专题二 三角函数与平面向量.docx

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专题二三角函数与平面向量

专题二三角函数与平面向量

第1讲　三角函数的图象与性质

高考定位　高考对本内容的考查主要有：

三角函数的有关知识大部分是B级要求，只有函数y＝Asin（ωx＋φ）的图象与性质是A级要求；试题类型可能是填空题，同时在解答题中也有考查，经常与向量综合考查，构成低档题．

真题感悟

1．（2013·江苏卷）函数y＝3sin的最小正周期为________．

【详细分析】利用函数y＝Asin（ωx＋φ）的周期公式求解．函数y＝3sin的最小正周期为T＝＝π.

答案　π

2.（2011·江苏卷）函数f（x）＝Asin（ωx＋φ），（A，ω，φ是常数，A＞0，ω＞0）的部分图象如图所示，则f（0）＝________．

【详细分析】因为由图象可知振幅A＝，＝－＝，

所以周期T＝π＝，解得ω＝2，将代入f（x）＝sin（2x＋φ），解得一个符合的φ＝，从而y＝sin，∴f（0）＝.

答案　

3．（2014·江苏卷）已知函数y＝cosx与y＝sin（2x＋φ）（0≤φ<π），它们的图象有一个横坐标为的交点，则φ的值是________．

【详细分析】根据题意，将x＝代入可得cos＝sin，即sin＝，∴＋φ＝2kπ＋或π＋φ＝2kπ＋π（k∈Z）．

又∵φ∈[0，π），∴φ＝.

答案　

4．（2015·浙江卷）函数f（x）＝sin2x＋sinxcosx＋1的最小正周期是________，单调递减区间是________．

【详细分析】f（x）＝＋sin2x＋1＝sin＋，∴T＝＝π，由＋2kπ≤2x－≤＋2kπ，k∈Z，解得：

＋kπ≤x≤＋kπ，k∈Z，∴单调递减区间是，k∈Z.

答案　π　（k∈Z）

考点整合

1．三角函数的图象及常用性质（表中k∈Z）

y＝sinx

y＝cosx

y＝tanx

图象

增区间

[－π＋2kπ，2kπ]

减区间

[2kπ，π＋2kπ]

无

对称轴

x＝kπ＋

x＝kπ

无

对称中心

（kπ，0）

2.三角函数的两种常见变换

y＝Asin（ωx＋φ）（A＞0，ω＞0）．

3．正弦型函数y＝Asin（ωx＋φ）的对称中心是函数图象与x轴的交点，对称轴是过函数图象的最高点或者最低点且与x轴垂直的直线；正切型函数y＝Atan（ωx＋φ）的图象是中心对称图形，不是轴对称图形.

热点一　三角函数的图象

[微题型1]　图象变换

【例1－1】（2015·南通调研）为了得到函数y＝cos的图象，可将函数y＝sin2x的图象向________平移________单位长度．

【详细分析】由y＝cos＝sin

＝sin＝sin，

因此，把y＝sin2x的图象向左平移个单位得到y＝cos的图象．

答案　左　

探究提高　对于三角函数图象的平移变换问题，其平移变换规则是“左加、右减”，并且在变换过程中只变换其自变量x，如果x的系数不是1，则需把x的系数提取后再确定平移的单位和方向．另外，当两个函数的名称不同时，首先要将函数名称统一，其次要把ωx＋φ变成ω，最后确定平移的单位并根据的符号确定平移的方向．

[微题型2]　由三角函数图象求其解+析-式

【例1－2】

（1）（2015·苏北四市模拟）函数y＝Asin（ωx＋φ）（ω＞0，|φ|＜，x∈R）的部分图象如图所示，则函数表达式为________．

（2）（2015·苏、锡、常、镇调研）函数f（x）＝Asin（ωx＋φ）（A，ω，φ为常数，A＞0，ω＞0，0＜φ＜π）的图象如图所示，则f的值为________．

【详细分析】

（1）由图象知＝6－（－2）＝8，

∴T＝16，A＝4.

∴ω＝＝＝.

∴y＝4sin，

把点（6，0）代入得：

×6＋φ＝0，

得φ＝－.

