命题形式变化及真假判定.docx
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命题形式变化及真假判定
命题形式变化及真假判定
、基础知识:
（一）命题结构变换
1、四类命题间的互化：
设原命题为“若P,则q”的形式，则
（1）否命题：
“若P，则「q”
（2）逆命题：
“若1，则P”
（3）逆否命题：
“若q，则-p”
2、pvq，PM
（1）用“或”字连接的两个命题（或条件），表示两个命题（或条件）中至少有一个
成立即可，记为pvq
（2）用“且”字连接的两个命题（或条件），表示两个命题（或条件）要同时成立,
记为PAq3、命题的否定「p：
命题的否定并不是简单地在某个地方加一个“不”字，对于不同
形式的命题也有不同的方法
至少一个-都没有
（1）一些常用词的“否定”是7不是全是7不全是
P,q均变为「P厂q:
（2）含有逻辑联结词的否定：
逻辑联接词对应改变，同时
P且q7-'P或「q
（3）全称命题与存在性命题的否定
全称命题：
P:
Fx忘M,p（x）T「p：
玉忘M厂p（x）
存在性命题：
pVx^M,p（x）T-p:
M厂p（X）
规律为：
两变一不变①两变：
量词对应发生变化（3），条件p（x）要进行否定=「P（X）②一不变：
x所属的原集合M的不变化
（二）命题真假的判断：
判断命题真假需要借助所学过的数学知识，但在一组有关系的命题中，真假性也存在一定的关联。
1、四类命题：
原命题与逆否命题真假性相同，同理，逆命题与否命题互为逆否命
题，所以真假性也相同。
而原命题与逆命题，原命题与否命题真假没有关联
2、pvq，PAq，如下列真值表所示:
言之“一假则假”
3、-p:
与命题P真假相反。
4、全称命题:
真：
要证明每一个M中的元素均可使命题成立
假：
只需举出一个反例即可
5、存在性命题:
真：
只需在M举出一个使命题成立的元素即可
假：
要证明M中所有的元素均不能使命题成立
、典型例题
例1:
命题“若方程ax2-bx+c=0的两根均大于0,则ac>0”的逆否命题是（）
思路：
所谓逆否命题是要将原命题的条件与结论否定后并进行调换，ac>0”的对立
面是ac<0”“均大于）”的对立面是“不全大于）”（注意不是：
都不大于0）,再调换
顺序即可，D选项正确
答案：
D
例2:
命题“存在（亡Z,x2+2x+m<0”的否定是（）
意X忘Z,x2+2x+mA0”答案：
D例3:
给出下列三个结论
（1）若命题P为假命题，命题「q为假命题，则命题“pvq”为假命题
（2）命题“若xy=0，贝Ux=0或y=0”的否命题为“若yH0，贝U0或yH0”
（3）命题匕迂R,2X；>0”的否定是“X迂R,2X<0,则以上结论正确的个数为（）
思路：
（1）中要判断pvq的真假，则需要判断p,q各自的真值情况，-q为假命
或y=0”的否定应该为XH0且yH0”所以
（2）错误
合要求，所以（3）正确
综上只有（3）是正确的
答案：
C
例4:
有下列四个命题
“若C+y=0，则X,y互为相反数”的逆命题
“全等三角形的面积相等”的否命题
“茬"，则X2+2X+q=0有实根”的逆否命题
“不等边三角形的三个内角相等”的逆命题
其中真命题为（
思路：
①中的逆命题为“若X,y互为相反数，则x+y=0，为真命题。
②中的否命
题为“如果两个三角形不是全等三角形，则它们的面积不相等”，为假命题（同底等
高即可）。
③中若要判断逆否命题的真假，则只需判断原命题即可。
q兰1时，判别式i=4-4q>0，故方程有实根。
所以原命题为真命题，进而其逆否命题也为真
命题。
④中的逆命题为“如果一个三角形三个内角相等，则它为不等边三角形”显然
是假命题。
综上，①③正确答案：
C小炼有话说：
在判断四类命题的真假时，如果在写命题或判断真假上不好处理,则可以考虑其对应的逆否命题，然后利用原命题与逆否命题同真同假的特点进行求解
例5:
下列命题中正确的是（）
A.命题
B.命题
毎亡R，使得x?
-1<0”的否定是“x亡R，均有x^^0”
“若X=3，贝UX—2x-3=0”的否命题是“若H3，贝Ux?
一2x-3H0”
D.命题
“若cosx=cosy，则X=y”的逆否命题是真命题思路：
分别判断4个选项的情况，A选项命题的否定应为“VX壬R，均有x?
-住0:
B选型否命题的形式是正确的，即条件结论均否定。
C选项的命题是正确的，菱形
即满足条件，D选项由原命题与逆否命题真假相同，从而可判断原命题的真假,原命题是假的，例如终边相同的角余弦值相同，所以逆否命题也为假命题。
答案：
B
例6:
如果命题“P且q”是假命题，“q”也是假命题，贝U（）
思路：
涉及到“或”命题与“且”命题的真假，在判断或利用条件时通常先判断每个命
题的真假，再根据真值表进行判断。
题目中以「q为入手点，可得q是真命题，而因为P且q是假命题，所以P只能是假命题。
进而「P是真命题。
由此可判断出各
个选项的真假：
只有C的判断是正确的答案：
C例7:
已知命题P:
若X>y，贝U—XV—y;命题q:
若x>y，贝UxS>y2，在命题
①PAq;®pvq;®pA（-q加④（「pjvq中，真命题是（
思路：
可先判断出p,q的真假，从而确定出复合命题的情况。
命题P符合不等式性
质，正确，而q命题是错的。
所以①是假的，②是真的，③④中，因为「p为假，「q
答案：
D
P1:
妾（0,P\\1!
