声学基础答案.docx
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声学基础答案
声学基础（南京大学出版社）
习题1
1-1有一动圈传声器的振膜可当作质点振动系统来对待,其固有频率为f，质
量为m，求它的弹性系数。
1
2πMm
Km
解：
由公式fo=
得：
Km=（2πf）m
2
1-2设有一质量Mm用长为l的细绳铅直悬挂着，绳子一端固定构成一单摆，
如图所示，假设绳子的质量和弹性均可忽略。
试问：
（1）当这一质点被拉离平衡位置ξ时，它所受到的恢复平衡的力由何产
生？
并应怎样表示？
（2）当外力去掉后，质点Mm在此力作用下在平衡位置附近产生振动，它
的振动频率应如何表示？
（答：
f0=21π
g
，g为重力加速度）
l
图习题1－2
解：
（1）如右图所示，对Mm作受力分析：
它受重力Mmg，方向竖直向下；受沿
绳方向的拉力T，这两力的合力F就是小球摆动时的恢复力，方向沿小球摆
动轨迹的切线方向。
ξ
设绳子摆动后与竖直方向夹角为θ，则sinθ=
l
受力分析可得：
F=Mmgsinθ=Mmgξl
（2）外力去掉后（上述拉力去掉后），小球在F作用下在平衡位置附近产生摆
动，加速度的方向与位移的方向相反。
由牛顿定律可知：
F=−Mmd
2
ξ
dt
2
则−Mmd=Mmgξl
2
ξ
即
d
2
ξ+ξ=0,
g
dt
2
dt2
l
g
l
即f0=1
2π
g
∴ω0
2
=
这就是小球产生的振动频率。
l
1-3有一长为l的细绳，以张力T固定在两端，设在位置x0处，挂着一质量
Mm，如图所示，试问：
（1）当质量被垂直拉离平衡位置ξ时，它
所受到的恢复平衡的力由何产生？
并应怎样
图习题1-3
表示？
（2）当外力去掉后，质量Mm在此恢复力作用下产生振动，它的振动频率应
如何表示？
（3）当质量置于哪一位置时，振动频率最低？
解：
首先对Mm进行受力分析，见右图，
l−x0
x0
Fx=T
−T
=0
2
（l−x0）
2
+ε
2
x
2
+ε
0
（ε〈〈x0，∴x0
2
+ε
2
≈x0
2
（l−x0）
2
+ε
2
≈（l−x0）
2
。
）
ε
ε
Fy=T
+T
（l−x0）
2
+ε
2
x
2
0
+ε
2
ε
l−x0
+Tε
x0
≈T
Tl
x0（l−x0）
=
ε
可见质量Mm受力可等效为一个质点振动系统，质量M=Mm，弹性系数
Tl
k=x0（l−x0）
。
Tl
（1）恢复平衡的力由两根绳子拉力的合力产生，大小为F=x0（l−x0）ε，
方向为竖直向下。
（2）振动频率为ω=K=
Tl
x0（l−x0）Mm
。
M
（3）对ω分析可得，当x0=l时，系统的振动频率最低。
2
1-4设有一长为l的细绳，它以张力T固定在两端，如图所示。
设在绳的x0位
置处悬有一质量为M的重物。
求该系统的固有频率。
提示：
当悬有M时，绳子
向下产生静位移ξ0以保持力的平衡，并假定M离平衡位置ξ0的振动ξ位移很小，
满足ξ<<ξ0条件。
图习题1－4
2Tcosθ=Mg
4πξ=Mg
cosθ=ξ
解：
如右图所示，受力分析可得
⇒
0
0
1
l
l
2
−2Tξ0+ξ=Md
2
ξ
又ξ<<ξ0，T'≈T，可得振动方程为
l
dt2
2
Md2
ξ
+4Tξ=−4Tξ0
ll
即
dt
2
f=21π
4Tl=
1
2πξ0M2πξ0
Mg
1
=
g
∴
M
1-5有一质点振动系统，已知其初位移为ξ0，初速度为零，试求其振动位移、
速度和能量。
解：
设振动位移ε=εacos（ω0t−ϕ），
速度表达式为v=−ω0εasin（ω0t−ϕ）。
由于εt=0=ε0，vt=0=0，
代入上面两式计算可得：
ε=ε0cosω0t
；
v=−ω0ε0sinω0t。
振动能量E=1Mmv
=1Mmω0
ε
22
。
a
2
2
a
2
1-6有一质点振动系统，已知其初位移为ξ0，初速度为v0，试求其振动位移、
速度、和能量。
解：
如右图所示为一质点振动系统，弹簧的弹性系数为Km，质量为Mm，
取正方向沿x轴，位移为ξ。
d
2ξ2+ω0
=K
则质点自由振动方程为
2
ξ=0,（其中ω0
2
m
m
）
dt
M
解得
ξ=ξacos（ω0t−ϕ0）,
v=dξ
dt
=ω0ξasin（ω0t−ϕ0+π）=ω0ξacos（ω0t−ϕ0+π）
2
1
ω0
ξ=
ω0ξ0+v0
222
ξ0=ξacosϕ0
a
当ξt=0=ξ0，vt=0=v0时，
⇒
v
=ωξ
0
acos（
0
ϕ−π
）
v0
ω0ξ0
ϕ0=arctan
0
2
质点振动位移为ξ=ω1ω0
ξ0
+v0
2