∴y＝4sin，

又∵|φ|＜.

∴y＝－4sin.

（2）根据图象可知，A＝2，＝－，所以周期T＝π，由ω＝＝2.

又函数过点，所以有sin＝1，而0＜φ＜π，所以φ＝，则f（x）＝2sin，

因此f＝2sin＝1.

答案　

（1）y＝－4sin　

（2）1

探究提高　已知图象求函数y＝Asin（A＞0，ω＞0）的解+析-式时，常用的方法是待定系数法．由图中的最高点、最低点或特殊点求A；由函数的周期确定ω；确定φ常根据“五点法”中的五个点求解，其中一般把第一个零点作为突破口，可以从图象的升降找准第一个零点的位置．

【训练1】

（1）（2015·苏州模拟）已知函数f（x）＝2sin（2x＋φ）（|φ|＜π）的部分图象如图所示，则f（0）＝________．

（2）（2015·南师附中模拟）把函数y＝sinx（x∈R）的图象上所有的点向左平移个单位长度，再把所得图象上所有点的横坐标变为原来的2倍（纵坐标不变），得到图象的函数表达式为________．

【详细分析】

（1）由图可得sin＝1，而|φ|＜π，

所以φ＝－.故f（0）＝2sin＝－1.

（2）将y＝sinx的图象向左平移个单位得到y＝sin的图象，再把图象上所有点的横坐标变为原来的2倍（纵坐标不变）得y＝sin的图象．

答案　

（1）－1　

（2）y＝sin，x∈R

热点二　三角函数的性质

[微题型1]　考查三角函数的单调性与对称性

【例2－1】

（1）已知ω＞0，函数f（x）＝sin在上单调递减，则ω的取值范围是________．

（2）（2015·南通调研）将函数f（x）＝sin（2x＋φ）（0＜φ＜π）的图象上所有点向右平移个单位后得到的图象关于原点对称，则φ等于________．

【详细分析】

（1）由2kπ＋≤ωx＋≤2kπ＋π，k∈Z且ω＞0，

得≤x≤，k∈Z.

取k＝0，得≤x≤，

又f（x）在上单调递减，

∴≤，且π≤，解之得≤ω≤.

（2）将函数f（x）＝sin（2x＋φ）的图象向右平移后得到y＝sin＝sin的图象，因为该函数是奇函数，且0＜φ＜π，所以φ＝.

答案　

（1）　

（2）

探究提高　此类题属于三角函数性质的逆用，解题的关键是借助于三角函数的图象与性质列出含参数的不等式，再根据参数范围求解．或者，也可以取选项中的特殊值验证．

[微题型2]　考查三角函数在闭区间上的最值（或值域）

【例2－2】（2015·宿迁高三摸底考试）已知函数f（x）＝Asin（ωx＋φ）（A＞0，ω＞0，φ∈[0，π））的图象如图所示．

（1）求f（x）的解+析-式；

（2）求函数g（x）＝f（x）＋f（x＋2）在x∈[－1，3]上的最大值和最小值．

解　

（1）由图可得A＝3，f（x）的周期为8，则＝8，即ω＝，f（－1）＝f（3）＝0，则f

（1）＝3，所以sin＝1，即＋φ＝＋2kπ，k∈Z，又φ∈[0，π），故φ＝，

综上所述，f（x）的解+析-式为f（x）＝3sin.

（2）g（x）＝f（x）＋f（x＋2）

＝3sin＋3sin

＝3sin＋3cos

＝6

＝6sin.

当x∈[－1，3]时，x＋∈，

故当x＋＝即x＝－时，sin取得最大值为1，则g（x）的最大值为g＝6；

当x＋＝即x＝3时，sin取得最小值为－，则g（x）的最小值为g（3）＝6×＝－3.

探究提高　求三角函数最值的两条思路：

（1）将问题化为y＝Asin（ωx＋φ）＋B的形式，结合三角函数的性质或图象求解；

（2）将问题化为关于sinx或cosx的二次函数的形式，借助二次函数的性质或图象求解．

【训练2】（2015·河南名校联考）已知函数f（x）＝cos＋sin2x－cos2x.