<
例&下列4个命题中，其中的真命题是（
P2:
（0,1）,log1XAlog1X
23
思路：
Pi,P2为存在性命题，所以只要找到符合条件的X即可。
pi可作出厲2卜胡丿的图像’通过观察发现找不到符合条件的X；p2同样作图可得
P3通过作图可发现图像中有一部分
Wx00,1[logixAlog^x，所以p2正确;
23
P2,P4正确
答案：
D小炼有话说：
（1）在判断存在性命题与全称命题的真假，可通过找例子（正例或反例）来进行简单的判断，如果找不到合适的例子，则要尝试利用常规方法证明或判定
（2）本题考察了指对数比较大小，要选择正确的方法（中间桥梁，函数性质，数
形结合）进行处理，例如本题中P1,p2,P3运用的数形结合，而P4通过选择中间量判断。
例9:
已知命题P:
3xo亡R,mx2+1<0，命题q:
\/x亡R,x2+mx+1>0，若pvq为
假命题，贝U实数m的取值范围是（
m>2
思路：
因为pvq为假命题，所以可得p,q均为假命题。
则-P厂q为真命题。
-p:
Px亡R,mx2+1>0;-q:
玉R,x2+mx+1<0。
解决这两个不等式能成立与恒成立问题即可。
解：
Tpvq为假命题
二p,q均为假命题:
Vx壬R,mx2+1》0;「q:
3xR,x2+mx+1<0
对于-p:
Px忘R,mx2+1A0
2,.c1
mx+1a0=mA
x
1
当X迂R时，一飞<0二口>0
x
对于nq：
3^R,x2+mx+1兰0，设f（x）=x2+mx+1，由图像可知：
若「q成立,
贝Ui=m2-4X0，解得：
mH2或m兰一2
所以综上所述：
m>2小炼有话说：
因为我们平日做题都是以真命题为前提处理，所以在逻辑中遇到已知条件是假命题时，可以考虑先写出命题的否定，根据真值表得到命题的否定为真，从而就转化为熟悉的形式以便于求解例10:
设命题P:
函数f（X）=lg（X2-4x+a2）的定义域为R;命题q:
Pm亡［-1,1，不等式a2-5a-3>Jm2+8恒成立，如果命题“pvq”为真命题，且pAq”为假命题，求实数a的取值范围思路：
由P"”为真命题可得p,q至少有一个为真，由p^q”为假命题可得p,q至
少有一个为假。
两种情况同时存在时，只能说明p,q是一真一假。
所以分为P假q
真与P真q假进行讨论即可解：
T命题“pvq”为真命题，且pAq”为假命题二p,q—真一假若p假q真，则-p:
函数f（X）=lg（x2-4x+a2）的定义域不为R
2
沁=16-4a>0=—2q:
a2-5a-3>Jm2+8恒成立
/.a2-5a-3*m2+8）=3
max
/.a2-5a-6二0=a兰T或a二6
若P真q假，则p:
函数f（X）=lg（X2-4x+a2）的定义域为R:
A=16—4avO=ac—2或a>2飞：
Wm亡［-1,1］，不等式a2-5a-3•••a2-5a-3v（Jm2+8）=3解得—1max
综上所述：
a-[-2,-1]U（2,6）
三、近年模拟题题目精选:
1、（优质试题河南高三模拟，9）已知命题P:
3x亡R,lnx+x-2=0，命题
q:
Vx迂r2^>x，贝U下列命题中为真命题的是（
-p
若pvq为真命题，则PAq为真命题
x:
>5”是X2-4x-5aO”的充分不必要条件
命题P：
至忘R，使得X2+x-1v0，贝U「p:
Vx忘R，使得X2+x-1>0
命题：
“若<2_3x+2=0,
则x=1或x=2”的逆否命题为：
“若CH1或xH2，则
其中错误命题的个数为（
3、（优质试题成都七中三月模拟，4）已知命题P:
玉壬R,2-x>ex，命题
q:
Va亡R,loga+1》，0则（
是假命题，则实数a的取值范围是（
rx+y》1
5、（优质试题新课标全国卷D不等式组：
b_；y；4的解集记为D'有下面四
个命题:
其中真命题是（
A.
P2,P3
B.
Pl,P2
C.
Pl,P4
D.
P1,P3
习题答案:
1、答案：
C
解析：
分别判断p,q真假，令f（x）=lnx+x-2，可得f
（1）f
（2）c0由零点存在
性定理可知3x-（1,2），使得f（x）=lnx+x-2=0,p为真；通过作图可判断出当
x€（2,4）时，2XPA-q为真
2、答案：
B
解析：
判断每个命题：
①若P真q假，则pvq为真命题，PAq为假命题，故①错
误；②不等式X2-4x-5>0的解为x>5或xc-1，由命题所对应的集合关系可判
断出②正确；③
存在性命题的否定，形式上更改符合“两变一不变”，故③正确；④
的否定应为xKl且XK2”故④错误，所以选择B
3、答案：
B
解析：
对于P:
当XC0时，2-x>eX，故P正确；对于q:
因为a2+1>0,所以
当a-（0,1）时,
loga（a2+1）v0，故q错误，结合选项可知PA^q是真命题
4、答案：
C
21
解析：
命题的否定为：
“x^R，使得2x2+（a-1）x+2>0”此为真命题，所以转
2
为恒成立问题，利用二次函数图像可得：
也=（a-1）-4<0，解得a-（-1,3）
解析：
由已知条件作出可行域，并根据选项分别作出相应直线
X+2y=■2,x+2y=2,x+2y=3,x+2y=-1,观察图像可知：
阴影部分恒在
X+2y=-2的上方，所以pi成立；且阴影区域中有在x+2y<-1中的点，所以p4成立，综上可得：
Pi,P4正确
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