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1、声学基础答案 声学基础（南京大学出版社）习题 11-1有一动圈传声器的振膜可当作质点振动系统来对待,其固有频率为 f，质量为 m，求它的弹性系数。12 M mK m解：由公式 fo =得：K m = (2f ) m21-2设有一质量 M m用长为l的细绳铅直悬挂着，绳子一端固定构成一单摆，如图所示，假设绳子的质量和弹性均可忽略。试问：（1）当这一质点被拉离平衡位置 时，它所受到的恢复平衡的力由何产生？并应怎样表示？（2）当外力去掉后，质点 M m在此力作用下在平衡位置附近产生振动，它的振动频率应如何表示？（答： f0 = 21g， g为重力加速度）l图习题12解：（1）如右图所示，对 M m作

2、受力分析：它受重力 M mg，方向竖直向下；受沿绳方向的拉力T，这两力的合力 F就是小球摆动时的恢复力，方向沿小球摆动轨迹的切线方向。设绳子摆动后与竖直方向夹角为，则sin =l 受力分析可得： F = M mg sin = M mg l（2）外力去掉后(上述拉力去掉后)，小球在 F作用下在平衡位置附近产生摆动，加速度的方向与位移的方向相反。由牛顿定律可知： F = M m d2dt2则 M m d = M mg l2即d2 + = 0,gdt2dt 2lgl即 f0 = 12g, 02=这就是小球产生的振动频率。l1-3有一长为 l的细绳，以张力T固定在两端，设在位置 x0处，挂着一质量M

3、m，如图所示，试问：(1)当质量被垂直拉离平衡位置 时，它所受到的恢复平衡的力由何产生？并应怎样图习题 1-3表示？(2)当外力去掉后，质量 M m在此恢复力作用下产生振动，它的振动频率应如何表示？(3)当质量置于哪一位置时，振动频率最低？解：首先对 M m进行受力分析，见右图，l x0x0Fx = TT= 02(l x0)2+2x2+0（ x0， x02+ 2 x02,(l x0)2+ 2 (l x0)2。）Fy = T+ T(l x0)2+2x20+2l x0+ T x0 TTlx0(l x0)= 可见质量 M m受力可等效为一个质点振动系统，质量 M = M m，弹性系数Tlk = x0

4、(l x0)。Tl（1）恢复平衡的力由两根绳子拉力的合力产生，大小为 F = x0(l x0)，方向为竖直向下。（2）振动频率为 = K =Tlx0(l x0)M m。M（3）对分析可得，当 x0 = l时，系统的振动频率最低。21-4设有一长为l的细绳，它以张力T固定在两端，如图所示。设在绳的 x0位置处悬有一质量为 M的重物。求该系统的固有频率。提示：当悬有 M时，绳子向下产生静位移0以保持力的平衡，并假定 M离平衡位置0的振动位移很小，满足 0条件。图习题 142T cos = Mg 4 = Mgcos = 解：如右图所示，受力分析可得 001ll 22T 0 + = M d2又 w1

5、)试证明 = a cos(w1t +)， sin(wt)其中 a = 12+ 2 2 + 21 2 cos(wt), + arctan 1 + 22cos(wt) ,w = w1 w2.解：因为位移是矢量，故可以用矢量图来表示。由余弦定理知， a = 12+ 22 + 21 2 cos(w2t w1t)= 12 + 2 2 + 21 2 cos(wt)其中，w = w2 w1。由三角形面积知，11 2 sin wt = 1 1 a sin22sin = 2 sin wt得 a 2 sin wt 2 sin 2 sin wt得tg = a222wt=(1 + 2 coswt)2 sin wt=

6、1 + 2 coswt2 sin wt = 1 + 2 coswt2故即可证。1-10有一质点振动系统，其固有频率 f0为已知，而质量 Mm与弹性系数Km待求，现设法在此质量Mm上附加一已知质量m，并测得由此而引起的弹簧伸长1，于是系统的质量和弹性系数都可求得，试证明之.证由胡克定理得mgKm1 Kmmg/1 12 M mK m由质点振动系统固有频率的表达式 f0 =得，K mmgM m = 4f0 2 = 4.122f02纵上所述，系统的质量Mm和弹性系数Km都可求解.1-11有一质点振动系统，其固有频率f0为已知，而质量Mm与弹性系数待求，现设法在此质量Mm上附加一质量m，并测得由此而引起的系统固有频率变为f0,于是系统的质量和弹性系数都可求得，试证明之。12 M mK m解：由由f0 =得 K m = (2f0) M m21K mf0 =(2 f )2(M m + m ,)得 K m = 02 M m + m22， K m = 42mf0 2 f02f0 2 f02mf0联立两式，求得 M m =f0 2 f0