（1）求函数f（x）的最小正周期及其图象的对称轴方程；

（2）设函数g（x）＝[f（x）]2＋f（x），求g（x）的值域．

解　

（1）f（x）＝cos2x＋sin2x－cos2x

＝sin.

则f（x）的最小正周期为π，由2x－＝kπ＋（k∈Z），

得x＝＋（k∈Z），

所以函数图象的对称轴方程为x＝＋（k∈Z）．

（2）g（x）＝[f（x）]2＋f（x）＝sin2＋sin＝－.

当sin＝－时，g（x）取得最小值－，

当sin＝1时，g（x）取得最大值2，

所以g（x）的值域为.

1．

（1）y＝－sinx与y＝sinx的单调性正好相反，y＝－cosx与y＝cosx的单调性也同样相反．

（2）y＝|sinx|与y＝|cosx|的周期是π，y＝sin|x|不是周期函数，y＝cos|x|是周期函数．

（3）对于函数y＝tanx，不能认为其在定义域上为增函数，而是在每个区间（k∈Z）上为增函数．

2．运用整体换元法求解单调区间与对称性：

类比y＝sinx的性质，只需将y＝Asin（ωx＋φ）中的“ωx＋φ”看成y＝sinx中的“x”，采用整体代入求解．

（1）令ωx＋φ＝kπ＋（k∈Z），可求得对称轴方程；

（2）令ωx＋φ＝kπ（k∈Z），可求得对称中心的横坐标；

（3）将ωx＋φ看作整体，可求得y＝Asin（ωx＋φ）的单调区间，注意ω的符号．

3．奇偶性：

（1）函数y＝Asin（ωx＋φ），x∈R是奇函数⇔φ＝kπ（k∈Z）；函数y＝Asin（ωx＋φ），x∈R是偶函数⇔φ＝kπ＋（k∈Z）；

（2）函数y＝Acos（ωx＋φ），x∈R是奇函数⇔φ＝kπ＋（k∈Z）；函数y＝Acos（ωx＋φ），x∈R是偶函数⇔φ＝kπ（k∈Z）；

（3）函数y＝Atan（ωx＋φ），x∈R是奇函数⇔φ＝（k∈Z）．

4．已知函数y＝Asin（ωx＋φ）＋B（A＞0，ω＞0）的图象求解+析-式

（1）A＝，B＝.

（2）由函数的周期T求ω，ω＝.

（3）利用“五点法”中相对应的特殊点求φ.

一、填空题

1．为了得到函数y＝sin3x＋cos3x的图象，可以将函数y＝cos3x的图象向________平移________个单位．

【详细分析】因为y＝sin3x＋cos3x＝cos，要得到函数y＝cos的图象，可以将函数y＝cos3x的图象向右平移个单位．

答案　右　

2．（2015·陕西卷改编）如图，某港口一天6时到18时的水深变化曲线近似满足函数y＝3sin＋k，据此函数可知，这段时间水深（单位：

m）的最大值为________．

【详细分析】由题干图易得ymin＝k－3＝2，则k＝5.∴ymax＝k＋3＝8.

答案　8

3．（2014·南京、盐城模拟）设函数f（x）＝cos（2x＋φ），则“f（x）是奇函数”是“φ＝”的______条件．

【详细分析】φ＝⇒f（x）＝cos＝－sin2x为奇函数，∴“f（x）是奇函数”是“φ＝”的必要条件．

又f（x）＝cos（2x＋φ）是奇函数⇒f（0）＝0⇒φ＝＋kπ（k∈Z）⇒φ＝.

∴“f（x）是奇函数”不是“φ＝”的充分条件．

答案　必要不充分

4．（2015·扬州模拟）已知直线y＝2与函数y＝sinωx＋cosωx（ω＞0）图象的两个相邻交点A，B，线段AB的长度为，则ω的值为________．

【详细分析】依题意，函数y＝sinωx＋cosωx

＝2sin（ω＞0），

于是有＝，ω＝3.