cos（ω0t−arctan
v0
ω0ξ0
）
2
2
0
v0
+π）
质点振动速度为v=ω0
22
ξ0
+v0
2
cos（ωt−arctanω0ξ0
0
2
质点振动的能量为E=1Mmv
=1Mm（ω0
ξ0+v0）
222
2
2
a
2
1-7假定一质点振动系统的位移是由下列两个不同频率、不同振幅振动的叠
加ξ=sinωt+1sin2ωt，试问：
2
（1）在什么时候位移最大？
（2）在什么时候速度最大？
解：
ξ=sinωt+1sin2ωt，
2
∴d
ε=ωcosωt+ωcos2ωt
dt
d
2
ε
=−ωsinωt−2ω
22
sin2ωt。
dt
2
令dε
dt
=0，得：
ωt=2kπ±π或ωt=2kπ±π，
3
经检验后得：
t=2kπ±π3
时，位移最大。
ω
令d=0，得：
ωt=kπ或ωt=2kπ±arccos（−1），
2
ε
dt
2
4
经检验后得：
t=2kπ时，速度最大。
ω
1-8假设一质点振动系统的位移由下式表示
ξ=ξ1cos（ωt+ϕ1）+ξ2cos（ωt+ϕ2）
ξ=ξacos（ωt+ϕ）
试证明
+2ξ1ξ2cos（ϕ2−ϕ1），ϕ=arctanξξ11csoinsϕ1+ξ2sinϕ2
其中ξa=ξ1
+ξ2
22
ϕ1+ξ2cosϕ2
证明：
ξ=ξ1cos（ωt+ϕ1）+ξ2cos（ωt+ϕ2）
=ξ1cosωtcosϕ1−ξ1sinωtsinϕ1+ξ2cosωtcosϕ2−ξ2sinωtsinϕ2
=cosωt（ξ1cosϕ1+ξ2cosϕ2）−sinωt（ξ1sinϕ1+ξ2sinϕ2）
设A=ξ1cosϕ1+ξ2cosϕ2，B=−（ξ1sinϕ1+ξ2sinϕ2）
则ξ=Acosωt+Bsinωt=A
2
+B
2
cos（ωt+ϕ）
（其中ϕ=arctan（−B））
A
又A
2
+B
2
=ξ1
+ξ1
=ξ1
=ξ1+ξ2
2
cos
2
ϕ1+ξ2
ϕ1+ξ2
+2ξ1ξ2（cosϕ1cosϕ2+sinϕ1sinϕ2）
+2ξ1ξ2cos（ϕ2−ϕ1）
2
cos
2
ϕ2+2ξ1ξ2cosϕ1cosϕ2
2
sin
2
2
sin
2
ϕ2+2ξ1ξ2sinϕ1sinϕ2
2
+ξ2
2
2
2
又ϕ=arctan（−B）=arctan（ξ1cosϕ1+ξ2cosϕ2
ξ1sinϕ1+ξ2sinϕ2
）
A
令ξa=A
+B=ξ1+ξ2+2ξ1ξ2cos（ϕ2−ϕ1）
2222
则ξ=ξacos（ωt+ϕ）
1-9假设一质点振动系统的位移由下式表示
ε=ε1cosw1t+ε2cosw2t
（w2>w1）
试证明
ε=εacos（w1t+ϕ），
εsin（∆wt）
其中εa=ε1
2
+ε22+2ε1ε2cos（∆wt）,
ϕ+arctanε1+ε2
2
cos（∆wt）,∆w=w1−w2.
解：
因为位移是矢量，故可以用矢量图来表示。
由余弦定理知，
εa=ε1
2
+ε2
2+2ε1ε2cos（w2t−w1t）
=ε1
2+ε22+2ε1ε2cos（∆wt）
其中，∆w=w2−w1。
由三角形面积知，
1
ε1ε2sin∆wt=1ε1εasinϕ
2
2
sinϕ=ε2sin∆wt
得
εa
ε2sin∆wt
−ε2sin
ε2sin∆wt
得
tgϕ=
εa
2
2
2
∆wt
=
（ε1+ε2cos∆wt）
2
εsin∆wt
=ε1+ε2cos∆wt
2
εsin∆wt
ϕ=ε1+ε2cos∆wt
2
故
即可证。
1-10有一质点振动系统，其固有频率f0为已知，而质量Mm与弹性系数Km
待求，现设法在此质量Mm上附加一已知质量m，并测得由此而引起的弹簧伸长ξ1，
于是系统的质量和弹性系数都可求得，试证明之.
证由胡克定理得
mg＝Kmξ1⇒Km＝mg/ξ1
1
2πMm
Km
由质点振动系统固有频率的表达式f0=
得，
Km
mg
Mm=4π
f02=4π
.
ξ1
2
2
f0
2
纵上所述，系统的质量Mm和弹性系数Km都可求解.
1-11有一质点振动系统，其固有频率f0为已知，而质量Mm与弹性系数待求，
现设法在此质量Mm上附加一质量m，并测得由此而引起的系统固有频率变为f0’,
于是系统的质量和弹性系数都可求得，试证明之。
1
2πMm
Km
解：
由
由
f0=
得Km=（2πf0）Mm
2
1
Km
f0′=
（2f）2（Mm+m,）
得Km=π′
0
2πMm+m
′
2
′2，Km=4π
2mf02f0
′
2
f02−f0′2
mf0
联立两式，求得Mm=
f02−f0
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