命题形式变化及真假判定.docx

1、命题形式变化及真假判定命题形式变化及真假判定、基础知识:(一)命题结构变换1、四类命题间的互化：设原命题为“若P,则q ”的形式，则(1 )否命题：“若P，则q ”(2)逆命题：“若1，则P”(3)逆否命题：“若q，则-p ”2、 pvq， PM(1)用“或”字连接的两个命题(或条件)，表示两个命题(或条件)中至少有一个成立即可，记为pvq(2)用“且”字连接的两个命题(或条件)，表示两个命题(或条件)要同时成立,记为P A q 3、命题的否定p：命题的否定并不是简单地在某个地方加一个“不”字，对于不同形式的命题也有不同的方法至少一个-都没有(1 )一些常用词的“否定”是7不是 全是7不全是P

2、,q均变为P厂q :(2)含有逻辑联结词的否定：逻辑联接词对应改变，同时P 且 q 7- P 或q(3 )全称命题与存在性命题的否定全称命题：P: Fx忘M , p(x)Tp：玉忘M厂p(x)存在性命题：pVxM, p(x)T -p: M 厂p(X)规律为：两变一不变 两变：量词对应发生变化（3），条件p（x）要进行否定=P（X） 一不变：x所属的原集合M的不变化（二）命题真假的判断：判断命题真假需要借助所学过的数学知识，但在一组有 关系的命题中，真假性也存在一定的关联。1、四类命题：原命题与逆否命题真假性相同，同理，逆命题与否命题互为逆否命题，所以真假性也相同。而原命题与逆命题，原命题与否命

3、题真假没有关联2、pvq， P Aq，如下列真值表所示:言之“一假则假”3、-p :与命题P真假相反。4、全称命题:真：要证明每一个M中的元素均可使命题成立假：只需举出一个反例即可5、存在性命题:真：只需在M举出一个使命题成立的元素即可假：要证明M中所有的元素均不能使命题成立、典型例题例1:命题“若方程ax2-bx+c=0的两根均大于0,则ac0 ”的逆否命题是（ ）思路：所谓逆否命题是要将原命题的条件与结论否定后并进行调换， ac 0 ”的对立面是ac0” “均大于）”的对立面是“不全大于）”（注意不是：都不大于0）,再调换顺序即可，D选项正确答案：D例2:命题“存在（亡Z,x2+2x+m

4、0 ”的否定是“X迂R,2X0，故方程有实根。所以原命题为真命题，进而其逆否命题也为真命题。中的逆命题为“如果一个三角形三个内角相等，则它为不等边三角形”显然是假命题。综上，正确 答案：C 小炼有话说：在判断四类命题的真假时，如果在写命题或判断真假上不好处理, 则可以考虑其对应的逆否命题，然后利用原命题与逆否命题同真同假的特点进行 求解例5:下列命题中正确的是（ ）A.命题B.命题毎亡R，使得x? -1 y，贝U X V y ;命题q :若x y，贝U xS y2，在命题PAq ; pvq ; p A（-q加（pjvq中，真命题是（思路：可先判断出p,q的真假，从而确定出复合命题的情况。命题P

5、符合不等式性质，正确，而q命题是错的。所以是假的，是真的，中，因为p为假，q答案：DP1 :妾(0,P 1 ! 例&下列4个命题中，其中的真命题是（P2: (0,1 ),log 1X Alog 1X2 3思路：Pi, P2为存在性命题，所以只要找到符合条件的X即可。pi可作出 厲2卜胡丿的图像通过观察发现找不到符合条件的X ； p2同样作图可得P3通过作图可发现图像中有一部分Wx 00,1 logi xAlogx，所以 p2 正确;2 3P2, P4正确答案：D 小炼有话说：（1 ）在判断存在性命题与全称命题的真假，可通过找例子（正例或 反例）来进行简单的判断，如果找不到合适的例子，则要尝试利