答案　3

5．（2015·苏北四市调研）已知函数f（x）＝2sin（ω＞0）的最大值与最小正周期相同，则函数f（x）在[－1，1]上的单调递增区间为________．

【详细分析】因为函数f（x）的最大值为2，所以最小正周期T＝2＝，解得ω＝，所以f（x）＝2sin，当2kπ－≤πx－≤2kπ＋，k∈Z，即2k－≤x≤2k＋，k∈Z时，函数f（x）单调递增，所以函数f（x）在x∈[－1，1]上的单调递增区间是.

答案　

6．若将函数f（x）＝sin的图象向右平移φ个单位，所得图象关于y轴对称，则φ的最小正值是________．

【详细分析】f（x）＝sin

g（x）＝sin＝sin，

关于y轴对称，即函数g（x）为偶函数，

则－2φ＝kπ＋（k∈Z），∴φ＝－π－（k∈Z），

显然，k＝－1时，φ有最小正值－＝.

答案　

7．（2015·南京、盐城模拟）函数f（x）＝Asin（ωx＋φ）的部分图象如图所示，若x1，x2∈，且f（x1）＝f（x2），则f（x1＋x2）＝________．

【详细分析】观察图象可知，A＝1，T＝π，∴ω＝2，f（x）＝sin（2x＋φ）．

将代入上式得sin＝0，由已知得φ＝，故f（x）＝sin.

函数图象的对称轴为x＝＝.

又x1，x2∈，且f（x1）＝f（x2），

∴f（x1＋x2）＝f＝f

＝sin＝.

答案　

8．设函数f（x）＝Asin（ωx＋φ）（A，ω，φ是常数，A>0，ω>0）．若f（x）在区间上具有单调性，且f＝f＝－f，则f（x）的最小正周期为________．

【详细分析】由f（x）在上具有单调性，得≥－，

即T≥；因为f＝f，所以f（x）的一条对称轴为x＝＝；又因为f＝－f，所以f（x）的一个对称中心的横坐标为＝.所以T＝－＝，即T＝π.

答案　π

二、解答题

9．（2015·泰州模拟）已知函数f（x）＝2sin.

（1）求函数y＝f（x）的最小正周期及单调递增区间；

（2）若f＝－，求f（x0）的值．

解　

（1）T＝＝π，单调递增区间为

，k∈Z.

（2）f＝－，即sin2x0＝－，

∴cos2x0＝±，

∴f（x0）＝2sin＝（sin2x0＋cos2x0）＝或－.

10．（2015·北京卷）已知函数f（x）＝sincos－sin2.

（1）求f（x）的最小正周期；

（2）求f（x）在区间[－π，0]上的最小值．

解　

（1）因为f（x）＝sinx－（1－cosx）

＝sin－，

所以f（x）的最小正周期为2π.

（2）因为－π≤x≤0，所以－≤x＋≤.

当x＋＝－，即x＝－时，f（x）取得最小值．

所以f（x）在区间[－π，0]上的最小值为f

＝－1－.

11．（2015·咸阳模拟）已知函数f（x）＝Asin（A＞0，ω＞0），g（x）＝tanx，它们的最小正周期之积为2π2，f（x）的最大值为2g.

（1）求f（x）的单调递增区间；

（2）设h（x）＝f2（x）＋2cos2x.当x∈时，h（x）有最小值为3，求a的值．

解　

（1）由题意，得·π＝2π2.

所以ω＝1.又A＝2g＝2tanπ＝2tan＝2，

所以f（x）＝2sin.

令2kπ－≤x＋≤2kπ＋（k∈Z），

得2kπ－≤x≤2kπ＋（k∈Z）．

故f（x）的单调递增区间为（k∈Z）．

（2）因为h（x）＝f2（x）＋2cos2x

＝×4×sin2＋2cos2x

＝3（sinx＋cosx）2＋2cos2x

＝3＋3sin2x＋（cos2x＋1）

＝3＋＋2sin，

又h（x）有最小值为3，

所以有3＋＋2sin＝3，

即sin＝－.

因为x∈，

所以2x＋∈，

所以2a＋＝－，

即a＝－.

