专题二 三角函数与平面向量.docx

1、专题二 三角函数与平面向量专题二 三角函数与平面向量第1讲三角函数的图象与性质高考定位高考对本内容的考查主要有：三角函数的有关知识大部分是B级要求，只有函数yAsin(x)的图象与性质是A级要求；试题类型可能是填空题，同时在解答题中也有考查，经常与向量综合考查，构成低档题真 题 感 悟1(2013江苏卷)函数y3sin的最小正周期为_【详细分析】利用函数yAsin(x)的周期公式求解函数y3sin的最小正周期为T.答案2.(2011江苏卷)函数f(x)Asin(x)，(A，是常数，A0，0)的部分图象如图所示，则f(0)_【详细分析】因为由图象可知振幅A，所以周期T，解得2，将代入f(x)si

2、n(2x)，解得一个符合的，从而ysin，f(0).答案3(2014江苏卷)已知函数ycos x与ysin(2x)(00，0)若f(x)在区间上具有单调性，且fff，则f(x)的最小正周期为_【详细分析】由f(x)在上具有单调性，得，即T；因为ff，所以f(x)的一条对称轴为x；又因为ff，所以f(x)的一个对称中心的横坐标为.所以T，即T.答案二、解答题9(2015泰州模拟)已知函数f(x)2sin.(1)求函数yf(x)的最小正周期及单调递增区间；(2)若f，求f(x0)的值解(1)T，单调递增区间为，kZ.(2)f，即sin 2x0，cos 2x0，f(x0)2sin(sin 2x0co

3、s 2x0)或.10(2015北京卷)已知函数f(x)sincossin2.(1)求f(x)的最小正周期；(2)求f(x)在区间，0上的最小值解(1)因为f(x)sin x(1cos x)sin，所以f(x)的最小正周期为2.(2)因为x0，所以x.当x，即x时，f(x)取得最小值所以f(x)在区间，0上的最小值为f1.11(2015咸阳模拟)已知函数f(x)Asin(A0，0)，g(x)tan x，它们的最小正周期之积为22，f(x)的最大值为2g.(1)求f(x)的单调递增区间；(2)设h(x)f2(x)2cos2x.当x时，h(x)有最小值为3，求a的值解(1)由题意，得22.所以1.又

4、A2g2tan 2tan 2，所以f(x)2sin.令2kx2k(kZ)，得2kx2k(kZ)故f(x)的单调递增区间为(kZ)(2)因为h(x)f2(x)2cos2x4sin22cos2x3(sin xcos x)22cos2x33sin 2x(cos 2x1)32sin，又h(x)有最小值为3，所以有32sin3，即sin.因为x，所以2x，所以2a，即a.第2讲三角恒等变换与解三角形高考定位高考对本内容的考查主要有：(1)两角和(差)的正弦、余弦及正切是C级要求，二倍角的正弦、余弦及正切是B级要求，应用时要适当选择公式，灵活应用试题类型可能是填空题，同时在解答题中也是必考题，经常与向量综

5、合考查，构成中档题；(2)正弦定理和余弦定理以及解三角形问题是B级要求，主要考查：边和角的计算；三角形形状的判断；面积的计算；有关的范围问题由于此内容应用性较强，与实际问题结合起来进行命题将是今后高考的一个关注点，不可轻视真 题 感 悟1(2015江苏卷)已知tan 2，tan()，则tan 的值为_【详细分析】tan 2，tan()，解得tan 3.答案32(2012江苏卷)设为锐角，若cos，则sin的值为_【详细分析】为锐角且cos，sin.sinsinsin 2cos cos 2sin sincos.答案3(2010江苏卷)在锐角三角形ABC中，A、B、C的对边分别为a、b、c，6co

6、s C，则_【详细分析】6cos C6abcos Ca2b2，6aba2b2，a2b2.，由正弦定理得：上式4.答案44(2014江苏卷)若ABC的内角满足sin Asin B2sin C，则cos C的最小值是_【详细分析】sin Asin B2sin C.由正弦定理可得ab2c，即c，cos C，当且仅当3a22b2，即时等号成立cos C的最小值为.答案考 点 整 合1三角函数公式(1)同角关系：sin2cos21，tan .(2)诱导公式：在，kZ的诱导公式中“奇变偶不变，符号看象限”(3)两角和与差的正弦、余弦、正切公式：sin()sin cos cos sin ；cos()cos