6、用常规方法证明 或判定（2）本题考察了指对数比较大小，要选择正确的方法（中间桥梁，函数性质，数形结合）进行处理，例如本题中 P1,p2, P3运用的数形结合，而P4通过选择中间量 判断。例 9 :已知命题 P : 3xo 亡 R,mx2 +1 0，若 pvq 为假命题，贝U实数m的取值范围是（m 2思路：因为pvq为假命题，所以可得 p,q均为假命题。则 -P厂q为真命题。-p : Px亡R,mx2 +1 0;-q :玉R,x2 + mx + 1 0。解决这两个不等式能成立与恒成 立问题即可。解：T pvq为假命题二 p,q 均为假命题 : Vx 壬 R,mx2 +10;q: 3x R,x2

7、+ mx +1 0对于-p : Px 忘 R,mx2 +1 A02 , . c 1mx +1 a0= mAx1当X迂R时，一飞0x对于nq ： 3 R, x2 +mx +1兰0，设f (x ) = x2 +mx +1，由图像可知：若q成立,贝U i =m2-4X0 ，解得：mH2或 m 兰 一2所以综上所述：m2 小炼有话说：因为我们平日做题都是以真命题为前提处理，所以在逻辑中遇到已 知条件是假命题时，可以考虑先写出命题的否定，根据真值表得到命题的否定为 真，从而就转化为熟悉的形式以便于求解 例10 :设命题P :函数f (X ) = lg( X2 -4x + a2 )的定义域为R ;命题q

8、: Pm亡-1,1， 不等式a2-5a-3Jm2+8恒成立，如果命题“ pvq”为真命题，且pAq ”为假命 题，求实数a的取值范围 思路：由P ”为真命题可得p,q至少有一个为真，由pq ”为假命题可得p,q至少有一个为假。两种情况同时存在时，只能说明 p,q是一真一假。所以分为P假q真与P真q假进行讨论即可 解：T命题“pvq”为真命题，且pAq ”为假命题 二p,q 真一假 若p假q真，则-p:函数f（X ） = lg（x2-4x+ a2 ）的定义域不为R2沁=16 -4a 0= 2 a Jm2 +8 恒成立/. a2 -5a -3*m2 +8 ) =3max/. a2 -5a -6二0

9、= a 兰 T 或a 二 6若P真q假，则p:函数f（X ）=lg（X2 -4x +a2 ）的定义域为R :A =164a vO= a c 2 或 a 2 飞：Wm 亡-1,1 ，不等式 a2 -5a -3Jm呼8 a2 -5a -3 v(Jm2 +8 ) =3 解得1x，贝U下列命题中为真命题的是（-p若pvq为真命题，则PA q为真命题x :5”是X2 -4x -5 aO”的充分不必要条件命题P：至忘R，使得X2 + x-1 v0，贝Up : Vx忘R，使得X2 + x-1 0命题：“若ex，命题q: Va 亡 R, log a + 1，0则(是假命题，则实数a的取值范围是（r x + y

10、15、（优质试题新课标全国卷D不等式组：b_；y；4的解集记为D 有下面四个命题:其中真命题是（A.P2, P3B.Pl, P2C.Pl, P4D.P1,P3习题答案:1、答案：C解析：分别判断p,q真假，令f(x) = lnx + x-2，可得f(1)f(2)c0由零点存在性定理可知3x-(1,2 )，使得f(x) = l nx + x-2 = 0, p为真；通过作图可判断出当x(2,4 )时，2X0的解为x5或xc-1，由命题所对应的集合关系可判断出正确；存在性命题的否定，形式上更改符合“两变一不变”，故正确；的否定应为xKl且XK2”故错误，所以选择B3、答案：B解析：对于P :当XC0

11、时，2-xeX，故P正确；对于q :因为a2+10,所以当 a-(0,1)时,loga (a2+1 )v0，故q错误，结合选项可知PAq是真命题4、答案：C2 1解析：命题的否定为：“xR，使得2x2 +(a-1)x +20 ”此为真命题，所以转2为恒成立问题，利用二次函数图像可得： 也=(a-1) -40，解得a-(-1,3)解析：由已知条件作出可行域，并根据选项分别作出相应直线X+2y = 2,x+2y =2,x+2y =3,x+2y = -1 ,观察图像可知：阴影部分恒在X + 2y = -2的上方，所以pi成立；且阴影区域中有在x + 2y -1中的点，所以p4成 立，综上可得：Pi, P4正确