第2讲　三角恒等变换与解三角形

高考定位　高考对本内容的考查主要有：

（1）两角和（差）的正弦、余弦及正切是C级要求，二倍角的正弦、余弦及正切是B级要求，应用时要适当选择公式，灵活应用．试题类型可能是填空题，同时在解答题中也是必考题，经常与向量综合考查，构成中档题；

（2）正弦定理和余弦定理以及解三角形问题是B级要求，主要考查：

①边和角的计算；②三角形形状的判断；③面积的计算；④有关的范围问题．由于此内容应用性较强，与实际问题结合起来进行命题将是今后高考的一个关注点，不可轻视．

真题感悟

1．（2015·江苏卷）已知tanα＝－2，tan（α＋β）＝，则tanβ的值为________．

【详细分析】∵tanα＝－2，∴tan（α＋β）＝＝＝，解得tanβ＝3.

答案　3

2．（2012·江苏卷）设α为锐角，若cos＝，则sin的值为________．

【详细分析】∵α为锐角且cos＝，

∴α＋∈，

∴sin＝.

∴sin＝sin

＝sin2cos－cos2sin

＝sincos－

＝××－

＝－＝.

答案　

3．（2010·江苏卷）在锐角三角形ABC中，A、B、C的对边分别为a、b、c，＋＝6cosC，则＋＝________．

【详细分析】＋＝6cosC⇒6abcosC＝a2＋b2，6ab·＝a2＋b2，a2＋b2＝.

＋＝·

＝·＝·，

由正弦定理得：

上式＝·＝4.

答案　4

4．（2014·江苏卷）若△ABC的内角满足sinA＋sinB＝2sinC，则cosC的最小值是________．

【详细分析】∵sinA＋sinB＝2sinC.

由正弦定理可得a＋b＝2c，即c＝，

cosC＝＝

＝≥＝，

当且仅当3a2＝2b2，即＝时等号成立．

∴cosC的最小值为.

答案　

考点整合

1．三角函数公式

（1）同角关系：

sin2α＋cos2α＝1，＝tanα.

（2）诱导公式：

在＋α，k∈Z的诱导公式中“奇变偶不变，符号看象限”．

（3）两角和与差的正弦、余弦、正切公式：

sin（α±β）＝sinαcosβ±cosαsinβ；

cos（α±β）＝cosαcosβ∓sinαsinβ；

tan（α±β）＝.

（4）二倍角公式：

sin2α＝2sinαcosα，cos2α＝cos2α－sin2α＝2cos2α－1＝1－2sin2α.

2．正、余弦定理、三角形面积公式

（1）＝＝＝＝2R（R为△ABC外接圆的半径）．

变形：

a＝2RsinA，b＝2RsinB，c＝2RsinC；sinA＝，sinB＝，sinC＝；a∶b∶c＝sinA∶sinB∶sinC.

（2）a2＝b2＋c2－2bccosA，b2＝a2＋c2－2accosB，c2＝a2＋b2－2abcosC；

推论：

cosA＝，cosB＝，cosC＝；

变形：

b2＋c2－a2＝2bccosA，a2＋c2－b2＝2accosB，a2＋b2－c2＝2abcosC.

（3）S△ABC＝absinC＝acsinB＝bcsinA.

热点一　三角变换的应用

[微题型1]　求值

【例1－1】

（1）（2015·苏北四市模拟）sin（π－α）＝－且α∈，则sin＝________．

（2）（2015·邯郸模拟）已知＝－，则cosα＋sinα＝________．

（3）（2015·金华模拟）已知＝－1，则cos2－sin（π－α）cos（π＋α）＋2＝________．

【详细分析】

（1）sin（π－α）＝sinα＝－，又α∈，

∴cosα＝－＝－＝－.

由cosα＝2cos2－1，

∈，

得cos＝－＝－.

所以sin＝cos＝－.

（2）＝＝

＝（cosα＋sinα）＝－.

所以cosα＋sinα＝－.

（3）由＝－1得tanα＝，

所以cos2－sin（π－α）cos（π＋α）＋2

＝sin2α＋sinαcosα＋2

＝sin2α＋sinαcosα＋2（sin2α＋cos2α）

＝

＝

＝＝.