7、cos sin sin ；tan().(4)二倍角公式：sin 22sin cos ，cos 2cos2sin22cos2112sin2.2正、余弦定理、三角形面积公式(1)2R(R为ABC外接圆的半径)变形：a2Rsin A，b2Rsin B，c2Rsin C；sin A，sin B，sin C；abcsin Asin Bsin C.(2)a2b2c22bccos A，b2a2c22accos B，c2a2b22abcos C；推论：cos A，cos B，cos C；变形：b2c2a22bccos A，a2c2b22accos B，a2b2c22abcos C.(3)SABCabsin C

8、acsin Bbcsin A.热点一三角变换的应用微题型1求值【例11】 (1)(2015苏北四市模拟)sin()且，则sin_(2)(2015邯郸模拟)已知，则cos sin _(3)(2015金华模拟)已知1，则cos2sin()cos()2_【详细分析】(1)sin()sin ，又，cos .由cos 2cos21，得cos .所以sincos .(2)(cos sin ).所以cos sin .(3)由1得tan ，所以cos2sin()cos()2sin2sin cos 2sin2sin cos 2(sin2cos2).答案(1)(2)(3)探究提高在三角函数求值过程中，要注意“三看

9、”，即：(1)看角，把角尽量向特殊角或可计算角转化；(2)看名称，把一个等式尽量化成同一名称或近似的名称，例如把所有的切都转化为相应的弦，或把所有的弦转化为相应的切；(3)看式子，看式子是否满足三角函数的公式，如果满足，直接使用，如果不满足，则需要转化角或转换名称，才可以使用微题型2求角【例12】 (2015中山模拟)已知cos(2)，sin(2)，0，则_【详细分析】因为cos(2)，且2，所以sin(2).因为sin(2)，且2.所以cos(2)，所以cos()cos(2)(2)cos(2)cos(2)sin(2)sin(2).又，所以.答案探究提高解答这类问题的方法一般是正用公式将所求“

10、复角”展开，看需要求相关角的哪些三角函数值，然后根据角的范围求出相应角的三角函数值，代入展开式即可，特别要注意对三角函数值符号的判断【训练1】 (2014江苏卷)已知，sin .(1)求sin的值；(2)求cos的值解(1)因为，sin ，所以cos .故sinsincos cossin .(2)由(1)知sin 22sin cos 2，cos 212 sin 212，所以coscoscos 2sinsin 2. 热点二正、余弦定理的应用微题型1判断三角形的形状【例21】 (2015南师附中模拟)在ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c.若(a2b2)sin(AB)(a2b2)sin(A

11、B)，则ABC的形状是_【详细分析】因为(a2b2)sin(AB)(a2b2)sin(AB)，所以(a2b2)(sin Acos Bcos Asin B)(a2b2)(sin Acos Bcos Asin B)，即a2cos Asin Bb2sin Acos B.法一由正弦定理得sin2Acos Asin Bsin2Bsin Acos B，因为sin Asin B0，所以sin Acos Asin Bcos B，所以sin 2Asin 2B.在ABC中，02A2，02B2，所以2A2B或2A2B，即AB或AB，所以ABC为等腰三角形或直角三角形法二由正弦定理、余弦定理得a2bb2a，即a2(b

12、2c2a2)b2(a2c2b2)，即(a2b2)(a2b2c2)0，所以a2b20或a2b2c20，即ab或a2b2c2.所以ABC为等腰三角形或直角三角形答案等腰三角形或直角三角形探究提高判断三角形的形状要对所给的边角关系进行转化，使之变为只含有边或角的式子然后判断如本题既可化为角的关系AB或AB来判断，也可化为边的关系ab或a2b2c2来判断同时在判断三角形的形状时一定要注意“解”是否唯一，并注意挖掘隐含条件另外，在变形过程中要注意角A，B，C的范围对三角函数值的影响微题型2解三角形【例22】 (2014苏、锡、常、镇模拟)ABC的面积是30，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，cos A.(1)求；(2)若cb1，求a的值解(1)由cos A，且0A，得sin A.又SABCbcsin A30，所以bc156，所以bccos A156144.(2)由(1)知bc156，又cos A，cb1，在ABC中，由余弦定理，得a2b2c22bccos A(cb)22bc(1cos A)1215625，所以a5.探究提高解三角形问题，多为边和角的求值问题，这就需要根据正、余弦定理结合已知条件灵活