解决此题的关键是利用正方形的性质求解．

4．

（1）8-2t，8-t；

（2）或

【分析】

（1）根据P、Q的运动速度以及AB和CD的长即可表示；

（2）分PQ=PB、BP=BQ和QP=QB三种情况进行分析即可．

【详解】

解：

（1）由题意可得：

DP=2t，AQ=t，

∴PC=8-2t，BQ=8-t，

故答案为：

8-2t，8-t；

（2）当PQ=PB时，

如图①，QH=BH，

则t+2t=8，

解得，t=，

当PQ=BQ时，

（2t-t）2+62=（8-t）2，

解得，t=，

当BP=BQ时，

（8-2t）2+62=（8-t）2，

方程无解；

∴当t=或时，△BPQ为等腰三角形．

【点睛】

本题考查的是矩形的性质、等腰三角形的判定，掌握性质并灵活运用性质是解题的关键，注意分情况讨论思想的应用．

5．

（1）30°；

（2）不变；45°；（3）见解析

【分析】

（1）利用图形的旋转与正方形的性质得到△BEC是等边三角形，从而求得=∠DCE=30°．

（2）因为△CED是等腰三角形，再利用三角形的内角和即可求∠BEF=.

（3）过A点与C点添加平行线与垂线，作得四边形AGFH是平行四边形，求得△ABG≌△ADH.从而求得矩形AGFH是正方形，根据正方形的性质证得△AHD≌△DIC，从而得出结论．

【详解】

（1）证明：

在正方形ABCD中,BC=CD.由旋转知，CE=CD,

又∵BE=CE,

∴BE=CE=BC,

∴△BEC是等边三角形，

∴∠BCE=60°.

又∵∠BCD=90°,

∴=∠DCE=30°.

（2）∠BEF的度数不发生变化.

在△CED中，CE=CD,

∴∠CED=∠CDE=，

在△CEB中,CE=CB,∠BCE=,

∴∠CEB=∠CBE=,

∴∠BEF=.

（3）过点A作AG∥DF与BF的延长线交于点G，过点A作AH∥GF与DF交于点H，过点C作CI⊥DF于点I

易知四边形AGFH是平行四边形，

又∵BF⊥DF，

∴平行四边形AGFH是矩形.

∵∠BAD=∠BGF=90°，

∠BPF=∠APD，

∴∠ABG=∠ADH.

又∵∠AGB=∠AHD=90°，AB=AD，

∴△ABG≌△ADH.

∴AG=AH，

∴矩形AGFH是正方形.

∴∠AFH=∠FAH=45°，

∴AH=AF

∵∠DAH+∠ADH=∠CDI+∠ADH=90°

∴∠DAH=∠CDI

又∵∠AHD