答案　

（1）－　

（2）－　（3）

探究提高　在三角函数求值过程中，要注意“三看”，即：

（1）看角，把角尽量向特殊角或可计算角转化；

（2）看名称，把一个等式尽量化成同一名称或近似的名称，例如把所有的切都转化为相应的弦，或把所有的弦转化为相应的切；

（3）看式子，看式子是否满足三角函数的公式，如果满足，直接使用，如果不满足，则需要转化角或转换名称，才可以使用．

[微题型2]　求角

【例1－2】（2015·中山模拟）已知cos（2α－β）＝－，sin（α－2β）＝，0＜β＜＜α＜，则α＋β＝________．

【详细分析】因为cos（2α－β）＝－，且＜2α－β＜π，

所以sin（2α－β）＝.

因为sin（α－2β）＝，且－＜α－2β＜.

所以cos（α－2β）＝，

所以cos（α＋β）＝cos[（2α－β）－（α－2β）]

＝cos（2α－β）cos（α－2β）＋sin（2α－β）sin（α－2β）

＝－×＋×＝.

又＜α＋β＜，所以α＋β＝.

答案　

探究提高　解答这类问题的方法一般是正用公式将所求“复角”展开，看需要求相关角的哪些三角函数值，然后根据角的范围求出相应角的三角函数值，代入展开式即可，特别要注意对三角函数值符号的判断．

【训练1】（2014·江苏卷）已知α∈，sinα＝.

（1）求sin的值；

（2）求cos的值．

解　

（1）因为α∈，sinα＝，

所以cosα＝－＝－.

故sin＝sincosα＋cossinα

＝×＋×＝－.

（2）由

（1）知sin2α＝2sinαcosα＝2××＝－，

cos2α＝1－2sin2α＝1－2×＝，

所以cos＝coscos2α＋sinsin2α

＝×＋×

＝－.

热点二　正、余弦定理的应用

[微题型1]　判断三角形的形状

【例2－1】（2015·南师附中模拟）在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c.若（a2＋b2）sin（A－B）＝（a2－b2）sin（A＋B），则△ABC的形状是________．

【详细分析】因为（a2＋b2）sin（A－B）＝（a2－b2）sin（A＋B），

所以（a2＋b2）（sinAcosB－cosAsinB）

＝（a2－b2）（sinAcosB＋cosAsinB），

即a2cosAsinB＝b2sinAcosB.

法一　由正弦定理得sin2AcosAsinB＝sin2BsinAcosB，

因为sinA·sinB≠0，

所以sinAcosA＝sinBcosB，所以sin2A＝sin2B.

在△ABC中，0＜2A＜2π，0＜2B＜2π，所以2A＝2B或2A＝π－2B，即A＝B或A＋B＝，所以△ABC为等腰三角形或直角三角形．

法二　由正弦定理、余弦定理得

a2b＝b2a，

即a2（b2＋c2－a2）＝b2（a2＋c2－b2），

即（a2－b2）（a2＋b2－c2）＝0，

所以a2－b2＝0或a2＋b2－c2＝0，即a＝b或a2＋b2＝c2.

所以△ABC为等腰三角形或直角三角形．

答案　等腰三角形或直角三角形

探究提高　判断三角形的形状要对所给的边角关系进行转化，使之变为只含有边或角的式子然后判断．如本题既可化为角的关系A＝B或A＋B＝来判断，也可化为边的关系a＝b或a2＋b2＝c2来判断．同时在判断三角形的形状时一定要注意“解”是否唯一，并注意挖掘隐含条件．另外，在变形过程中要注意角A，B，C的范围对三角函数值的影响．

[微题型2]　解三角形

【例2－2】（2014·苏、锡、常、镇模拟）△ABC的面积是30，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，cosA＝.

（1）求·；

（2）若c－b＝1，求a的值．

解　

（1）由cosA＝，且0

得sinA＝＝.

又S△ABC＝bcsinA＝30，所以bc＝156，

所以·＝bccosA＝156×＝144.

（2）由

（1）知bc＝156，又cosA＝，c－b＝1，

在△ABC中，由余弦定理，得

a2＝b2＋c2－2bccosA＝（c－b）2＋2bc（1－cosA）

＝1＋2×156×＝25，所以a＝5.

探究提高　解三角形问题，多为边和角的求值问题，这就需要根据正、余弦定理结合已知条件灵活